如何用基础知识解决初中数学难题学案(中考代数部份)(5课时)

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一. 代数部分
（一）有理数:
例1.三个互不相等的有理数，既可以表示为 1, a+b, a的形式，也可以表示为0, , b 的形式,试求 a2001+b2002 =的值，并说明理由。
考点:本考题主要考查学生对分母不为零的把握.互为相反数的两个数的和为零,互为相反数的两个数的商为-1的运用.以及乘方的运算.
解析:1.从题知这三个数,一定有两个为0和1,
2.因为这三个数表示为1, a+b, a,所以是a+b=0还是a=0是本题突破口.
3.因为这三个数又可表示为0, , b,所以a不能为0,所以a+b=0
4. a+b=0说明a与b互为相反数, =-1
5.这三个数就应为0 ,1 , -1
详解: ∵ 三个互不相等的有理数，既可以表示为 1, a+b, a的形式，也可以表示为0, , b
∴这三个数必有0,1两数
∵存在,所以a不能为0
∴a+b=0
∴=-1
∴b=1, a=-1
∴a2001+b2002 = (-1)2001+12002 =-1+1=0
应对策略:本题涉及对4个知识点的应用.数学所谓难题就是一题用多个知识点,多元思维解题.所以给大家一个建议,基础知识一定要构建知识框架体系.熟练掌握知识点是解题之本.
（二）代数式:
(1)整式:
例一 证明：比4个连续正整数的乘积大1的数一定是某整数的平方．
分析：本题很明显，就是检查你配方能力，关键是如何把一个较难的代数式写成一个完全平方的形式，这就需要一定的能力和技巧。
详解：设这四个数分别为n,n+1,n+2,n+3,
则比这四个数的乘积大1的数为n(n+1)(n+2)(n+3)+1
技巧：因为如上的四个一次项相乘一定会出现四次项，写成平方的形式底数一定含n的平方，所以大小组合，中中组合。
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
= [n(n+3)][ (n+1)(n+2)]+1
=( n2 +3n)( n2 +3n+2)+1
=( n2 +3n)[(n2 +3n)+2]+1[把( n2 +3n)当作一个整体，理解不到的同学可用换元法理解]
=（n2 +3n）2 +2( n2 +3n)+1
=（n2 +3n+1）2
应对策略:代数的难题就是把公式里面的字母扩到多项式，扩展后的多项式越复杂，题的难度就越大，做这类题要具备整体意识，实在不行就用换元法吧！
例二 已知代数式(x-a)(x-b)-(x-b)(c-x)+(a-x)(c-x)，是一个完全平方式，试问以a、b、c为边的三角形是什么三角形?
分析：本题与上题是同一类型的题，只是代数式的形 式与上式有区别。
不看下面内容，看你能否解决。
详解：∵(x-a)(x-b)-(x-b)(c-x)+(a-x)(c-x)
=x2–(a+b)x+ab+ x2-(b+c)x+bc+ x2-(a+c)x+ac
=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac
又∵(x-a)(x-b)-(x-b)(c-x)+(a-x)(c-x)是个完全平方式
∴3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac是个完全平方式
∴= a+b+c
∴3 （ab+bc+ac）= （a+b+c）2
∴3ab+3bc+3ac=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
∴a2+b2+c2+ a2+b2+c2-2ab-2bc-2ac=0
∴a2+b2-2ab+c2+ a2-2ac+b2+c2-2bc=0
∴(a-b)2+(c-a)2+(b-c)2=0
∴a-b=0,c-a=0,b-c=0
∴a=b,c=a,b=c
应对策略:这就是一个完全平方公式的拔高，关键是对完全平方公式的实质:两个整体平方和加一二两数乘积的二倍的把握。通过以上两例，你对数学公式的学习有无感悟。
(2)分式
例一(成都外国语学校2010年高中招生考试试卷)
若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a=_______。
分析：一个分式方程在实数范围内无解,应该转化成整式方程解后产生增根.而增根就是让原来的分式无意义的值.
