高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用复习练习题

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(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
(3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；
(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．
【即学即练1】如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值．
【解析】由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b)．
【即学即练2】设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的极值点一定是最值点
B．f(x)的最值点一定是极值点
C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点
D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点
【解析】根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确．故选C
【即学即练3】下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
【解析】函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．故选D
【即学即练4】已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上可导，则“函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最小值”是“存在 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】 SKIPIF 1 < 0 为开区间 SKIPIF 1 < 0 最小值点一定是极小值点 SKIPIF 1 < 0 极小值点处的导数值为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 充分性成立
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，结合幂函数图象知 SKIPIF 1 < 0 无最小值，必要性不成立
SKIPIF 1 < 0 “函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最小值”是“存在 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件
故选： SKIPIF 1 < 0
知识点2 用导数求函数f(x)最值的基本方法
(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；
(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；
(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；
(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；
(5)求区间端点的函数值；
(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.
【即学即练5】求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]； (2)f(x)＝eq \f(1,2)x＋sin x，x∈[0,2π]．
【解析】(1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq \r(2))(x－eq \r(2))，
令f′(x)＝0，解得x＝－eq \r(2) 或x＝eq \r(2).
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f(eq \r(2))＝－8eq \r(2)，f(－eq \r(2))＝8eq \r(2)，
所以当x＝eq \r(2)时，f(x)取得最小值－8eq \r(2)；当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝eq \f(1,2)＋cs x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝eq \f(2π,3)或x＝eq \f(4π,3).
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)))＝eq \f(2π,3)－eq \f(\r(3),2).
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
【即学即练6】函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最值，但无极值 B．有最值，也有极值
C．既无最值，也无极值 D．无最值，但有极值
【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上单调递减，
无最大值和最小值，也无极值．故选C
考点一 函数的最值与极值的关系
解题方略：
最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
【例1-1】函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点B． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值点
C． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率大于零
【解析】根据导函数图象可知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
易知 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 不是函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值点，故 SKIPIF 1 < 0 不正确；
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的导数大于0， SKIPIF 1 < 0 切线的斜率大于零，故 SKIPIF 1 < 0 正确.故选： SKIPIF 1 < 0 ．
变式1：【多选】定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，函数 SKIPIF 1 < 0 的部分对应值如下表．下列关于函数 SKIPIF 1 < 0 的结论正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点的个数为3
B．函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值是2，则t的最大值为4
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有4个不同的实根
【解析】对于A：由 SKIPIF 1 < 0 的图象可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以0，2，4是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点，故A选项正确；
对于B：由导函数 SKIPIF 1 < 0 的正负与函数 SKIPIF 1 < 0 之间的关系可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B选项错误；
对于C：当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是2，而 SKIPIF 1 < 0 的最大值不是4，故C选项错误；对于D：作出函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如图所示，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有4个交点，故D选项正确．
故选：AD．
变式2：【多选】下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A．f(x)>0的解集是{x|0C．f(x)没有最小值，也没有最大值 D．f(x)有最大值无最小值
【解析】由f(x)>0得0当x<－eq \r(2)或x>eq \r(2)时，f′(x)<0，当－eq \r(2)0，∴当x＝－eq \r(2)时，f(x)取得极小值，
当x＝eq \r(2)时，f(x)取得极大值，故B正确．
当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，且f(eq \r(2))>0，结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确．故选ABD
考点二 求函数的最值
解题方略：
1、求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
2、含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
3 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
（一）不含参函数的最值问题
【例2-1】求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]； (2)f(x)＝eq \f(x－1,ex).
【解析】(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37，∴当x＝4时，f(x)取最大值35.
当x＝－2时，f(x)取最小值－37.即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
(2)函数f(x)＝eq \f(x－1,ex)的定义域为R.f′(x)＝eq \f(1·ex－exx－1,ex2)＝eq \f(2－x,ex)，当f′(x)＝0时，x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示.
∴f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝eq \f(1,e2).
变式1：函数y＝x－sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))的最大值是( )
A．π－1 B.eq \f(π,2)－1 C．π D．π＋1
【解析】y′＝1－cs x，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，y′>0，则函数在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递增，
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.故选C
变式2：函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________．
【解析】f(x)＝(x＋1)ex⇒f′(x)＝(x＋2)ex，当x>－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x<－2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因此当x＝－2时，函数有最小值，最小值为f(－2)＝(－2＋1)e－2＝－eq \f(1,e2).
