山西省运城市实验中学2024-2025学年上学期第一次月考九年级数学试卷

这是一份山西省运城市实验中学2024-2025学年上学期第一次月考九年级数学试卷，共14页。
注意事项：
1．答卷前务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．
2．考试结束后，监考人员将答题卡收回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3和－2B．2和－3C．2和3D．－3和2
2．如图，在菱形ABCD中，，则的度数是（ ）
（第2题图）
A．B．C．D．
3．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E在AB上，点F在CD上，点G和点H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
（第4题图）
A．B．C．D．3.5
5．观察下面的表格，确定关于x的方程的解的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
6．如图，在平面直角坐标系中，点A位于第二象限，点B位于第三象限，四边形OABC是边长为3的正方形，OA与x轴负半轴的夹角为，则点B的纵坐标是（ ）
（第6题图）
A．B．C．D．
7．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
（第7题图）
A．B．
C．D．
8．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m＞2且D．m＜2且
9．如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形ABCD，让同学们按以下步骤完成画图：
（1）画出AD的中点E，连接BE；
（2）以点E为圆心，EB长为半径画弧，交DA的延长线于点F；
（3）以AF为边画正方形AFGH，点H在AB边上．在画出的图中有一条线段的长是方程的一个根．这条线段是（ ）
（第9题图）
A．线段BHB．线段BEC．线段AED．线段AH
10．如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG与DE交于点N，下列结论：①；②四边形AGCF是平行四边形；③CD＝DM；
④∠CMF＝∠DMG；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
（第10题图）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共5道小题，每小题3分，共15分）
11．已知是方程的一个根，则方程的另一个根是______．
12．在一个不透明的盒子中装有10个红球、若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．在看不到的条件下，通过随机摸球试验，发现摸出一个球是红球的频率为，则盒子中有______个黑球．
13．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向终点B匀速移动，点E的速度为1cm／s，点F的速度为2cm／s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为______．
（第13题图）
14．“绿色电力，与你同行”，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1372万辆．设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程______
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，以点B为中心将矩形ABCD旋转任意角度，得到矩形EBGF，点A、D、C的对应点分别为E、F、G．当点E落在线段DF上时，BE与CD交于点H，则线段DH的长为______．
（第15题图）
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（12分）用指定的方法解方程
（1） （配方法）（2） （公式法）
（3）下面是小颖和小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务
Ⅰ．小颖同学的从第②步到第③步的变形，根据的数学原理是______．
A．若ab＝0，则a＝0或b＝0B．
C．若，则a＝b或a＝－bD．若a＝0或b＝0，则ab＝0
Ⅱ．小明的做法正确吗?______．理由：______．
Ⅲ．两位同学解一元二次方程所用的数学思想是______．
17．（6分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作交BD于点F，连接CF，DE．
求证：四边形DEFC是菱形．
18．（9分）“2024年9月22日，太原举行马拉松比赛”，赛事共有四项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“迷你马拉松”、D“家庭亲子跑”．小凡、小明和小颖参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到四个项目组．
（1）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小凡对部分参赛选手作如下调查：
①请填出表中所缺的数据．
②请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率______．（精确到0.1）
③若本次参赛选手大约有40000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少?
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的概率．
19．（9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm．将矩形纸片折叠，使点A落在BC边上的点F处，得折痕BE，连接EF，然后把矩形纸片展平．此时一动点P从点B出发，沿着折痕以cm／s的速度向点E运动；同时点Q从点D出发，以2cm／s的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点Q的运动时间为ts．
（1）求证：四边形ABFE是正方形．
（2）经过几秒△PQC的面积是9．
20．（7分）“苹果在中国的种植历史已有2000多年，不仅健康美味，营养价值高，而且有着平安、祥和的美好寓意，”金秋十月，正值苹果成熟季，山西运城“万荣苹果”具备：个大、形正、色艳、肉脆、味甜、耐储存等特征，深得大家喜爱．某商家以46元／盒的进价购入了一批礼盒装的苹果，在销售过程中发现，当售价为96元／盒时，平均每天可售出30盒，且该礼盒的单价每降低5元，其销量可增加10盒．若商家销售该礼盒每天想要获利2000元，且尽可能让利顾客，那么每盒苹果应降价多少元?
