甘肃省平凉市庄浪县2025届九年级数学第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份甘肃省平凉市庄浪县2025届九年级数学第一学期开学统考试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）满足不等式的正整数是（ ）
A．2.5B．C．-2D．5
2、（4分）某车间5月上旬生产零件的次品数如下（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2，3，1，1．则在这10天中该车间生产零件的次品数的（ ）
A．众数是3B．中位数是1.5C．平均数是2D．以上都不正确
3、（4分）如图，已知△ABC中，AB=10 ，AC=8 ，BC = 6 ，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D ，交AC于点E ，连接CD ，则CD的长度为（ ）
A．3B．4C．4.8D．5
4、（4分）若二次根式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．a＞3C．a≤3D．a≠3
5、（4分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是
A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④
6、（4分）把直线y=-x+1向上平移3个单位长度后得到的直线的解析式为( )
A．B．
C．D．
7、（4分）下列运算中正确的是( )
A．+=B．
C．D．
8、（4分）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）一组数据，，，，，的方差是_________．
10、（4分）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=___．
11、（4分）一个等腰三角形的周长为12cm，设其底边长为y cm，腰长为x cm，则y与x的函数关系是为_____________________.(不写x的取值范围)
12、（4分）已知一次函数与的图象交于点P，则点P的坐标为______．
13、（4分）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为________

三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.
15、（8分）已知直线 经过点M（-2，1），求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标．
16、（8分）解方程
（1）
（2）
17、（10分）去年3月，某炒房团以不多于2224万元不少于2152万元的资金分别从A城、B城买入小户型二手房（80平方米/套）共4000平方米.其中A城、B城的购入价格分别为4000元/平方米、7000元/平方米.自住建部今年5月约谈成都市政府负责同志后，成都市进一步加大了调控政策.某炒房团为抛售A城的二手房，决定从6月起每平方米降价1000元.如果卖出相同平方米的房子，那么5月的销售额为640万元，6月的销售额为560万元.
（1）A城今年6月每平方米的售价为多少元？
（2）请问去年3月有几种购入方案？
（3）若去年三月所购房产全部没有卖出，炒房团计划在7月执行销售方案：B城售价为1.05万元/平方米，并且每售出一套返还该购房者a元；A城按今年6月的价格进行销售。要使（2）中的所有方案利润相同，求出a应取何值？
18、（10分）已知一次函数图象经过和两点
（1）求此一次函数的解析式；
（2）若点在函数图象上，求的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）＝_____．
20、（4分）如图，以点O为圆心的三个同心圆把以OA1为半径的大圆的面积四等分，若OA1=R,则OA4:OA3:OA2:OA1=______________,若有（）个同心圆把这个大圆等分，则最小的圆的半径是=_______．
21、（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________．
22、（4分）在菱形ABCD中，，，则对角线AC的长为________．
23、（4分）若关于x的分式方程有增根，则k的值为__________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知关于x的方程x2-3x+c=0有两个实数根．
（1）求c的取值范围；
（2）若c为正整数，取符合条件的c的一个值，并求出此时原方程的根．
25、（10分） (1) 解不等式组： .
(2)解方程：.
26、（12分）一家公司名员工的月薪（单位：元）是


（1）计算这组数据的平均数、中位数和众数；
（2）解释本题中平均数、中位数和众数的意义。
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
在取值范围内找到满足条件的正整数解即可．
【详解】
不等式的正整数解有无数个，
四个选项中满足条件的只有5
故选:D.
考查不等式的解，使不等式成立的未知数的值就是不等式的解.
2、B
【解析】
根据众数、中位数和平均数的定义即可得出答案．
【详解】
根据题意可得：众数为0和2，中位数为(1+2)÷2=1.5，平均数为(0×3+1×2+2×3+3×2)÷10=1.4，故答案选择B．
本题考查的数众数、中位数和平均数，比较简单，注意求中位数之前要先对数组进行排序．
3、D
【解析】
已知AB=10,AC=8,BC=8,根据勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形，又因DE为AC边的中垂线，可得DE⊥AC，AE=CE=4，所以DE为三角形ABC 的中位线，即可得DE==3,再根据勾股定理求出CD=5，故答案选D.
考点：勾股定理及逆定理;中位线定理;中垂线的性质.
