初中数学湘教版（2024）八年级下册3.1 平面直角坐标系教课课件ppt

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有序实数对平面直角坐标系点的坐标平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征特殊位置的点的坐标特征(拓展点)用坐标表示地理位置用方位角及距离表示平面内点的位置
1.定义：有顺序的两个实数 a 与 b 组成的数对，叫作有序实数对，记作( a， b) .特别提醒：有序实数对的概念有两个要点：一是“有序”，指两个数的位置不能随意交换；二是“实数对”，指必须是两个实数 .
2.作用：平面上每一个点都对应着一个有序实数对，每一个有序实数对都对应着平面上一个点，即平面上的点与有序实数对一一对应 . 因此，利用有序实数对可以准确地描述点的位置 .
特别解读有序实数对表示平面内点的位置的常用方法：(1)行、列法；(2)经纬法；(3)方格法 .
3. 应用类型：(1)按已定“有序实数对”表示其他“有序实数对”；(2)按已定“有序实数对”在约定平面上找点的位置；(3)由约定平面上的点，写出表示该点位置的“有序实数对” .
(1)在电影院内如何找到电影票上所指的位置？
解：在电影院内找位置必须先确定在电影院的第几排，然后确定在第几号，从而可以确定电影票上所指的位置 .
解题秘方：找准有序实数对中的“序”，确定“实数对” 中的实数 .
(2)电影票上“10 排 2 号”与“4 排 10 号”中“10”的含义有什么不同？
解： “10 排 2 号”中的“10”指的是在影厅的第 10 排，是排号；“4 排 10 号”中的“10”指的是座位号，是第 4 排中的第 10 号 .
(3)如果“2 排 3 号”简记为( 2，3 ) ，那么“5 排 12 号” 如何表示？ ( 6，8 )表示什么意义？
解： “5 排 12 号”简记为(5，12)，(6，8)表示 6 排 8 号 .
方法点拨利用行列定位法确定物体位置的方法：　　首先要弄明白有序实数对中每个实数的含义，这样才能对其他的有序实数对作出解释或写出相应的有序实数对 .
下列说法中能确定台风位置的是(     )A. 西太平洋  B. 北纬 28°，东经 135°C. 距离海南 300 海里  D. 上海与南京之间
解题秘方：紧扣有序实数对表示位置需要两个数据信息进行判断 .
方法点拨通过地球上的经度和纬度可以确定一个地点在地球上的位置 . 在地图上，纬线指示东西方向，表示纬度；经线指示南北方向，表示经度 . 指明一点的经度和纬度，就可以确定这一点在地球上的位置 .
中国象棋规定：马走“日” . 如图 3.1－1，画出了中国象棋棋盘的一部分，上面标有 A， B， C， D 四个点，如果点 A记作(1，0)，点 C 记作(0，3)，请用有序实数对表示马从点 A 走到点 C 的最短路线 .
解： 马从点 A 走到点 C 的最短路线是 A(1，0)→ E(2，2)→ C(0，3) .
解题秘方：紧扣马走“日”的特征解答 .
方法点拨利用有序实数对表示点的位置的方法：(1)明确有序实数对中行与列代表的顺序；(2)由已知点确定起始行与列；(3)用有序实数对表示所求各点的位置 .
定义： 在平面内画两条互相垂直 的数轴，其中一条叫横轴 (通常称为 x 轴) ，另一条叫纵轴(通常称为 y 轴) ，它们的交点 O 是这两条数轴的原点 . 通常，我们取横轴向右为正方向，纵轴向上为正方向，横轴与纵轴的单位长度通常取成一致(有时也可以不一致) ，这样建立的两条数轴构成平面直角坐标系，记作 Oxy.
如图 3.1 － 2 所示：
巧记口诀画完横轴画纵轴，两轴相交九十度；箭头轴名不能少，原点刻度标画好 .
特别解读：(1) 平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直；(2) 一般情况下两条坐标轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两条坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同 .
图 3.1－3 所示的选项中，平面直角坐标系的画法正确的是( )
解题秘方：根据平面直角坐标系的定义去识别 .