21．（8分）阅读下列材料，完成相应任务．
命题 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
已知：如图1，在△ABC中，BD是AC边上的中线，
求证：△ABC是直角三角形．
图1
【分析问题】
（1）看见中线，联想到和中点有关的定理，比如：三角形中位线定理；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；______等．（添加一个和中点有关的定理）
（2）深入思考后发现：对于有关中点问题，常用以下几种辅助线解决问题．
如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线．
辅助线一：如图2，倍长中线BD，构造全等三角形或平行四边形；
辅助线二：如图3，倍长线段AB，构造中位线；
辅助线三：如图4，取BC的中点M，连接DM构造中位线，等等．
图2图3图4
【解决问题】
请选用（2）中的一种添加辅助线的方法，完成上面命题的证明．
【拓展应用】
（3）如图，菱形ABCD的周长为24，，点M为边AB的中点，点N是边AD上一动点，把∠A沿直线MN折叠，点A落在点E处，当△BEC是直角三角形时，AN的长度为______．
图5
22．（12分）综合与实践
23．（12分）综合与探究
问题情境
在课外小组活动中，创新小组以“菱形纸片中的图形变换”为主题开展数学活动．如图1，边长为12cm的菱形纸片ABCD（），对角线AC＝8cm．
实践探究
（1）成员甲：将图1中的△ABC折叠，使点B落在线段BC的延长线上的点G处，得到折痕AH，如图2，求折痕AH的长．
（2）成员乙：将图1中菱形纸片ABCD（），沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．再将△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使，得到如图3所示的△AEF，点C、D的对应点分别为点E、F，连接FB、EC，得到四边形BCEF，请判断四边形BCEF的形状，并证明．
（3）小组组长根据图3，在成员乙发现结论的基础上，提出一个平移问题：将△AEF沿着射线FB方向平移acm，得到，连接，，使四边形恰好为正方形，直接写出a的值．
图1图2图3
运城市实验中学2024—2025学年度第一次阶段测试
九年级数学试题参考答案
一、选择题
二、填空题
11．12．513．14、15、
三、解答题
16、（1）
解，
，．∴，．
（2）
解：∵a＝2，b＝－5，c＝1．
∴
∴，∴，
（3）A．
不正确
x可能等于0．
转化
17．（1）方法一：四条边相等的四边形是菱形
∵BD平∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD
∵BE＝BC，BD＝BD，∴
∴DE＝DC，∠BDE＝∠BDC
同理EF＝CF，
∵，∴∠CDB＝∠EFD，∴∠EDB＝∠EFD
∴DE＝EF，∴DE＝EF＝CF＝CD
∴四边形DEFC是菱形．
方法二：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
∵BE＝BC，BD＝BD，∴，
∴DE＝DC，∠BDE＝∠BDC，
∵，∴∠CDB＝∠EFD，∴∠EDB＝∠EFD，
∴DE＝EF，∴CD＝EF，
∵，∴四边形DFFC是平行四边形．
∵DE＝DC，（或DE＝EF）
∴四边形DEFC是菱形．
方法三：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
连接CE交BD与点O，
∵BD平分∠ABC，BE＝BC，∴OC＝OE，，
易证 四边形DFFC是平行四边形，
∵，∴四边形DEFC是菱形．
18．（1）①0.395②0.4
③40000×0.4＝16000（人）
答：估计参加“迷你马拉松”的人数是16000人．
（2）树状图：略
总共有16种等可能的结果，其中小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”目组的结果有7种，
∴P（至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组）．
表格
总共有16种等可能的结果，其中小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”目组的结果有7种，
所以P（至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组）．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴
由折叠的性质得
，BA＝BF
∴四边形ABEF是矩形．
∵BA＝BF，∴四边形ABFE是正方形．
（2）解：由题意得，DQ＝2t．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝12cm，DC＝AB＝8cm，∴CQ=8－2t
作于点M，于点K，则CM＝PK．
∵四边形ABFE是正方形．∴
∴PM＝BM＝t，∴PK＝CM＝12－t
∴
解得，， （不合题意，舍去）
