初中数学湘教版（2024）八年级下册2.7 正方形教案配套课件ppt

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正方形的定义正方形的性质正方形的判定
1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 .
特别提醒1. 正方形的四条边都相等 ，四个角都是直角 .2. 正方形的四条边都相等，说明正方形既是平行四边形，又是菱形；正方形的四个角都是直角，说明正方形是矩形，即正方形不仅是平行四边形，也是菱形和矩形.
2. 特殊四边形间的关系如图 2.7－1 所示：
如图2.7－2，在Rt△ ABC 中，∠ ABC=90°，BD 平分∠ ABC 交AC 于点D，DE ⊥ BC，DF ⊥ AB.求证：四边形BEDF 是正方形.
解题秘方：紧扣正方形的定义进行判定.
方法点拨利用正方形的定义判定正方形，是建立在四边形是平行四边形的基础上，并且既要有一组邻边相等，又要有一个角是直角，三者缺一不可 .
证明： ∵ DE ⊥ BC，∠ ABC=90°，∴ DE ∥ AB，同理可得 DF ∥ BC，∴四边形BEDF 是平行四边形.∵ BD 平分∠ ABC，DE ⊥ BC，DF ⊥ AB，∴ DE=DF. 又∵ ∠ ABC=90° ，∴四边形BEDF 是正方形.
1. 正方形的性质：正方形既是矩形，又是菱形，因此正方形具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即(1) 边： 四条边相等，邻边垂直，对边平行；(2) 角： 四个角都是直角；
(3) 对角线： 对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(4)正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；(5)正方形是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；(6)正方形的面积为边长的平方或对角线平方的一半 .
2. 特殊四边形的性质间的关系：
特别提醒1. 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图2.7－3所示.
2.正方形的特殊性质：(1) 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；(2) 周长相等的四边形中，正方形的面积最大 .
解题秘方：从正方形中获取边、角相等的信息.
方法点拨利用正方形的性质解题，由于正方形的性质较多，解题时不宜一一列出来，需要根据题中已知条件，结合要证明的结论，选择证明结论成立所需要的性质，使解题思路更清晰.
技巧点拨利用正方形的性质求解线段的长的思路：利用正方形的性质求解线段的长度时，通常将涉及的线段转化到直角三角形中，然后结合勾股定理或三角形全等求解 .
1. 判定方法：(1) 从四边形出发： ①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；(2)从平行四边形出发： ①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
(3)从矩形出发： ①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；(4)从菱形出发： ①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形 .
2. 四边形间的关系： 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如图 2.7 － 5所示 .
特别提醒常见的判定思路：(1)从边上证明. 矩形 正方形；(2)从角上证明.菱形 正方形；
(3)从对角线上证明.①矩形 正方形；②菱形 正方形；③平行四边形 正方形；④四边形 正方形；
对角线相等且互相垂直平分
如图 2.7 － 6，点 A′， B′， C′， D′分别是正方形 ABCD四条边上的点，并且 AA′ =BB′ =CC′ =DD′ . 求证：四边形A′ B′ C′ D′是正方形 .
解题秘方：紧扣“先确定一种特殊的四边形，再加上边或角或对角线的关系”确定正方形 .
证明： ∵四边形 ABCD 为正方形，∴ BC=CD=DA=AB，∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠ D=90° .又∵ AA′=BB′=CC′=DD′，∴ D′A=A′B=B′C=C′D，∴△ AA′D′≌△ BB′A′≌△ CC′B′≌△ DD′C′ ( SAS ) .
∴ D′A′=A′B′=B′C′=C′D′，∠ 2= ∠ 3.∴四边形 A′B′C′D′为菱形 .∵∠ 1+ ∠ 2=90°，∴∠ 1+ ∠ 3=90°.∴∠ D′A′B′=180° － ( ∠ 1+ ∠ 3 ) =90°.∴ 四边形 A′B′C′D′ 为正方形 .
方法点拨判定四边形是正方形的方法如果已知条件是平行四边形，需证它既是菱形又是矩形；如果已知条件是四边形，若按边角关系证明，则需证它的四条边相等，四个角是直角；若按特殊四边形证明，则要先证它是平行四边形，再证它既是菱形又是矩形；
如果已知条件是矩形，再证它的邻边相等或对角线互相垂直即可；如果已知条件是菱形，再证它有一个角是直角或对角线相等即可.