福建省宁德市古田县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

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考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题时，所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效；
3.考试结束后，只需上交答题卡.
第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.35是数列的（ ）
A.第16项 B.第17项 C.第18项 D.第19项
2.已知数列是等差数列，且，则（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
3.已知等差数列的前项和为，若，则的值是（ ）
A.95 B.55 C.100 D.不确定
4.已知数列为等比数列，若，则（ ）
A. B.2 C.4 D.
5.已知等差数列的前项和为，且，则当取得最大值时，（ ）
A.37 B.36 C.18 D.19
6.在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十六斤绵，分给八子做盘缠，次第每人多十七，要将第七数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第7个儿子分到的绵是（ ）
A.167斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤
7.设数列满足，且，则数列前10项的和为（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列的前项和为，且满足，则数列的前81项的和为（ ）
A.1640 B.1660 C.1680 D.1700
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.数列是等比数列
C. D.数列是公差为2的等差数列
10.已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是（ ）
A.数列是递增数列
B.是数列中的最小项
C.和是中的最小项
D.满足的的最大值为25
11.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.的最大值为 D.的最大值为
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等比数列中，，公比，则__________.
13.已知为正项等比数列的前项和，若，则__________.
14.数列满足，数列的前项和为，且，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）记为等差数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）求的最小值.
16.（15分）已知是等差数列，.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）若等比数列满足，求的通项公式.
17.（15分）某食品公司年初投资300万元，购置冻干银耳生产设备，立即投入生产，预计第一年该生产设备的使用费用为36万元，以后每年增加6万元，该生产设备每年可给公司带来121万元的收入.假设第年该设备产生的利润（利润该年该设备给公司带来的收入-该年的使用费用）为.
（1）写出的表达式；
（2）在该设备运行若干整年后，该食品公司需要升级产品生产线，决定处置该生产设备，现有以下两种处置方案：
①当总利润（总利润=各年的收入之和-各年的使用费用-购置生产设备的成本）最大时，以7万元变卖该生产设备；
②当年平均总利润最大时，以72万元变卖该生产设备.
请你为该公司选择一个合理的处置方案，并说明理由.
18.（17分）已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
19.（17分）已知数列的前项的和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
古田县第一中学2023级高二第一次月考数学试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.【解答】解：数列的通项为，
由，得，
所以35是数列的第17项.
故选：B.
2.【解答】解：由题设，故.
故选：C.
3.【解答】解：在等差数列中，由，得.
.
故选：B.
4.【解答】解：数列为等比数列，若，则偶数项均为正数，
由，
则.
故选：C.
5.【解答】解：等差数列的前项和为，且，
，
，
则
从而当时，取得最大值.
故选：C.
6.【解答】记8个儿子按年龄从大到小依次分棉斤，斤，斤，斤，
因为按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，
所以数列为等差数列，且公差为17，所以.
因为绵的总数为996斤，所以，解得.
所以第7个儿子分到的绵是斤.
故选：A.
7.【解答】因为数列满足，且，所以当时，，当时，上式也成立，所以，所以，所以数列的前项和为，所以数列的前10项和为，故选A.故选：A.
8.【解答】由，
有，有.
又由，可得，可得
则数列的前81项的和为.
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【解答】解：在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，
，
，
解得（舍）或，
故A正确，
数列是等比数列，故B正确；
，故C正确；
数列不是公差为2的等差数列，故D错误.
故选：ABC.
10.【解答】解：对于A：因为等差数列的前项和为，公差为，且，
所以，
所以，因为，所以，数列是递增数列，A正确；
对于B：因为数列是递增数列，所以最小项是首项B错误；
对于C：因为，所以当或时，取最小值，C正确；
对于D：由不等式
可得，又因为，所以满足的的最大值为D错误.
故选：AC.
11.【解答】解：由条件，
可得，
中没有最大值，的最大值为.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【解答】解：，
，
则得或者，
公比为整数，
，
，
解得，
即
故答案为：512.
13.【解答】
为正项等比数列，且公比；
，
.
故答案为：12.
14.【解答】因为，数列的前项和为，
所以
.
故答案为：31.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【解答】
（1）解：设等差数列的公差为，
由，可得，
解得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得数列为递增数列，且，
所以当时，；
当时，；
当时，，
所以，当或9时，取得最小值，即，
所以，故的最小值为.
16.【解答】
（1）设等差数列的公差为，
则.
，
数列的通项公式及前项和
（2）设等比数列的公比为，
由，得，
的通项公式为.
17.【解答】
（1）由题意可知
第年的使用费为首项为36，公差为6的等差数列
第年的使用费为，
，
所以的表达式为
（2）设的前项和为，
则，
若采用第一种方案，则总收入最大，根据二次函数的对称轴公式
，可得或，
，
当时，即第15年时总利润最大为（万元），
若采用第二种方案，
令，
，当且仅当时取等号，
第10的平均利润最大，此时的总利润为（万元），
故最大利润为
综上所述，两种方案的最终利润一样，但是第二种方案只用了10的时间，
因此选择第二种方案合理.
18.【解答】
（1）设等差数列的公差为，
因为，则，
因为是与的等比中项，
所以，
即
化简得，
解得或（舍）
所以.
（2）由（1）知，，
所以
，
所以
.
数列的前项和
19.【解答】
（1）当时，，
当时，.
，
是以2为首项，2为公比的等比数列，
.
（2），
①
②
①-②得
，
.