人教版（2024）八年级上册14.1.4 整式的乘法第3课时教学设计

这是一份人教版（2024）八年级上册14.1.4 整式的乘法第3课时教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
14.1.4 整式的乘法
第3课时 多项式与多项式相乘
一、教学目标
1.了解并掌握多项式与多项式相乘的运算法则，能够灵活地进行多项式与多项式相乘的运算.
2.掌握多项式与多项式相乘运算法则的推导.
二、教学重难点
重点：多项式与多项式相乘的运算法则.
难点：能够灵活地进行多项式与多项式相乘的运算.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]问题：（1）还记得上节课我们学习了什么内容吗？（2）它的运算法则是什么？
学生积极思考，教师带领复习单项式与多项式相乘的运算法则.之后出示如下示例，使学生进一步理解单项式与多项式相乘的法则及注意事项.
教师利用多媒体展示如下“练一练”，巩固单项式与多项式相乘的运算，学生积极举手回答：
【新知探究】
知识点单项式与多项式相乘
[提出问题]如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
[学生思考]给学生1分钟的思考时间，提醒可有三种方法去计算，将扩大后的绿地看成一个大长方形，或将扩大后的绿地看成两个小长方形，或将扩大后的绿地看成四个小长方形.将自己的演算过程写在练习本上.
[提出问题]你的结果是多少？你是怎么得到的？
[学生回答]教师点名，学生回答，有以下三种方法：方法一：扩大后的绿地可以看成长为 （a+b） m,宽为 (p+q) m的长方形，所以这块绿地的面积（单位：m2）为 （a+b）(p+q) ；方法二：把扩大后的绿地看成由两个小长方形组成，它们的面积可分别表示为 a(p+q) 、 b(p+q) ，所以这块绿地面积（单位：m2）为 a(p+q)+b(p+q) . 方法三：把扩大后的绿地看成由四个小长方形组成，它们的面积可分别表示为 ap 、 aq 、 bp 、 bq ，所以这块绿地面积（单位：m2）为 ap+ aq+bp=bq .
对于方法二，若学生给出的是“把扩大后的绿地看成由两个小长方形组成（上、下分割），它们的面积可分别表示为 p(a+b) 、 q(a+b) ，所以这块绿地面积（单位：m2）为 p(a+b)+q(a+b) ”.也同样给予肯定，只是分割方法不同而已.
[教师总结]不管用哪种方法，三者表示的都是同一个量，所以(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq.
[提出问题]这个等式是如何计算得到的？
[学生回答]观察这个等式可知，计算(a+b)(p+q)，可以先把其中的一个多项式，如p+q，看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到a(p+q)+b(p+q)；再利用单项式与多项式相乘的法则，得到ap+aq+bp+bq.同时多媒体出示如下计算过程，帮助学生理解.
[教师总结]总体上看，(a+b)(p+q)的结果可以看作是由a+b的每一项乘p+q的每一项，再把所得的积相加而得到.同时多媒体出示如下计算过程，帮助学生理解.
[提出问题]这个等式为我们提供了多项式与多项式相乘的方法.你知道这个方法是什么吗？
[学生思考]学生思考2分钟，积极举手发言，对于回答不完整的，其他学生进行补充，学生的可能回答：①第一个多项式的第一项与第二个多项式中的每一项相乘，第一个多项式的第二项与第二个多项式中的每一项相乘；②所得的积加起来.
[归纳总结]一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq（a，b，p，q分别是单项式）.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下示例，从而引出“多项式与多项式相乘的步骤”：
[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：
例 计算：
(1)(3x+1)(x+2)；
解：(3x+1)(x+2)
=(3x)·x+(3x)×2+1·x+1×2
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2.
(2)(x-8y)(x-y)；
解：(x-8y)(x-y)
=x2-xy-8xy+8y2
=x2-9xy+8y2.
(x+y)(x2-xy+y2).
解：(x+y)(x2-xy+y2)
=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
=x3+y3.
提醒学生注意以下几点：最后结果应化成最简形式，不要忘记合并同类项；合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积；要按一定的顺序进行，做到不重不漏；注意符号问题；不要漏乘.
[课件展示]根据例题中遇到的常见点，总结如下注意事项：
[课件展示]跟踪训练
计算：(1)(x+2)(x+3)=x2+5x+6；(2)(x-4)(x+1)=x2-3x-4 ；(3)(y+4)(y-2)= y2+2y-8 ； (4)(y-5)(y-3)= y2-8y+15 .
