湖南省湖南天壹名校联盟湖湘名校教育联合体2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

这是一份湖南省湖南天壹名校联盟湖湘名校教育联合体2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了已知，，则下列不等式恒成立的是，已知命题，已知，则的最小值为，设集合，其中，则等内容，欢迎下载使用。

数学
本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题：，，则为（ ）
A.，B.，
C.，D.，
2.已知，，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
3.已知全集，，则集合的非空真子集个数为（ ）
A.32B.31C.30D.29
4.已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.B.C.D.
5.已知命题：，，命题：，，则（ ）
A.和都是真命题B.和都是真命题
C.和都是真命题D.和都是真命题
6.已知命题：，：，若是的必要条件，则正整数的值为（ ）
A.1B.2C.3D.4
7.2024年9月1日上午，以“新质动力•创绿未来”为主题的2024世界动力电池大会在万里长江第一城、中国动力电池之都——四川宜宾开幕，该大会发布了一系列新技术、新产品，有效凝聚了行业共识，为推动技术迭代、深化开放合作、促进产业集聚、助力绿色发展，以及动力电池及新能源汽车高质量发展作出了积极贡献，为此某高中对高一1班全班男生进行了关于对人工智能，新能源汽车、绿色能源是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人对人工智能感兴趣，17人对新能源汽车感兴趣，10人对绿色能源感兴趣，同时对人工智能和新能源汽车感兴趣的有12人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣的有6人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣的有5人，三种都感兴趣的有2人，则该班男生人数为（ ）
A.27B.28C.29D.30
8.已知，则的最小值为（ ）
A.2B.C.4D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.假设“集合学得好不等式学得就好”是真命题，那么下列命题正确的是（ ）
A.集合学得好不等式不一定学得好B.不等式学得好集合不一定学得好
C.不等式学得不好集合一定学得不好D.集合学得不好不等式一定学得不好
10.设集合，其中，则（ ）
A.B.C.D.
11.已知不等式的解集为，则（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则______.
13.已知集合，，且，则的取值范围是______.
14.若对任意的恒成立，则实数的取值集合为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根.
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若为假命题且为真命题，求的取值范围.
16.（15分）已知正数，满足.
（1）求的最大值；
（2）证明：.
17.（15分）在学习完基本不等式与一元二次方程这一章节后，某校高一数学老师带领全班同学在数学课堂上做了一个有趣的实验，该实验的目的主要是体现不等式在实际生活中的应用.老师要求同学们准备了一张周长为的矩形纸片（其中），将沿向折叠，折过去后交于点.如果在保持矩形周长不变且折过去后交于点的情况下，适度改变的长度，问：的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由.
18.（17分）已知集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
19.（17分）定义为不大于的最大整数，例如，.已知集合，且，，.
（1）若，求（用列举法表示）；
（2）若，求真子集个数的最大值；
（3）已知（），若正整数满足对任意，当时都有，求的最小值.
湖湘名校教育联合体·2024年下学期高一10月大联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.【答案】D
【解析】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：命题：，的否定为，，故选D.
2.【答案】A
【解析】由题意可得，故，故选A.
3.【答案】C
【解析】由题意可得，，故，
故集合的元素个数为5，故非空真子集个数为，故选C.
4.【答案】A
【解析】由题易知，故恒成立，故A正确；
对于B，令，，易得不成立，故B错误；
对于C，时易得C错误；令，易得D错误，故选A.
5.【答案】B
【解析】对于命题，当时，，故为假命题，是真命题；
对于命题，当时，为真命题，是假命题，故选：B.
6.【答案】A
【解析】解不等式得，即，
由是的必要条件，得，解得，故正整数的值为1，故选A.
7.【答案】A
【解析】由集合的容斥原理可得有5人只对人工智能感兴趣，2人只对新能源汽车感兴趣，1人只对绿色能源感兴趣，同时对人工智能和新能源汽车感兴趣但对绿色能源不感兴趣的有10人，同时对人工智能和绿色能源感兴趣但对新能源汽车不感兴趣的有4人，同时对新能源汽车和绿色能源感兴趣但对人工智能不感兴趣的有3人，三种都感兴趣的有2人，则该班男生人数为.故选：A.
8.【答案】D
【解析】由题意可得，则，令，则，
当且仅当，即时取等号，因此，故选D.
9.【答案】BC
【解析】设：集合学得好，：不等式学得好，由题意，“若，则”为真命题，A，D错误.
如果将集合学得好的学生定义为集合，不等式学得好的学生定义为集合，则，或许存在，但，故B正确；设为全集，则，故C正确；故选：BC.
10.【答案】ABC
【解析】对于A，因为，故，即，所以A正确；
对于B，因为，故，即，故B正确；
对于C，因为，所以，
即，所以C正确；对于D，因为，所以，
故，所以D错误，故选：ABC.
11.【答案】BCD
【解析】由题意可得和为方程的两根，
且，所以，即，，故A错误；
又，当且仅当等号成立，因为，所以，故B正确；
而
，故C正确；
因为，且，
所以，即，故D正确.故选：BCD.
12.【答案】2
【解析】因为，所以或，
若，，不满足互异性；
若或2，又，所以，故答案为：2.
13.【答案】（以集合的形式写出答案，只要结果正确均给分）
【解析】由题意可得，则有，
∴.故答案为：.
14.【答案】
【解析】因为，故原式可等价于恒成立，
由题意当时，∵，则，
由于的图象开口向上，则不恒成立，
当时，由可解得，
而方程有两个不相等的实数根且异号，
所以必定是方程的一个正根，
则，
∵，则可解得，故答案为：.
15.【解析】（1）由题意关于的方程有两个不相等的实数根是真命题，
所以，即或.
（2）由题意关于的方程无实数根是真命题，
所以，即.
因为为假命题且为真命题，故，即.
综上所述，的取值范围为.
16.【解析】（1）因为，
所以，
故，即，
故，当且仅当、时等号成立；
（2）因为即，
所以，因为，
所以，即，
当且仅当、时取等号.
17.【解析】由题意可知，矩形（）的周长为，
设，则，设，
则，，由为直角三角形及勾股定理可得
，
∴，.
.
当且仅当，即时取等，此时，满足，
故时，取最大面积.
18.【解析】（1）由可得，解得或，
所以集合，
时，集合，且，
故.
（2）解法一：若“”是“”的充分不必要条件，故是的真子集.
当时，，即时，满足是的真子集；
当时，则满足且不能同时取等号，解得.
综上所述，的取值范围为.
解法二：若“”是“”的充分不必要条件，故是的真子集.
则只需满足且不能同时取等号，解得.
故的取值范围为.
【评分细则】本题第二问是否讨论空集都给分，但要在对应情况下参数范围解答正确才给满分.
19.【解析】（1），则，，，
，，.
（2），，故，，
，，故，，
，，故，，
则（），，
故真子集个数的最大值为.
（3）（），故，，
故，
，
由，，；
，，故
，，
且，
故，，
故（）.
因为，
所以（），
所以的最小值为3.