广东省深圳市桃源居中澳实验学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

这是一份广东省深圳市桃源居中澳实验学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共60分）
1．（本题5分）设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（ ）
A．B．C．D．
2．（本题5分）设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（本题5分）下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（本题5分）给出下列命题：
①若空间向量满足，则；
②在正方体中，必有；
③若空间向量满足，则．
其中假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（本题5分）若构成空间的一个基底，则下列选项中可以构成基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
6．（本题5分）如图，在平行六面体中，点M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）.
A．B．
C．D．
7．（本题5分）设，向量，，，且，，则（ ）．
A．B．C．5D．6
8．（本题5分）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．（本题5分）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．（本题5分）下列命题中正确的是（ ）
A．点关于平面对称的点的坐标是
B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为
D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则
11．（本题5分）如图，已知点在正方体的对角线上，设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．（本题5分）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线l的一个法向量为，则直线l的点法式方程为；，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）．
A．B．
C．D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题（共30分）
13．（本题5分）O为空间任意一点，若，若ABCP四点共面，则 ．
14．（本题5分）如图，四棱柱为正方体．
①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为1,1,1．
则上述结论正确的是 .（填序号）
15．（本题5分）若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ．
16．（本题5分）已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ．
17．（本题5分）给出下列命题：
①“”是“”的充分非必要条件；
②“函数的最小正周期为”是“”的充要条件；
③“平面向量与的夹角是锐角”的充要条件是“”.
其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）
18．（本题5分）已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为 ．
三、解答题（共60分）
19．（本题15分）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)；
(2)；
(3).
20．（本题15分）如图，在四面体中，，，.

(1)求的值；
(2)已知是线段中点，点满足，求线段的长.
21．（本题15分）如图，在空间直角坐标系中有长方体，.
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
22．（本题15分）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点.
(1)求平面；
(2)求直线BE与平面所成角的正弦值.
参考答案：
1．D
【分析】由复数的除法运算化简，再由复数的实部概念得解.
【详解】因为，
所以复数的实部为，
故选：D
2．C
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】全集，由，得，又，
所以.
故选：C
3．D
【分析】根据题意，由正切函数的单调性即可判断A，由指数函数的单调性即可判断B，由幂函数的单调性即可判断C，由对数函数与一次函数的单调性即可判断D
【详解】对于A，在上单调递增，故A错误；
对于B，在上单调递减，故B错误；
对于C，的定义域为，且在上单调递增，故C错误；
对于D，，
当时，函数单调递增，且；
当时，单调递增，且；
所以函数在上单调递增，故D正确.
故选：D
4．B
【分析】根据相等向量的定义易判断①为假命题；对于②借助于正方体图形推理易得；对于③由空间向量的相等定义易得.
【详解】对于①，向量相等即模相等和方向相同，故①为假命题；
对于②，如图正方体中，且则得,
故有，,且方向一致，所以，故②为真命题；
对于③，根据向量相等的定义可知成立，故③为真命题．
故选：B．
5．AC
【分析】根据向量的线性表示可判断BD的正误，根据反证法可判断AC的正误。
【详解】对于B，因为，故，，共面，故B错误；
对于D，因为，故，，共面，故D错误；
对于A，若，，共面，则，其中，
整理得到：，
因为构成空间的一个基底，故，此方程无解，
故，，不共面即它们可构成基底，故A正确；
对于C，若，，共面，则，其中
整理得到：，
因为构成空间的一个基底，则，此方程无解，
故，，不共面即它们可构成基底，故D正确；
故选：AC.
6．A
【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解.
【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得
.
故选：A.
7．D
【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可.
【详解】因为，，，
所以，所以，
因为，，，所以，所以，
所以，
所以.
故选：D.
8．B
【分析】由题意可得直线的方向向量为与平面的法向量垂直，由向量垂直的坐标运算即可求解．
【详解】，则有直线的方向向量为与平面的法向量垂直，
即，
解得．
故选：B．
9．C
【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
由，可得，所以A不正确，C正确；
对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确；
故选：C.
10．C
【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D.
【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；
对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，
，有，则或，B选项错误；
对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，
则直线l与平面所成的角为，C选项正确；
对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，
若，则，解得，D选项错误.
故选：C.
11．C
【分析】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.写出的坐标，根据向量夹角的坐标表示计算可得.
【详解】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
不妨设，则，
所以，
所以，
因为，
所以，
整理得，解得或，
由题可知，所以.
故选：C
12．C
【分析】由题意进行类比推理即可；
【详解】由题意可得，
化简可得，
故选：C.
13．/0.125
【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值.
【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线，
若、、、四点共面，则，
因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，
所以，，解得.
故答案为：.
14．①②③
【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断.
【详解】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知，
于是，,故① ，② 正确；
因平面，而，
故 可作为平面的法向量，即③正确；
在正方体中，因平面,平面，
则，易得，又，故平面，
而，即可作为平面的法向量，故④错误.
故答案为：①②③.
15．
【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案.
【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量，
，
.
故答案为：
16．9
【分析】根据法向量的概念结合条件即得.
【详解】由条件得，因为是平面的一个法向量，点A，B在平面内，
所以，所以，
所以，解得．
故答案为：9.
17．①
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合二倍角的余弦公式、向量夹角判断各个命题即得.
【详解】对于①，由，得或，因此“”是“”的充分非必要条件，①正确；
对于②，函数，由其最小正周期为，得，解得，
因此“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，②错误；
对于③，由平面向量与的夹角是锐角，得，即且向量与不共线，
因此“平面向量与的夹角是锐角” 是“”的充分不必要条件，③错误，
所以正确命题的序号是①.
故答案为：①
18．
【分析】由空间向量共面定理列方程组得到，再结合二次函数的性质解出最值即可；
【详解】因为，，共面，
所以，
即，
即，解得，
所以，
所以，
所以最小值为，
故答案为：.
19．(1)，图见解析
(2)，图见解析
(3)，图见解析
【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可.
【详解】（1），
向量如图所示，

（2）；
向量如图所示，

（3），
设是线段的中点，
则.
向量如图所示，

20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，再求解即可.
（2）根据，再平方求解即可.
【详解】（1）在四面体中，，，
.
（2）如图所示：

因为，则，
因为F是CD中点，则，
于是.
，
所以.
21．(1)
(2)
【分析】第一问，先写出空间直角坐标，然后计算对应向量，求出对应平面法向量，利用向量投影计算即可；第二问，写出坐标，计算两个平面法向量，然后利用空间向量求二面角余弦值即可.
【详解】（1）由题可知，
得，
设平面的一个法向量为n=a,b,c，
所以有，
令解得，
故平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为.
（2）由题可知，
得，
设平面的一个法向量为m=x,y,z，
所以有，
令解得，
故平面的一个法向量，
同理平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，显然为锐角，
则.
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）建空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行；
（2）利用空间向量求线面角的正弦值即可.
【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
依题意，得，
则，设平面的法向量，
，所以，取，得
因为，
所以．所以．
又面．
所以面．
（2）正方体中，平面
故是平面的法向量，
因为，
所以，
所以直线和平面所成的角的正弦值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
B
AC
A
D
B
C
C
题号
11
12








答案
C
C