答：经过3秒△PQC的面积是9．
20．解：设每盒苹果应降价x元，
由题意可得：
解得，，．
∵要尽可能减少库存，∴不合题意，舍去
答：每盒苹果应降价25元．
21．（1）等腰三角形“三线合一”
或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（3）【辅助线一】
延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE，CE．
图1
∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD．
∴四边形ABCE是平行四边形，∴．
∵，∴AC＝BE，∴四边形ABCE是矩形．
∴，∴△ABC是直角三角形．
【辅助线二】
延长CB至点E，使BE＝BC，连接AE．
图2
∵BD是AC边上的中线，∴．
∴BD是△ACE的中位线，∴，∴∠1＝∠E
∵，∴BD＝CD，∴∠1＝∠C，∴∠C＝∠E，∴AC＝AE，
∵BE＝BC，∴，∴
∴△ABC是直角三角形．
【辅助线三】
取AB的中点E，连接DE．
图3
∵BD是AC边上的中线，∴．
∵，∴BD＝AD，∴，∴
∵DE是△ABC中位线，∴
∴，∴△ABC是直角三角形．
（3）3或1.5
22．（1）①相等②2
（2）解：设矩形花圃的一边AB的长为xm，根据题意得
解得，，．
当时，
当时， （不合题意，舍去）
答：矩形花圃的一边AB的长为45m
（3）30
23．（1）【方法一】
连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴，
∴，∴
由折叠的性质得，
∴
∴，∴
图2
【方法二】
由折叠的性质得，，∴，
设CH＝x，则BH＝12－x
在中，
在中，
∴，
解得，∴
图2
（2）【方法一】作于点M，则
由旋转的性质得AE＝AC，EF＝CD，
∵AE＝AC，，∴
∵，∴
∵原四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC＝CD
∴，EF＝BC，∴∠CAM＝∠1，∴．
同理，∴
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵，，
∴，∴四边形BCEF是矩形．
图3
【方法二】
作菱形ABCD，AD交CE于点M．
由旋转的性质得，AE＝AC，EF＝CD，，∠3＝∠ACD
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠1，，∴EF＝BC，∠1＝∠ACD
∵，∴，∴
∴，∠2＝∠3，
∴，，∴
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵，∴四边形BCEF是矩形；
图3
（3） 或
x
－7
－6
－5
……
1
2
3
12
3
－4
……
－4
3
12
解：
移项，得……①
分解因式，得……②
∴x＝0或x－3＝0……③
∴，……④
解：
方程两边同时除以x，
得x＝3
调查总人数
50
100
200
500
1000
参加“迷你马拉松”人数
21
45
79
200
401
参加“迷你马拉松”频率
0.360
0.450
______
0.400
0.401
项目主题
实验中学“少年农学院”生态农场田地设计
项目情境
“一犁新雨破春耕，野草闲花次第生”，为了让同学们更好地感受中华传统农耕文化的魅力，培养青少年懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；为了便于种菜、浇地、采摘等劳动课程的开展，老师请同学们参与一块长为120米，宽为80米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程．
活动任务一
要求：设计的每一条小路要连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如下图所示的甲、乙、丙、丁四种典型的方案，四幅图中AB＝CD＝IJ＝EF＝KL＝HG．

驱动问题一
（1）①以上四种方案小路面积的大小关系?你的判断是______（填“相等”或“不相等”）
②为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后菜地面积约为9048平方米．则每条小路的宽度是______米．
活动任务二
为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场西北方向建一个花圃．如图，花圃一边利用水池，其它边用长为178米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD，为方便出入，建造花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．
驱动问题二
（2）若可利用的水池长50米，花圃的面积刚好为2025平方米．求矩形花圃的一边AB的长．
（3）若水池足够的长，当AB＝______时，花圃的面积最大．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
C
C
B
B
D
D
C
小明 小颖
A
B
C
D
A
B
C
D