4、C
【解析】
根据被开方数是非负数，可得答案．
【详解】
解：由题意得，
3−a⩾0，解得a⩽3，
故选：C．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
5、C
【解析】
由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【详解】
∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH∙PC，故④正确；
故选C．
6、A
【解析】
直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
由“上加下减”的原则可知，把直线y=-x+1向上平移3个单位长度后所得直线的解析式为：y=-x+1+3，即y=-x+1．
故选A．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7、D
【解析】
根据二次根式的加法、混合运算以及二次根式的化简等知识逐一进行分析即可得.
【详解】
A. +=2+3=5，故A选项错误；
B. =2，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，正确，
故选D.
本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简等知识，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
8、B
【解析】
根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．
【详解】
解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y=上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3−1=2.
故选B.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
先求得数据的平均数，然后代入方差公式计算即可．
【详解】
解：数据的平均数=（2-3+3+6+4）=2，
方差．
故答案为．
本题考查方差的定义，牢记方差公式是解答本题的关键．
10、1．
【解析】
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
【详解】
解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP=AC=3，BP=BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=1，
即NQ=1，
∴MP+NP=QP+NP=QN=1，
故答案为1
本题考查轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
11、y＝12－2x
【解析】
根据等腰三角形周长公式可求出底边长与腰的函数关系式，
【详解】
解：因为等腰三角形周长为12，根据等腰三角形周长公式可求出底边长y与腰x的函数关系式为：y=12-2x.
故答案为：y=12-2x.
本题考查一次函数的应用以及等腰三角形的周长及三边的关系，得出y与x的函数关系是解题关键．
12、 (3,0)
【解析】
解方程组，可得交点坐标.
【详解】
解方程组
，
得
，
所以，P(3,0)
故答案为(3,0)
本题考核知识点：求函数图象的交点. 解题关键点：解方程组求交点坐标.
13、1
【解析】
试题解析：由图可看出，A，B的面积和等于其相邻的直角三角形的斜边的平方，
即等于最大正方形上方的三角形的一个直角边的平方；
C，D的面积和等于与其相邻的三角形的斜边的平方，
即等于最大正方形的另一直角边的平方，
则A，B，C，D四个正方形的面积和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜边的平方即等于最大的正方形的面积，
因为最大的正方形的边长为5，则其面积是1，即正方形A，B，C，D的面积的和为1．
故答案为1．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)证明见解析；(2)∠ADO==36°.
【解析】
(1)先判断四边形ABCD是平行四边形，继而根据已知条件推导出AC=BD，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可；
(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠OCD=∠ODC=3x.，在△ODC中，利用三角形内角和定理求出x的值，继而求得∠ODC的度数，由此即可求得答案.
【详解】
(1)∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，
∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.
∴∠OAD＝∠ADO.
∴AO＝OD.
又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，
∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形.
(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x，
在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°
∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°，
∴∠ODC=3×18°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°.
本题考查了矩形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
15、（0，-3）
【解析】
将点M（-2，1）代入直线y=kx-3，求出k的值，然后让横坐标为0，即可求出与y轴的交点．让纵坐标为0，即可求出与x轴的交点．
【详解】
∵y=kx-3过（-2，1），
∴1=-2k-3，
∴k=-2，
∴y=-2x-3，
∵令y=0时，x=，
∴直线与x轴交点为（，0），
∵令x=0时，y=-3，
∴直线与y轴交点为（0，-3）.
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数与y轴的交点的横坐标为0，函数与x轴的交点的纵坐标为0是关键.
16、（1）；（2）无解
【解析】
(1)将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2) 将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1）
方程两边同乘，得
解得：
经检验：是原方程的解
所以原分式方程的解为
（2）
方程两边同乘，得
解得：
当时，
∴是原方程的增根
所以原分式方程无解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17、（1）A城今年6月每平方米的售价为元；（2）方案有四种，如表所示见解析；（3）应取40000元.
【解析】
（1）设A城今年6月每平方米的售价为x元，根据卖出相同平米房子的等量条件，列出分式方程，解分式方程即可；
（2）设去年3月从A城购进套，则根据“不多于2224万元不少于2152万元的资金”列出不等式，解不等式，根据不等式的限制即可确定可能方案；
（3）设A城有套，总利润为元，列出A城售出套数和总利润的关系式，最后根据与（2）利润相同，即可解答.
【详解】
（1）设A城今年6月每平方米的售价为x元，则
解之得：
经检验：是原方程的根.
答：A城今年6月每平方米的售价为元.
（2）设去年3月从A城购进套，则
解之得：
∴方案有四种，如下表所示：
（3）设A城有套，总利润为元，则

∴
∵所有方案利润相同
∴0000元
答：应取40000元.