详解:
1-(x+3)=a
1-x-3=a
-x=a+2
x =-a-2
∵产生增根
∴x=-3
∴-a-2= -3
∴a=1
应对策略:这是一个分式方程的考题,一定要理解增根产生的原因.解分式方程是转化成了整式方程解的,所以解的过程没有考虑原来分式有无意义,所以分式方程一定要验根!
例二(七中2013年外地生招生考试数学试题)
若，则的值的整数部分为
分析：本题一看分母,要用扩展知识立方差公式,所以要参加此类直升考试,平时学习必须拓展知识,立方和差公式在一般这类考试的辅导资料中都有涉及,所以一定要掌握.当然这题还出现了大数次方,大数次方的处理技巧是解本题的一个关键.
详解:
=
=+++++
=-+-+-
=-
∵
∴=4
∴ ==
∵≥1
∴＜=＜2
∴1＜＜2
∴2＜-＜3
∴的值的整数部分为2
应对策略:本题用了立方差公式后,要看分子与分母的联系,找出可抵消项,可要认真体会.在大数次方的处理上,你看后有何收获.
(3)二次根式
例1 若m满足关系式+=.,求x与y及m的值.
分析：本题条件很单一，只有一个由二次根式构成的等式。由二次根式的定
义（形如（a≧0））只能从被开方数入手。因本题求三个末知数，所以突破口就是如何从题中找出三组等量关系。若本题变式为只求m，此题又上一个难度，做题时因是求末知数，还是要有方程的理念，因本题有三个字母出现，还是要有三元理念。一个方程，几个末知数，要求出每个末知数，一般要用到几个非负数的和为0每个必为0。
详解：∵x-199+y ≧0
∴x+y≧199
∵199-x-y≧0
∴x+y≦199
∴x+y=199
∴x-199+y=0 199-x-y=0
∴.=0
∴+=0
∵≧0 , ≧
∴=0 =0
∴
∴
应对策略:一般在数学题中，只要是求未知数，常用的方法就是建方程，但各种类型的题包含的等量关系不尽相同，所以在平时学习和最后的复习中，一定要总结，以期达到做题时思路清晰，敢解数学难题，能解数学难题。
例二 是否存在正整数a.b(a分析：本题大条件，两个二次根式相加，结果为一个二次根式。怎样才能做到呢？这两个二次根式是同类二次根式，而不是最简二次根式，按常规先化简，=6，题上还有一条件，正整数a.b(a详解：∵+ =
∴+=6
∵正整数a.b(a又∵+5=6或2+3
∴a=39,b=975或a=156,b=351
应对策略:代数的题不管有多难，只要你掌握了常规的解题方法和思路，以及基本的定理公式，能做到哪步，就做到哪步，到某步你的思路自然就全了，所以一定要记熟悉公式，做代数题不能纯模仿。
(四)方程及方程组:
例一
已知＝＝，且a＋b－c＝，求a,b,c的值.
解析:按常规解法本题目中有三个末知数,应建三个方程解.但在代数题中经常出现比值的题,遇比值的题设每份为x更简洁.
详解:设a=2x,b=3x,c=4x
∵a＋b－c＝
∴2x+3x- 4x=
∴x=
∴a= ,b= ,c=
应对策略:本题是比较简单的一题,在一些难题中,经常出现比值的题,这类题都可通过设每份为x,从而简化做题的思路与过程.从而解决建立在此之上的维题,在训练过程中一定要关注这一类型的题.
例二
关于x、y的二元一次方程组没有解时，求m 的值
解析:平时训练中做过这类题的同学可能会做此题,此类考试经常出一些我们平时未见过的题型,遇这类题如何下手突破,本题是一个方程组的题按常规解法,因题中”关于x、y的二元一次方程组”所以用代入法或加减法进行换元.
