高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用一课一练

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知识点1 极值点与极值的概念
1．极小值点与极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点．
【即学即练1】关于函数的极值，下列说法正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数
【即学即练2】已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练3】函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数 SKIPIF 1 < 0 在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
知识点2 求函数的极值
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)0)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))内有极大值，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞)) B．(1，＋∞) C．(1,2) D．(2，＋∞)
【例3-4】若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内无极值，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
变式1：若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无极值，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
（二）已知极值点个数求参数的取值范围
【例3-5】若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为________________．
变式1：若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
变式2：若函数 SKIPIF 1 < 0 存在极值点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式3：函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内存在极值点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【例3-6】已知函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个极值点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式1：若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
【例3-7】若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式1：已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
【例3-8】已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________.
考点四 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
【例4-1】若 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点，函数 SKIPIF 1 < 0 恰好有一个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式1：若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
变式2：已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的极值；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个零点，试求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
变式3：设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
（1）求f(x)的极值点；
（2）若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
（3）已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围.
题组A 基础过关练
1、设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
2、下列函数中存在极值的是( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝x－ex
C．y＝2 D．y＝x3
3、设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．f（x）的极大值为 SKIPIF 1 < 0 B．f（x）的极小值为 SKIPIF 1 < 0
C．f（x）的极大值为 SKIPIF 1 < 0 D．f（x）的极小值为 SKIPIF 1 < 0
4、设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．极小值点为 SKIPIF 1 < 0 ，极大值点为 SKIPIF 1 < 0 B．极小值点为 SKIPIF 1 < 0 ，极大值点为 SKIPIF 1 < 0
C．极小值点为 SKIPIF 1 < 0 ，极大值点为 SKIPIF 1 < 0 D．极小值点为 SKIPIF 1 < 0 ，极大值点为 SKIPIF 1 < 0
5、已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，则 SKIPIF 1 < 0 ________， SKIPIF 1 < 0 的极大值是_______.

6、求下列函数的极值：
（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0 .
题组B 能力提升练
7、如图是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点
B．当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的值为0
C．函数 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称
D．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数
8、函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2＋a在x＝1处有极值为7，则a等于( )
A．－3或3 B．3或－9 C．3 D．－3
9、函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝ SKIPIF 1 < 0 处有极值，则ac＋2b的值为（ ）
A．－3B．0C．1D．3
10、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
11、已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的（ ）．
A．极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，极小值为0 B．极大值为0，极小值为负的 SKIPIF 1 < 0
C．极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为0 D．极小值为0，极大值为 SKIPIF 1 < 0
题组C 培优拔尖练
12、【多选】关于函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值B．函数 SKIPIF 1 < 0 有且只有 SKIPIF 1 < 0 个零点
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减D．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
13、已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上有极值点，则实数a的取值范围为______．
14、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有两个极值点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15、若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内不存在极值点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________.
16、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列命题中：
① SKIPIF 1 < 0 在其定义域内有且仅有 SKIPIF 1 < 0 个零点；
② SKIPIF 1 < 0 在其定义域内有且仅有 SKIPIF 1 < 0 个极值点；
③ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
④当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的图像总在函数 SKIPIF 1 < 0 的图像的下方．
其中真命题有________．（写出所有真命题的序号）课程标准
课标解读
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
4.能根据极值点与极值的情况求参数范围.
5.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题．
通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.