宁夏回族自治区西吉中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

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（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
3.已知函数为奇函数，为偶函数，当时，.则（ ）
A.0B.C.1D.
4.随机变量的分布列如下表：
若，则（ ）
A.B.C.D.
5.函数的图象大致为（ ）
A.B.
C.D.
6.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，）
A.85B.100C.150D.225
7.某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（ ）
A.124B.246C.114D.108
8.已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列运算结果为1的有（ ）
AB.C.D.
10.下列说法中正确的是（ ）
A.函数的值域为
B.函数的零点所在区间为
C.函数与互为反函数
D.函数与函数为同一函数
11.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则（ ）
A.从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为
B.从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为
C.从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4
D.从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在二项式展开式中，常数项为__________.
13.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.
14.定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.
（1）求的解析式；
（2）设，若在上是单调函数，求实数的取值范围.
16.甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立.已知甲答对每题的概率均为，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为.
（1）求，的值；
（2）乙回答3题后，记乙的积分为，求的分布列和期望.
17.已知函数.
（1）试判断的奇偶性，并说明理由；
（2）试判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）求在上的值域.
18.已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若最小值为-3，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围.
19.“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下：
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为：.
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.
（附：刻画回归效果的相关指数，.）
（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式；）
（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予奖励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.
（附：随机变量服从正态分布，则，.）
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】
【分析】解指数不等式化简集合A，再利用交集的定义直接求解.
【详解】集合，而，
所以.
故选：B
2.【答案】C
【解析】
【分析】对于ABD：举反例分析判断；对于C：根据不等式的性质分析判断.
【详解】对于选项A：若，则，故A错误；
对于选项B：若满足，则，故B错误；
对于选项C：若，则，即，故C正确；
对于选项D：若满足，则，故D错误；
故选：C.
3.【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得是以4为周期的函数，则，从而计算可得；
【详解】解：因为为奇函数，所以，①
将①中的替换为得.②
因为为偶函数，所以，③
由②③得，
则，所以是以4为周期的函数，
故.
故选：D
4.【答案】A
【解析】
【分析】由分布列中概率和为1和期望的值可以计算出的值，代入方差公式可以计算方差.
【详解】解：∵，由表中数据可知，解得：.又，∴.所以.
故选：A
5.【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.
【详解】因为，所以，定义域为；
因为，所以，
故，所以为奇函数，排除B，
当逼近于，逼近于0，排除D，
由，，则，排除C，
故选：A.
6.【答案】B
【解析】
【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可.
【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，天后，甲、乙的“日能力值”分别、，
依题意可得，即，两边取对数得，
因此，
所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.
故选：B
7.【答案】C
【解析】
【分析】利用分布乘法计数原理，根据排列及间接法计算.
【详解】设学校为，先把甲乙两人安排到不同学校，有种，
不妨设甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，
利用间接法计算，有种不同安排方法，
根据分步乘法计数原理可知，共有6×19=114种不同安排方法.
故选：C
8.【答案】B
【解析】
【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解.
【详解】当时，则，
且，所以，
若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，
若，则在内单调递减，
可得，不合题意；
若，则在内单调递增，
可得，则，解得；
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】选：CD.
10.【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数性质分别判断各选项.
【详解】A选项：函数，当时，取最小值为1，所以函数的值域为；
B选项：因为函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，且，，所以其零点所在区间为，B选项正确；
C选项：，即，可得，所以函数与函数互为反函数，C选项正确；
D选项：函数与函数的定义域均为，，，不为同一函数，D选项错误；
故选：ABC.
11.【答案】ACD
【解析】
【分析】根据古典概型公式，结合组合公式，依次判断选项.
【详解】A.在第一次取到白球的条件下，则甲袋中还有2个白球和4个红球，所以第二次取到红球的概率为，故A正确；
B.从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率，故B错误；
C.设红球个数为，，则数学期望，故C正确；
D.第一种情况，若是从甲袋中取到2个白球放入乙袋，则概率，第二种情况，若是从甲袋中取到1个白球和1个红球放入乙袋，则概率，第三种情况，若是从甲袋中取到2个红球放入乙袋，则概率，所以从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】60
【解析】
【分析】
求得二项式展开式的通项为，令，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，二项式展开式的通项为，
令，可得，即展开式的常数项为60.