详解:由2x-y=1得y=2x-1
将y=2x-1代入mx+3y=2得mx+6x-3=2
mx+6x=5
(m+6)x=5
解至此按方程的常规解法应系数化一,但方程两边同除一个式,一定要考虑这个式为不为零,所以当m+6≠0时方程就有解.当m+6=0时,无论x取何值(m+6)x=0,而方程右边都为5,按方程的解的定义:使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.
m+6=0时方程无解,所以m= -6时方程无解
应对策略:针对本题有人喜欢总结如下成如下内容
一元一次方程总可以化为ax=b的形式，继续求解时，一般要对字母系数a，b进行讨论：
当a0时，方程有惟一解x=；
当a=0且b0时，方程无解；
当a=0且b=0时，方程有无数个解。
诚然,如能理解地运用,一样能解决上面的题,但如果死记后模仿做题,那么新题型如何处理呢?所以学习的过程一定要理解好数学理论支持,解方程的整个过程的理论支持就是”方程变形规则”,所以数学的源头是公理定理,数学是一个让人变的聪明的学科不是让人靠死记硬背的学科.
例三(绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试)
已知关于x的一元二次方程对任意的实数a均有实数根，则实数m的取值范围是____________．
解析:因本题明确了是一元二次方程,所以有实数根即△≥0
详解: ∵ △=()2-4(m+1)
=+2a+2-4m-4
=+2a+1-4m-3
=(a+1)2-4m-3
∴(a+1)2-4m-3≥0
∴(a+1)2≥4m+3
∵(a+1)2≥0
∴4m+3≤0
∴m≤-
应对策略:一说二次方程有实数根一般要从根的判别式入手.根的判别式程,根与系数的关系是现行教材很弱化的一个知识,但对二次方程是很要的知识,恰又是自主招生的一个常考点,所以对这部份知识必须作深入的探究.
例四
(成都七中2013年外地生招生考试数学试题)
关于x的分式方程仅有一个实数根，则实数k的取值共【 】
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
分析：这是一个分式方程的题,因” 关于x”K即为常数,按常规方法解,题中有” 仅有一个实数根”分类讨论是一次方程或是二次方程是二次方程就与根的判别式有关.
详解:
2kx(x+2)-4x(x+2)+(k+1)(x+2)=x(k-5)
2kx2+4kx-4x2-8x+kx+2k+x+2=xk-5x
( 2k-4)x2+(4k-8+k+1-k+5)x+2k+2=0
( 2k-4)x2+(4k-2)x+2k+2=0
( k-2)x2+(2k-1)x+k+1=0
当k=2时方程为3x+3=0,x=-1
当k≠2时,方程为二次方程
∵a=k-2,b=2k-1,c=k+1
∴b2-4ac=(2k-1)2-4(k-2)(k+1)
=4k2-4k+1-4(k2-k-2)
=4k2-4k+1-4k2+4k+8
=9
∴x=
∴x===-1或x==
∵方程仅有一个实数根
∴另一个根为增根
∴X=0或x=-2
即=0或=-2
-4k+8=-2k-2
-2k=-10 k=5
∴k= -1或k=5
∴k= -1,2,5时方程仅有一实数根
∴选C
应对策略:分式方程化简后出现二次项一定要讨论是一次方程还是二次方程.如上题还要讨论增根情况.
(五)不等式及不等式组:
例一
(成都外国语学校2010年高中招生考试试卷)
若不等式组的解集是x>3，则m的取值范围是（ ）
A m ＞3； B m≥3； C m≤3； D m＜3；
分析：这是一个解不等式组的题关键是对公共部份的把握.
详解:x+8＜4x-1
-3x＜-9
x＞3
∵x＞m
又 ∵大大取大
∴3≥M时不等式的解集为x>3
∴选C
应对策略:关于不等式组的解不好理解时尽量从数轴画图理解,开始画图是为了以后不画图.
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