初中人教版（2024）14.1.4 整式的乘法第2课时学案

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14．1．4 整式的乘法
第2课时 多项式与多项式相乘
学习目标：1．理解并掌握多项式与多项式的乘法运算法则．
2．能够灵活运用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算．
重点：掌握多项式与多项式的乘法运算法则．
难点：运用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算．
自主学习
教学备注：学生在课前完成自主学习部分
一、知识链接
1．口述单项式乘单项式、单项式乘多项式的乘法法则．
2．计算2x(3x2＋1)，正确的结果是（ ）
A．5x3＋2x B．6x3＋1 C．6x3＋2x D．6x2＋2x
3．计算：（1）－x(2x＋3x2－2)=___________；
（2）－2ab(ab－3ab2－1)=____________．
课堂探究
要点探究
探究点：多项式乘多项式
问题1：某地区在退耕还林期间，有一块原长m米，宽为a米的长方形林区，长增加了n米，宽增加了b米，请你计算这块林区现在的面积？
你能用不同的形式表示所求的面积吗？
方法一：_________________________________；
方法二：_________________________________；
方法三：_________________________________；
方法四：_________________________________．
这块林区现在长为 米，宽为 米．
由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积，
故有：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb．
想一想：如何计算多项式乘以多项式？
(m+n)X=_____________．
若X=a+b，如何计算？
实际上，把(a+b)看成一个整体，有：
(m+n)(a+b)=_________+_________=_________________．
要点归纳：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别________另一个多项式的每一项，再把所得的积________．
多乘多顺口溜：多乘多，来计算，多项式各项都见面，乘后结果要相加，化简、排列才算完．
典例精析
例1：计算：
（1）(3x+1)(x+2)；（2）(x-8y)(x-y)；（3）(x+y)(x2-xy+y2)．
注意：（1）不要漏乘；（2）符号问题；（3）最后结果应化成最简形式．
例2：先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1．
例3：已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．
方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程（组）解答．
练一练：计算：
（1）(x+2)(x+3)=__________；（2）(x-4)(x+1)=__________；
（3）(y+4)(y-2)=__________；（4）(y-5)(y-3)=__________．
由上面计算的结果找规律，观察填空：(x+p)(x+q)= 2+ x+ ．
典例精析
例4：已知等式(x+a)(x+b)= x2+mx+28，其中a、b、m均为正整数，你认为m可取哪些值？它与a、b的取值有关吗？请你写出所有满足题意的m的值．
课堂小结
1．多项式乘多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别________另一个多项式的每一项，再把所得的积________．
2．注意事项：（1）不要漏乘；（2）符号问题；（3）最后结果应化成最简形式．
当堂检测
1．计算(x-1)(x-2)的结果为（ ）
A．x2+3x-2B．x2-3x-2 C．x2+3x+2D．x2-3x+2
2．下列多项式相乘，结果为x2-4x-12的是（ ）
A．(x-4)(x+3)B．(x-6)(x+2)C．(x-4)(x-3)D．(x+6)(x-2)
3．如果(x+a)(x+b)的结果中不含x的一次项，那么常数a、b满足（ ）
A．a=bB．a=0 C．a=-bD．b=0
4．判别下列解法是否正确，若错，请说出理由．
（1）(2x-3)(x-2)-(x-1)2；（2）(2x-3)(x-2)-(x-1)2．
解：原式=2x2-4x+6-(x-1)(x-1)解：原式=2x2-4x-3x+6-(x2-12)
=2x2-4x+6-(x2-2x+1)=2x2-7x+6-x2+1
=2x2-4x+6-x2+2x-1=x2-7x+7．
=x2-2x+5；
5．计算：（1）(x−3y)(x+7y)；（2）(2x + 5y)(3x−2y)．
6．化简求值：(4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y)，其中x=1，y=-2．
7．解方程与不等式：
（1）(x-3)(x-2)+18=(x+9)(x+1)；（2）(3x+6)(3x-6)＜9(x-2)(x+3)．
拓展提升：
8．小东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米，问小东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？
参考答案
自主学习
一、知识链接
1．单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．C3．（1）-2x2-3x3+2x（2）-2a2b2+6a2b3+2ab
课堂探究
一、要点探究
探究点：多项式乘多项式
问题1 (m+n)(a+b) m(a+b)+n(a+b) a(m+n)+b(m+n) ma+mb+na+nb (m+n) (a+b)
想一想 mX+nX m(a+b)+n(a+b) ma+mb+na+nb
要点归纳 乘 相加
典例精析
例1 解：（1）原式=3x·x+2·3x+1·x+1×2=3x2+6x+x+2=3x2+7x+2；
（2）原式=x·x-xy-8xy+8y2=x2-9xy+8y2；
（3）原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy·y+y·y2=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3= x3+y3．
例2 解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2．当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21．
例3 解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3＋(－2a＋3b)x2＋(－2b＋3)x－2．
∵积不含x2项，也不含x项，∴∴
练一练 （1）x2+5x+6 （2）x2-3x-4 （3）y2+2y-8 （4）y2-8y+15
x (p+q) pq
典例精析
例4 解：由题意可得a+b=m，ab=28．
∵a、b均为正整数，故可分以下情况讨论：
①a=1，b=28或a=28，b=1，此时m=29；
②a=2，b=14或a=14，b=2，此时m=16；
③a=4，b=7或a=7，b=4，此时m=11．
综上所述，m的取值与a、b的取值有关，m的值为29或16或11．
当堂检测
1．D 2．B 3．C
4．解：（1）不正确．
原式=2x2-4x-3x+6-(x-1)(x-1)=2x2-4x-3x+6-(x2-2x+1)=2x2-4x-3x+6-x2+2x-1=x2-5x+5；
（2）不正确．(2x-3)(x-2)-(x-1)2．
原式=2x2-4x-3x+6-(x-1)(x-1)=2x2-7x+6-(x2-2x+1)=2x2-7x+6-x2+2x-1=x2-5x+5．
5．解：（1）(x−3y)(x+7y)=x2+7xy-3yx-21y2=x2+4xy-21y2；
（2）(2x+5y)(3x−2y)=2x·3x-2x·2y+5y·3x-5y·2y=6x2-4xy+15xy-10y2=6x2+11xy-10y2．
6．解：原式=16x2-12xy+12xy-9y2+6x2-10xy+3xy-5y2=22x2-7xy-14y2．
当x=1，y=-2时，原式=22×1－7×1×(-2)－14×(-2)2=22＋14－56=-20．
7．解：（1）移项、合并同类项，得15x=15，解得x=1；
（2）去括号，得9x2-36＜9x2+9x-54，移项、合并同类项，得9x＞18，解得x＞2 ．
拓展提升：
8．解：(2m+2b+c)(2m+a)=4m2+2am+4bm+2ab+2cm+ac．
答：小东应在挂历画上裁下一块(4m2+2am+4bm+2ab+2cm+ac)平方厘米的长方形．