变式3：已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______．
【解析】由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，此时 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
变式4：函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是( )
A．1，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19
【解析】 f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1∉[－3,0]．
所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－17.故选C
变式5：已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】求得函数的导数 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点，求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得函数 SKIPIF 1 < 0 单调性，结合 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求得函数的最大值，得到答案.
【详解】由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
变式6：已知函数 SKIPIF 1 < 0 的一个极值点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】求出 SKIPIF 1 < 0 的导函数，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据基本不等式即可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 的一个极值点为1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．故选： SKIPIF 1 < 0 ．
含参函数的最值问题
【例2-2】已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
【解析】令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F(x)在[a，b]上单调递减，∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．故选A
变式1：已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
【解析】 f′(x)＝3x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq \f(2a,3).
①当eq \f(2a,3)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
②当eq \f(2a,3)≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.
③当0从而f(x)max＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8－4a，02.))
变式2：设函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数的递减区间；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，记函数 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .故函数的递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数．
因此， SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数．故g(x)有最小值 SKIPIF 1 < 0 .
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
变式3：已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
（2）是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）极小值 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）利用导数分析函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，由此可求得函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
（2）分 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三种情况讨论，分析函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，结合 SKIPIF 1 < 0 可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值；
（2）①当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，故不满足条件；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
其导函数 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 不符合题意；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 满足条件.
综上所述：存在 SKIPIF 1 < 0 符合题意.
考点三 由函数的最值求参数问题
解题方略：
1、已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
2、函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．
3、分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
（一）由函数的最值求参数
【例3-1】已知函数f(x)＝－eq \f(2,3)x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________．
【解析】∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋3＋2a2，∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，
∵a>0，∴a＝1.∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，f′(1)＝－2＋4＋3＝5.
又f(1)＝－eq \f(2,3)＋2＋3＝eq \f(13,3)，∴所求切线方程为y－eq \f(13,3)＝5(x－1)．即15x－3y－2＝0.
变式1：已知函数 SKIPIF 1 < 0 （a是常数）在 SKIPIF 1 < 0 上有最大值3，那么它在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最小值为-37．故选：D.
变式2：已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2） SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 最大值为5，求 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）（i）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）；
（ii）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（iii）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 递增，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 成立.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
综上： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
变式3：已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
【解析】 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
（二）由极值与最值关系求参数范围
【例3-2】已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
【解析】f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝eq \f(m,2).由题意得eq \f(m,2)∈(－2，－1)，故m∈(－4，－2)．
【例3-3】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有一个最值点，则实数a的取值范围是( )．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有一个最值点，则函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有一个极值点，从而 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一一个变号零点，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
即 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一一个零点，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有一个最值点．
从而实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A.
变式1：函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1)B．(0，1)
C．(－1，1)D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 ＝3x2－3a＝3(x2－a),当a≤0时， SKIPIF 1 < 0 ＞0，∴f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.
当a＞0时， SKIPIF 1 < 0 ＝3(x－ SKIPIF 1 < 0 )( x＋ SKIPIF 1 < 0 ),不妨只讨论 SKIPIF 1 < 0 时，当x＞ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，f(x)为增函数，当0＜x＜ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 , f(x)为减函数，∴f(x)在x＝ SKIPIF 1 < 0 处取得最小值，∴ SKIPIF 1 < 0 ＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0，1)内有最小值.故选：B.
变式2：若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最大值，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由导函数求得极大值，利用极大值点在区间 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 的极大值可得参数范围．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上都递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最大值，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
变式3：若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在最小值，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，确定其极小值点与极小值，由给定条件探讨极小值点位置、区间上函数值与极小值的关系即可作答.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上都单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式4：已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在最小值，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】结合题意由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，由 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在最小值，求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，即可计算出结果.
【详解】由题意函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，则有
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上存在最小值， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 区间 SKIPIF 1 < 0 上存在最小值，则有 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
（三）与最值有关的恒成立与存在性问题
【例3-4】已知函数f(x)＝ln x－ax，其中x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))，若不等式f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(－∞，\b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(1,e)))))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))
【解析】当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))时，不等式f(x)≤0恒成立等价于a≥eq \f(ln x,x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞))上恒成立，
令g(x)＝eq \f(ln x,x)，则g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2).当00；当x>e时，g′(x)<0；
所以g(x)max＝g(e)＝eq \f(1,e)，所以a≥eq \f(1,e).故选C.