本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是仔细审题，从而找到数量关系列出分式方程或不等式.
18、（1）（2）
【解析】
（1）用待定系数法，设函数解析式为y=kx+b，将两点代入可求出k和b的值，进而可得出答案．
（2）将点（m，2）代入可得关于m的方程，解出即可．
【详解】
解：（1）设一次函数的解析式为，
则有，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）点在一次函数图象上
，
．
本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、b（x﹣3）（b+1）
【解析】
用提公因式法分解即可.
【详解】
原式= b（x﹣3）·b+b（x﹣3）＝b（x﹣3）（b+1）.
故答案为：b（x﹣3）（b+1）
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
20、
【解析】
根据每个圆与大圆的面积关系，即可求出每个圆的半径长，即可得到结论.
【详解】
∵π•OA42＝π•OA12，
∴O A42＝OA12，
∴O A4=OA1；
∵π•OA32＝π•OA12，
∴O A32＝OA12，
∴O A3=OA1；
∵π•OA22＝π•OA12，
∴O A22＝OA12，
∴O A2=OA1；
∵OA1=R
因此这三个圆的半径为：O A2=R，O A3=R，O A4=R．
∴OA4:OA3:OA2:OA1=
由此可得，有（）个同心圆把这个大圆等分，则最小的圆的半径是=
故答案为：（1）；（2）．
本题考查了算术平方根的定义和性质；弄清每个圆与大圆的面积关系是解题的关键．
21、
【解析】
可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
【详解】
解：
①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
∴特征值
②当为底角时，顶角的度数为：
∴特征值
综上所述，特征值为或
故答案为或
本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
22、1
【解析】
由菱形的性质可得AB=BC=1，∠DAB+∠ABC=180°，可得∠ABC=10°，可证△ABC是等边三角形，可得AC=1．
【详解】
如图，
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=1，∠DAB+∠ABC=180°
∴∠ABC=10°，且AB=BC
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=1
故答案为:1
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
23、或
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】
解：
去分母得：，
整理得：
由分式方程有增根，得到，
解得：或，
把代入整式方程得：；
把代入整式方程得：，
则的值为或．
故答案为：或
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）c≤；（1）当c=1时，x1=1，x1=1；当c=1时，x1=，x1=
【解析】
（1）先根据方程有两个实数根可知△≥0，由△≥0可得到关于c的不等式，求出c的取值范围即可；
（1）由（1）中c的取值范围得出符合条件的c的正整数值，代入原方程，利用因式分解法或求根公式即可求出x的值．
【详解】
（1）解：∵方程有两个实根，∴△=b1-4ac=9-4c≥0，∴c≤；
（1）解：∵c≤，且c为正整数，∴c=1或c=1．
取c=1，方程为x1-3x+1=0，∴（x-1）（x-1）=0
解得：x1=1，x1=1．
也可如下：
取c=1，方程为x1-3x+1=0，解得：x1= ，x1=．
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程．根据方程的特征熟练选择合适的解法是解答本题的关键．
25、 (1) ; (2) .
【解析】
(1)先分别求出①②不等式的解集，再确定不等式组的解集.
（2）先去分母，然后按照整式方程求解，最后检验即可.
【详解】
解：(1)由①得：x≤1
由②得：
∴原不等式组的解集是：;
(2)



-7x=-7
x=1
经检验是原方程的根.
本题考查了解一元一次不等式组和分式方程.解一元一次不等式组的关键在于分别求出各不等式的解集；解分式方程的方法和整式方程类同，只是最后需要有检验环节，这也是易错点.
26、（1）平均数，中位数，众数； （2）员工的月平均工资为，约有一半员工的工资在以下，月薪为元的员工最多
【解析】
（1）根据平均数、中位数和众数的定义及计算公式分别进行解答，即可求出答案；
（2）根据平均数、中位数和众数的意义分别进行解答即可．
【详解】
（1）这组数据的平均数是：
（8000+6000+2550+1700+2550+4599+4200+2500+5100+2500+4400+25000+12400+2500）=6003.5（元）；
排序后，中位数是第7和8个数的平均数，即=4300（元）；
∵2550出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是2550；
（2）员工的月平均工资为6003.5，约有一半的员工的工资在4300以下，月薪为2550元的员工最多．
此题考查了平均数、中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
方案
一
二
三
四
A城（套）
24
25
26
27
B城（套）
26
25
24
23