由上面计算的结果，观察两多项式中字母和常数项，找规律，填空：
特殊二项式相乘：(x+p)(x+q)=x2+ (p+q) x+ pq .
[教师总结]该公式的特点：
相乘的两个因式：（1）都只含有一个相同的字母；（2）都是一次二项式，并且一次项系数都为1.相乘的
结果：（1）乘积是二次三项式；（2）二次项系数是1；（3）一次项系数等于两个因式中常数项之和；（4）
常数项等于两个因式中常数项之积.
【课堂小结】
【课堂训练】
1.下列多项式相乘，结果为x2-4x-12的是（ B ）
A．(x-4)(x+3) B.(x-6)(x+2)
C．(x-4)(x-3) D.(x+6)(x-2)
2.（2021德阳模拟）计算（2x-1）（5x+2）的结果是（ D ）
A．10x2-2 B．10x2-5x-2
C．10x2+4x-2 D．10x2-x-2
3.（2021合肥模拟）如果（x-2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值为（ B ）
A．p=5，q=6B．p=1，q=-6C．p=1，q=6D．p=5，q=-6
【解析】方法一：∵（x-2）（x+3）=x2+x-6=x2+px+q，∴p=1，q=-6.故选B．方法二：根据特殊二项式相乘法则可知，p=-2+3=1，q=-2×3=-6.故选B．
4.（2021天津一模）计算（a+3）（b-2）的结果等于 ab-2a+3b-6 ．
5.若（3+x）（2x2+mx-5）的计算结果中x2项的系数为-3，则m的值为 -9．
【解析】（3+x）（2x2+mx-5）=2x3+（6+m）x2+（-5+3m）x-15，∵计算结果中x2项的系数为-3，∴6+m=-3．解得m=-9．
6.计算下列各题：
（1）（x-1）（2x+1）-2（x-5）（x+2）；
解：原式=x•2x+x•1+(-1)•2x+(-1)×1-2（x2+2x-5x-10）
=2x2+x-2x-1-2（x2-3x-10）
=2x2-x-1-2x2+6x+20
=5x+19．
（2）（a-2b）（2a+b）+a（-2a-b）．
解：原式=a•2a+ab+（-2b）•2a+（-2b）•b+a•（-2a）+a•（-b）
=2a2+ab-4ab-2b2-2a2-ab
=-4ab-2b2．
7.解方程：（x-1）（x+8）-x（x+3）=0．
解：（x-1）（x+8）-x（x+3）=0，
x2+7x-8-x2-3x=0，
4x=8，
x=2．
8.如图，某市有一块长（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间空白处将修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米．
（2）当a=2，b=1时,求绿化面积．
解：（1）S绿化=（3a+b）（2a+b）-（a+b）（a+b）
=6a2+3ab+2ab+b2-(a2+ab+ab+b2)
=5a2+3ab.
故绿化的面积是（5a2+3ab）平方米.
（2）将a=2，b=1代入S绿化=5a2+3ab，得
S绿化=5×22+3×2×1
=20+6
=26．
故当a=2，b=1时，绿化面积为26平方米．
9.马同学与虎同学两人共同计算一道题：（x+m）（2x+n）．由于马同学抄错了m的符号，得到的结果是2x2-7x+3，虎同学漏抄第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x-3．请你求出m、n的值．
解：∵马同学抄错了m的符号，得到的结果是2x2-7x+3，
∴（x-m）（2x+n）=2x2+（-2m+n）x-mn=2x2-7x+3．
∴-2m+n=-7，mn=-3．
∵虎同学漏抄第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x-3，
∴（x+m）（x+n）=x2+（m+n）x+mn=x2+2x-3，∴m+n=2，mn=-3．
∴ 解得
故m=3，n=-1．
【教学反思】
本节课由计算绿地面积出发，通过三种不同的计算图形面积.首先充分利用了直观的几何图形，采用给出几何图形的方式来验证运算法则及公式的正确性，学生从图形中可以看到（a+b）（p+q)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四个小正方形，它们的面积和为ap+aq+bp+bq，先对多项式乘以多项式的方法有直观的感受，这也充分体现了代数与几何之间的内在联系和统一.然后在推导过程，渗透了两个很重要的思想：整体思想和转化思想，让学生认识到，学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行.练习过程中，教师只作方法的引导，提醒注意符号处理，不能漏乘等，主要由学生按照法则自己解决.