变式1：当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题可知， SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ；由以上两种情况得： SKIPIF 1 < 0 .
显然当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，综上得：实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
变式2：已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )
A．20 B．18 C．3 D．0
【解析】因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，在[1,2]和[－3，－1]上单调递增．f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选A.
变式3：函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么实数a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))
【解析】设h(x)＝f(x)－g(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋a－x2＋3x，则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，
所以当x∈[1,3)时，h(x)单调递减；当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增．
当x＝3时，函数h(x)取得极小值也是最小值．因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，
所以h(x)min>0，即h(3)＝a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．故选A
变式4：已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则a的取值范围是（ ）
A．[2，5] B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在[1，2]递减，在（2，3]递增，
SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，在[1，3]递增，可得 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
若对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的值域 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的值域 SKIPIF 1 < 0 的子集.
则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
变式5：已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得若存在 SKIPIF 1 < 0 成立 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】求导函数，分析 SKIPIF 1 < 0 的符号，得出函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，再由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，利用导函数得出所令函数的最值，可求得答案.
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
考点四 利用最值证明不等式
解题方略：
证不等式恒成立，用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数的最值，即可得到结果．
【例4-1】已知函数f(x)＝ex－e(ln x＋1)，求证f(x)≥0恒成立．
【解析】由题意知f′(x)＝ex－eq \f(e,x)＝eq \f(xex－e,x)，
设F(x)＝xex－e(x>0)，则F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且F(1)＝0.
当x∈(0，1)时，F(x)<0，∴f′(x)＝eq \f(F\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，F(x)>0，∴f′(x)＝eq \f(F\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),x)>0，f(x)单调递增．
f(x)的最小值为f(x)min＝f(1)＝0，∴f(x)≥0恒成立．
变式1：求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】证明过程见详解
【分析】构造新函数 SKIPIF 1 < 0 ，对新函数求导，利用导函数研究函数的最值，从而得到新函数与0的大小，进而判断出结果
【详解】设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
变式2：已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值与最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）最大值与最小值分别为3与 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据题意可知要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数研究函数的单调性，从而得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）对函数求导得 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数研究函数的单调性和最值，即可求解.
（1）证明：要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值与最小值分别为3与 SKIPIF 1 < 0 ．
变式3：已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）证明见解析
【分析】（1）求出函数导数，根据导数分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两类讨论，即可求出函数单调区间；
（2）原不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，分析函数有唯一极值点 SKIPIF 1 < 0 ，只需证明 SKIPIF 1 < 0 即可，结合零点可知 SKIPIF 1 < 0 ，利用均值不等式可知最小值大于0，即可证明.
（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .由已知得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,无单调递减区间.
当 SKIPIF 1 < 0 时,令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，无单调递减区间；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：原不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
要证 SKIPIF 1 < 0 即要证 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
题组A 基础过关练
1、设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0 B．小于0 C．等于1 D．不确定
【解析】因为M＝m，所以f(x)为常函数，故f′(x)＝0，故选A.
2、函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值点
B． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值点
D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率小于零
【解析】根据导函数图象可知：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，故A错误，B正确；∴在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 不是函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值点，故C不正确；
∴函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的导数大于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 切线的斜率大于零，故D不正确.故选：B
3、求下列函数的最值：
(1)f(x)＝sin x＋csx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))； (2)f(x)＝ln(1＋x)－eq \f(1,4)x2，x∈[0,2]．
【解析】(1)f′(x)＝cs x－sin x.令f′(x)＝0，即tan x＝1，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以x＝eq \f(π,4).
又因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝－1，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝1，所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，函数的最大值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，
最小值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝－1.
(2)f′(x)＝eq \f(1,1＋x)－eq \f(1,2)x，令eq \f(1,1＋x)－eq \f(1,2)x＝0，化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当1所以f(1)＝ln 2－eq \f(1,4)为函数f(x)的极大值．又f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1>0，f(1)>f(2)．
所以f(0)＝0为函数f(x)＝ln(1＋x)－eq \f(1,4)x2在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－eq \f(1,4)为函数在[0,2]上的最大值．
4、若函数f(x)＝x3－3x在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m＋n＝________.
【解析】f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)．f(1)＝－2.
