山东省广饶县第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

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1.给出下列命题：
①零向量的方向是任意的；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量满足，则；
④空间中任意两个单位向量必相等.
其中正确命题的个数为（ ）.
A.4 B.3 C.2 D.1
2.如图，在直三棱柱中，为棱的中点.设，，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.，则
C.若，则
D.，则
4.设，向量，且，则（ ）
A. B. C.5 D.6
5.对于任意空间向量，下列说法正确的是（ ）.
A.若，则
B.
C.若，则的夹角是钝角
D.
6.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为；
，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）.
A. B.
C. D.
7.如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A. B. C.4 D.
8.在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题
9.已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（ ）
A. B. C. D.
10.下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A.两条不重合直线的方向向量分别是，则
B.两个不同的平面的法向量分别是，则
C.直线的方向向量，平面的法向量是，则
D.直线的方向向量，平面的法向量是，则
11.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A.两条异面直线和所成的角为
B.直线与平面所成的角等于
C.点到面的距离为
D.四面体的体积是
三､填空题
12.如图，四棱柱为正方体.
①直线的一个方向向量为；
②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为；
④平面的一个法向量为.
则上述结论正确的是__________.（填序号）
13.已知点在同一直线上，则__________.
14.如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点.二面角的正切值为__________.
四､解答题
15.已知空间中三点.
（1）若向量与平行，且，求的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
16.如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，
（1）求线段的长；
（2）求证：.
17.如图，三棱柱中，，垂直于平面.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点到平面的距离.
18.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点在上.
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.
19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
广饶一中二校区66级10月月考数学试题
参考答案：
1.D 【详解】零向量是大小为0的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确；
方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误；
若空间向量满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，
③错误；空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误；
所以正确的命题只有1个；
2.A 【详解】由题意可得
.
3.D 【详解】对于选项A，垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交；
对于选项B，根据面面平行判定定理，直线应为相交直线；
对于选项C，直线可能在平面内；对于选项D，恰好为线面平行的性质定理.
4.D 【详解】因为，所以，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以.
5.B 【详解】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，由数量积的运算律可知，故B正确；
对于C，若，则的夹角是钝角或反向共线，故C错误；
对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，
故D错误；
6.C 【详解】由题意可得，化简可得，
7.D 【详解】由题意得，两边平方得，
，所以，
8.C 【详解】平面平面，
又平面平面，
又平面；
设，
，
，即，
关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为，
，解得：，
以A为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，
轴平面平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，令，解得：，
，
由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.
9.AD 【详解】设平面的法向量为，
因为平面与平面平行，是平面的一个法向量，所以，且，
所以平面的法向量可能为，
10.AB 【详解】两条不重合直线的方向向量分别是，则，所以正确；
两个不同的平面的法向量分别是，
则，所以，B正确；
直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以或错误；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以D错误.
11.BCD 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
对A：，
则，故，
故，即异面直线和所成的角为，故A错误；
对B：，由轴平面，故平面法向量可为，
则，故直线与平面所成的角为，故B正确；
对C：，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故，故C正确；
对D：易得四面体为正四面体，
则，故D正确.
故选：BCD.
12.①②③【详解】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知，
，于是，，故①，②正确；
因平面，而，故可作为平面的法向量，即③正确；
在正方体中，因平面平面，
则，易得，又，故平面，
而，即可作为平面的法向量，故④错误.
故答案为：①②③.
13.
【详解】，
在同一直线上，则，
即，解得.
14. 【详解】依题意平面平面，且平面平面平面，易知，因此可得平面
过点作于点，连接，如下图所示：
由平面，又平面，所以，
又，且平面，
所以平面平面，可得；
即可得即为二面角的平面角；
显然，且，三角形为正三角形，所以；
在中，.即二面角的正切值为.
15.【详解】（1）因为，所以，
因为向量与平行，所以可设，所以，因为，
所以，所以，所以或，
所以的坐标为或；
（2）因为，所以，所以，即，又，
所以，
所以的面积，
所以以为邻边的平行四边形的面积为.
16.【详解】（1）设，则，
∵，则.
∵，∴.
故线段的长为.
（2）证明：∵，∴.
故.
17.【详解】（1）因为垂直于平面，如建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设异面直线与所成角为，则，
又，所以，即异面直线与所成角为；
（2）因为，
设平面的法向量为，则，取，
则点到平面的距离.
18.【详解】（1）因为底面底面，所以，
所以，
所以矩形是正方形，所以，
因为，所以平面
（2）由（1）知两两垂直，建系如图，
，
，
设平面的法向量为，
则，即
所以可取，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
19.【详解】（1）因为，因为，所以四边形为矩形，
在中，，
则，
，
且平面平面平面
平面平面，
平面
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，可得，
则，
设平面的法向量为，
由，取.
设平面的法向量为，
由，取，
.
二面角是钝角，
二面角的正弦值为.
（3）设，则，又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为.
解得.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
D
B
C
D
C
AD
AB
题号
11
答案
BCD