湘教版（2024）八年级下册2.7 正方形习题ppt课件

这是一份湘教版（2024）八年级下册2.7 正方形习题ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了名师点金，AC＝BD答案不唯，∵∠EAF＝45°，∵EF∥AD，又∵EF＝FE等内容，欢迎下载使用。
正方形的两条对角线互相垂直、平分且相等；每条对角线都平分一组对角；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形；每条对角线所在的直线是正方形的对称轴.
知识点1　正方形及其边角性质1.[2023·怀化二中月考]▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： 　AC＝BD(答案不唯一)　⁠，使得▱ABCD为正方形.
根据题意可知▱ABCD为菱形，要使菱形ABCD为正方形，添加的条件为AB⊥AD，AC＝BD等.
2.[2023·河北]如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝(　　)
∵S正方形AMEF＝16，∴AM＝4.
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
在Rt△ABC中，AB＝4，
3. [2023·重庆A卷 新考法·旋转法]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于(　　)
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，如图所示.
则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∠ABG＝∠ADC＝90°.
∴∠ABG＋∠ABC＝180°，
∴G，B，E在一条直线上.
∴∠BAE＋∠DAF＝45°，
∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠GAE＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°.
∴△GAE≌△FAE(SAS)，
∴∠AEF＝∠AEG.
∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°－α，
∴∠AEF＝∠AEB＝90°－α，
∴∠FEC＝180°－∠AEF－∠AEB＝180°－2×(90°－α)＝2α.
4.[2023·重庆B卷]如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为(　　)
知识点2　正方形对角线的性质
5.[2023·常德]如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为(　　)
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OD，∠OAD＝∠ODA＝45°.
∴∠OEF＝∠OAD＝45°，∠OFE＝∠ODA＝45°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF.
∵OA＝OD，∴AE＝DF.
∴△AEF≌△DFE(SAS)，
∴∠CAF＝∠FDE＝15°，
∴∠ADE＝∠ODA－∠FDE＝45°－15°＝30°，
∴∠AED＝180°－∠OAD－∠ADE＝180°－45°－30°＝105°.
6.[2022·重庆B卷]如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.E，F分别为AC，BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为(　　)
由正方形的性质可得AC⊥BD，OA＝OB＝OC，易得∠ACB＝45°，∠AFO＝70°，利用全等三角形的判定和性质得∠BEO＝∠AFO＝70°，从而可求出∠CBE的度数.
知识点3　正方形的对称变换
设B1C1与CD交于点E，连接AE.利用 　作差法　⁠求出AE一侧的阴影部分的面积，再利用对称性即可得解.
易错点　不能运用正方形的轴对称性将两条线段和转化为一 条线段而致错
利用正方形的边角性质求线段长9.[2022·随州]如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形.(1)求证：AE＝CF；
【证明】∵四边形BEDF为正方形，∴EB＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.∴AE＝CF.
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长.
【解】∵四边形BEDF为正方形，∴DE＝EB，DE⊥AB.∵平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，∴DE＝EB＝4.∴AE＝AB－EB＝5－4＝1.由(1)知AE＝CF，∴CF＝1.
利用正方形的边角性质探求线段的位置关系10.[2023·绍兴]如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.(1)求证：∠DAG＝∠EGH；
【证明】在正方形ABCD中，AD⊥CD，∵GE⊥CD，∴AD∥GE，∴∠DAG＝∠EGH.
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由.
【解】AH⊥EF，理由如下.连接GC交EF于点O，如图.
∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADG＝∠CDG＝45°.又∵DG＝DG，AD＝CD，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠DAG＝∠DCG.
在正方形ABCD中，∠ECF＝90°，又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴四边形FCEG为矩形，∴OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DAG＝∠OEC.
由(1)得∠DAG＝∠EGH，∴∠EGH＝∠OEC，∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°，∴∠GHE＝90°，∴AH⊥EF.
(1)如图，过E作EM⊥AD于M，
(2)如图，延长EM交AG于点N，∵四边形ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，AB⊥AD.
∵EM⊥AD，∴AB∥NE∥CD.
∴∠ABF＝∠NEF.
∵F为BE的中点，∴BF＝EF.
又∵∠AFB＝∠NFE，
∴△ABF≌△NEF(ASA)，
∴EN＝AB＝3.∵EM＝2，∴MN＝1.
∵NM∥CD，AM＝DM，∴AN＝NG，
利用正方形的性质探究线段的关系12. [新考法 旋转对称法]如图①，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与点C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.
(1)猜想图①中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，并说明理由；
【解】BG＝DE，BG⊥DE.理由如下：如图①，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE，∴BG＝DE，∠1＝∠2.延长BG交DE于点H.∵∠1＋∠CGB＝90°，∠1＝∠2，∠CGB＝∠DGH，∴∠2＋∠DGH＝90°，∴∠DHG＝90°.∴BH⊥DE，即BG⊥DE.
(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图②③的情形.请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断.
【解】BG＝DE，BG⊥DE仍然成立.证明：如图②，设BG与DE相交于点O，DC与BG相交于点H.∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，∴BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°.∴∠BCG＝∠DCE. ∴△BCG≌△DCE.∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE.又∵∠BHC＝∠DHO，∠CBG＋∠BHC＝90°，∴∠CDE＋∠DHO＝90°，∴∠DOH＝90°，∴BG⊥DE.