高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列精品测试题

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1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2aeq \\al(2,5)，a2＝1，则a1＝( )
A.eq \f(1,2) B．2 C.eq \r(2) D．eq \f(\r(2),2)
解析：选D 设数列{an}的公比为q，则q>0.由已知，得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2.又q>0，所以q＝eq \r(2)，所以a1＝eq \f(a2,q)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，故选D.
2．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，eq \r(k,a1a2…ak)＝a11，则k＝( )
A．12 B．15 C．18 D．21
解析：选D eq \r(k,a1a2…ak)＝a1q SKIPIF 1 < 0 ＝a1q SKIPIF 1 < 0 ＝a1q10，∵a1>0，q≠1，∴eq \f(k－1,2)＝10，∴k＝21，故选D.
3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，则a2 019＝( )
A．32 019＋1 B．32 019－1 C．32 019－2 D．32 019＋2
解析：选B ∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)．∵a1＋1＝3，∴数列{an＋1}是首项，
公比均为3的等比数列，∴an＋1＝3n，即an＝3n－1，∴a2 019＝32 019－1.故选B.
4．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，eq \f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq \f(a3＋a4,a4＋a5)的值为( )
A.eq \f(\r(5)＋1,2) D．eq \f(\r(5)－1,2) C.eq \f(1－\r(5),2) D．eq \f(\r(5)＋1,2)或eq \f(1－\r(5),2)
解析：选B 设{an}的公比为q(q>0，q≠1)，根据题意可知a3＝a2＋a1，∴q2－q－1＝0，
解得q＝eq \f(\r(5)＋1,2)或q＝eq \f(1－\r(5),2)(舍去)，则eq \f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq \f(1,q)＝eq \f(\r(5)－1,2).故选B.
5．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
解析：选C ∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝aeq \\al(5,1)·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，
∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.
6．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，eq \f(an,an－1)＝－1(n≥2)．故{an}是公比为－1的等比数列，
令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.
答案：an＝3·(－1)n－1
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则a4＝________.
解析：设公比为q，则a1q2＝3，a1q9＝384，所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.
答案：6
8．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝________.
解析：∵an＝(n＋8)d，又∵aeq \\al(2,k)＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.
答案：4
9．已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项，求an.
解：设等比数列{an}的公比为q.依题意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，∴a3＝8，a2＋a4＝20，
∴eq \f(8,q)＋8q＝20，解得q＝2或q＝eq \f(1,2)(舍去)．又a1＝eq \f(a3,q2)＝2，∴an＝2n.
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.∴an＋1＝eq \f(1,2)an.
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝eq \f(1,2)an知an≠0，∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2).∴数列{an}是等比数列．
[B级 综合运用]
11．(多选)已知公差为d的等差数列a1，a2，a3，…，则对重新组成的数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…描述正确的是( )
A．一定是等差数列 B．公差为2d的等差数列
C．可能是等比数列 D．可能既非等差数列又非等比数列
解析：选ABC 由题意得a1＋a4＝2a1＋3d，a2＋a5＝2a1＋5d，a3＋a6＝2a1＋7d，…，令bn＝an＋an＋3，则bn＋1－bn＝[2a1＋(2n＋3)d]－[2a1＋(2n＋1)d]＝2d，因此数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…一定是公差为2d的等差数列，即A、B正确，D错误；当a1≠0，d＝0时bn＝2a1，此时数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…可以是等比数列，即C正确；故选A、B、C.
12．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)，eq \f(1,4)
eq \f(3,4)，eq \f(3,8)，eq \f(3,16)…
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为( )
A.eq \f(1,16) D．eq \f(1,8) C.eq \f(5,16) D．eq \f(5,4)
解析：选C 第一列构成首项为eq \f(1,4)，公差为eq \f(1,4)的等差数列，所以a51＝eq \f(1,4)＋(5－1)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为eq \f(5,4)，公比为eq \f(1,2)的等比数列，所以a53＝eq \f(5,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(5,16).
13．已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1