故答案为：60.
13.【答案】
【解析】
【分析】令，由题设易知在上为增函数且恒大于零，根据二次函数的性质列不等式组求的取值范围.
【详解】由题设，令，而为增函数，
∴要使在上是增函数，即在上为增函数且恒大于零，
，可得，
∴的取值范围是.
故答案为：
14.【答案】
【解析】
【分析】利用给定定义构造不等式，按分类讨论并结合函数大致图象，建立关系式求解即得.
【详解】由给定的定义知，为满足的整数解的和，
当时，在同一坐标系内作出函数和的大致图象，如图：
，，，，
因此的解集包含，，不符合题意；
当时，，由，解得或，
在内有3个整数解1，2，3，即，因此，符合题意；
当时，作出函数和的大致图象，如图，
若，又，且，所以不等式的整数解为1，2，3.
只需满足，即，解得.
所以时，实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式；
（2）首先表示出，从而确定其对称轴，依题意得到或，解得即可
【小问1详解】
因为不等式的解集为，
所以和1为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上，
则可设，，
即，
由的图象过点，可得，解得，
所以，即.
【小问2详解】
因为，对称轴，
因为在上是单调函数，所以或，解得或，
即实数的取值范围.
16.【答案】（1），
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）借助相互独立事件的乘法公式可得方程组，解出该方程组即可得；
（2）得出的所有可能取值后计算相应概率即可得分布列，借助分布列计算即可得其期望.
【小问1详解】
由题意可得，解得；
【小问2详解】
的可能取值为0，40，80，120，
，，
，，
则其分布列为：
.
17.【答案】（1）偶函数，理由见解析
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义即可判断；
（2）根据题意，由函数单调性的定义即可判断；
（3）根据题意，由函数的单调性代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
是偶函数.
易得，其定义域为.
因为，所以是偶函数.
【小问2详解】
在上单调递增.
证明如下，任取，则
，
因为，所以，则，
所以，
则，故在上单调递增.
【小问3详解】
由（2）得在上单调递增，
所以，
，
故在上的值域为.
18.【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数在定区间求值域问题，根据二次函数的性质计算即可；
（2）分类讨论，结合二次函数的性质计算即可；
（3）利用分离参数法将问题转化为有解，利用基本不等式计算的最小值解不等式即可.
【小问1详解】
设，
∵，∴，，
其对称轴方程为，故函数在上单调递增，
所以，
故所求值域为；
【小问2详解】
∵函数的最小值为-3，，
若，在上单调递增，没有最小值；
若时，可知时，y取得最小值；
即，解得或（舍去），
综上，；
【小问3详解】
由题意，有实数解，
即，可得，
要使此不等式有解，只需即可，
∵（当且仅当时取等号），
，
∴，解得，
即实数a的取值范围为.
20.【答案】（1）回归模型②刻画的拟合效果更好，72.93亿元；（2）答案见解析；（3）2.4305万元.
【解析】
【分析】（1）根据公式比较可得模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好.根据模型②的回归方程计算可得结果；
（2）用最小二乘法求出当时，y与x满足的线性回归方程，再通过计算比较可得答案；
（3）根据正态曲线的对称性和两个特殊区间的概率求出分布列，根据数学期望公式计算可得结果.
【详解】（1）由表格中的数据，有182.4>79.2，即，
所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好.
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为
（亿元）；
（2）由已知可得：，，
所以，
所以当亿元时，y与x满足的线性回归方程为：，
所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值，
所以当亿元时，实际收益的预测值为69.3+10=79.3亿元>72.93亿元，
所以技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大；
（3）因为，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为：
所以每台发动机获得奖励的数学期望为：（万元）.
-1
0
1
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
675
66
66
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2
0
40
80
120
0
2
5
0.0228
0.8185
0.1587