又f(0)＝0，f(3)＝18，所以m＝18，n＝－2，m＋n＝16.
5、函数f(x)＝x＋2cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上的最小值是( )
A．－eq \f(π,2) B．2 C.eq \f(π,6)＋eq \r(3) D.eq \f(π,3)＋1
【解析】 f′(x)＝1－2sin x，因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以sin x∈[－1,0]，所以－2sin x∈[0,2]．
所以f′(x)＝1－2sin x＞0在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上恒成立．所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))上单调递增．
所以f(x)min＝－eq \f(π,2)＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝－eq \f(π,2).故选A
题组B 能力提升练
6、设0【解析】y′＝eq \f(sin2x－2－cs xcs x,sin2x)＝eq \f(1－2cs x,sin2x).因为00；
当07、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用导数求得 SKIPIF 1 < 0 的单调区间，由此求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ，所以
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .结合复合函数单调性同增异减可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
8、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在最小值，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 处取得极值.
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最小值，
∵函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在最小值，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
9、已知 SKIPIF 1 < 0 （a是常数）在 SKIPIF 1 < 0 上有极大值是3，那么在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．－5B．－11C．－29D．－37
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 递增；
在区间 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 递减.所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
10、已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．若对任意 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数的几何意义及条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，即可得出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【详解】由题得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最大值， SKIPIF 1 < 0 ．
∵对任意 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 .
题组C 培优拔尖练
11、已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－eq \f(1,2)相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))上的最大值．
【解析】(1)f′(x)＝eq \f(a,x)－2bx(x>0)．由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－eq \f(1,2)相切，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′1＝0，,f1＝－\f(1,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2b＝0，,－b＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\f(1,2).))
(2)由(1)，得f(x)＝ln x－eq \f(1,2)x2，定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝eq \f(1,x)－x＝eq \f(1－x2,x).
令f′(x)>0，得01，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))上的最大值为f(1)＝－eq \f(1,2).
12、若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为2，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，亦即最大值，即 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 合乎题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，此时， SKIPIF 1 < 0 ，合乎题意．
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
13、已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2＋ln x．求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝eq \f(2,3)x3的图象的下方．
证明 设F(x)＝g(x)－f(x)，即F(x)＝eq \f(2,3)x3－eq \f(1,2)x2－ln x，则F′(x)＝2x2－x－eq \f(1,x)＝eq \f(x－12x2＋x＋1,x).
当x>1时，F′(x)＝eq \f(x－12x2＋x＋1,x)>0，从而F(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴F(x)>F(1)＝eq \f(1,6)>0.
∴当x>1时，g(x)－f(x)>0，即f(x)14、已知函数f(x)＝ex－x2－ax.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当x>0时，f(x)≥1－x恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝ex－2x＋1，f′(1)＝e－1，f(1)＝e，切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋1.
(2)当x>0时，f(x)≥1－x，即a≤eq \f(ex,x)－x－eq \f(1,x)＋1，
令g(x)＝eq \f(ex,x)－x－eq \f(1,x)＋1(x>0)，a≤g(x)min成立，g′(x)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex－x－1)),x2).
设F(x)＝ex－x－1，F′(x)＝ex－1，x∈(0，＋∞)，F′(x)＝ex－1>0，所以F(x)min>0，
所以当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
故g(x)min＝g(1)＝e－1，所以a∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，e－1)).
15、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象均在 SKIPIF 1 < 0 轴下方，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，可得切线的斜率和切点坐标，利用点斜式方程可得答案；
（2）转化为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值可得答案.
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象均在 SKIPIF 1 < 0 轴下方，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以有 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
16、设函数 SKIPIF 1 < 0 的导数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2） SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
（3）若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴有三个交点，求 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【答案】（1）递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 （3） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）利用导数求出函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值，建立方程关系即可求 SKIPIF 1 < 0 的值.
（3）根据 SKIPIF 1 < 0 的单调性求得极值，令极大值大于 SKIPIF 1 < 0 ，极小值小于 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式即可求 SKIPIF 1 < 0 的范围.
（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单减区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由（1）知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ，
若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴有三个交点，则 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值．
3.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.
4.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．
通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（ 小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题.
SKIPIF 1 < 0
-1
0
2
4
5
SKIPIF 1 < 0
1
2
0
2
1
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
eq \f(1,e2)
单调递减
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b