解：A 中两条坐标轴不是互相垂直的；C 中的横轴的正方向画反了，应取向右为正方向；D 中横轴的单位长度不一致 .故选 B.
特别提醒辨识平面直角坐标系的 “三要素”：(1)两条数轴；(2)共原点；(3)互相垂直 .注意：一般取向上、向右为正方向 .
1.定义： 若平面直角坐标系中有一点 A，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点 C， x 轴上的点 C 表示 a，再过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为点 D， y 轴上的点 D 表示 b，于是( a， b )就表示了点 A. 我们把( a，b )叫作点 A 的坐标，其中 a 叫作横坐标， b 叫作纵坐标 .
特别提醒：(1) 在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来；(2)点的坐标是有序实数对， ( a， b )和( b， a )虽然数相同，但由于顺序不同，表示的位置就不同 . 即当 a ≠ b 时，这两个坐标表示的是两个不同的点；(3)点( a， b )到 x 轴与 y 轴的距离分别是 | b | 与 | a |.
特别解读　　根据点的坐标的定义，已知点的位置可以得出点的坐标，反之，已知点的坐标可以在平面直角坐标系中标出点的位置.
2.平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系：坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(点的坐标)与它对应 . 反之，任意一个有序实数对(点的坐标)在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应 .
如图 3.1－4，写出点A， B， C，D， E， F， G， O 的坐标 .
解： A(3，4)， B( －6，4 ) ， C( －5， －2 ) ， D(－5，2 ) ，E(0，3 ) ， F(2，0 ) ， G( －4，0 ) ， O(0，0 ) .
解题秘方：紧扣点的坐标的定义，利用过点向两坐标轴作垂线，用找垂足表示的数的方法求点的坐标 .
方法点拨确定点的坐标的方法首先确定横坐标，方法是从该点向 x 轴作垂线，垂足在 x 轴上表示的数为该点的横坐标；再从该点向 y 轴作垂线，垂足在 y 轴上表示的数为该点的纵坐标；最后用有序实数对将点的坐标表示出来 .
请你在如图 3.1－5 的平面直角坐标系中，描出以下各点： A(3，2)， B(0，3)， C(－1， －2)， D(2， －1) .
解： 描出的点 A， B， C， D如图 3.1－5 所示 .
解题秘方：紧扣点的坐标的定义，找到坐标轴上表示点的坐标的数，分别作垂线，两条垂线的交点即为所求点 .
方法点拨根据点的坐标描点的方法：　　假设点P的坐标为( a， b ) ，先在x轴上找到表示的数为a的点A，在y轴上找到表示的数为b的点B，再过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点P.
已知点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 1. 如果过点 P 作两坐标轴的垂线，垂足分别在 x 轴的正半轴上和 y 轴的负半轴上，那么点 P 的坐标是( )A. ( 2， － 1 ) B. ( 1， － 2 )C. ( － 2， － 1 ) D. ( 1，2 )
解题秘方：紧扣点的坐标与点到两坐标轴的距离的意义之间的关系解答．
解：由点 P 到 x 轴的距离为 2，可知点 P 的纵坐标的绝对值为 2，由点 P 到 y 轴的距离为 1，可知点 P 的横坐标的绝对值为 1.又因为垂足分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的负半轴上，所以横坐标为 1，纵坐标为 － 2.故点 P 的坐标是( 1， － 2 ) .
解法指导本题考查的是点的坐标的几何意义：点到x 轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离为点的横坐标的绝对值．
平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
1.象限的划分：如图 3.1－6，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，这四个区域分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限 .
2. 平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征：
特别提醒◆象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.各象限的名称是一种规定，不能随意更改 .◆坐标原点既在x轴上，又在y轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点.
已知点 P 的坐标为( a+3， b－1) .(1)若点 P 在 x 轴上，则 b=_______；(2)若点 P 在 y 轴上，则 a=_______；(3)若点 P 在第三象限，则 a 的取值范围为_________， b 的取值范围为_________.
解题秘方：紧扣 x 轴、 y 轴上及象限内点的坐标特征解答 .
方法点拨x轴上的点的纵坐标是0，y轴上的点的横坐标是0，第三象限内点的横、纵坐标都是负数 .
答案：(1) 1  (2) －3  (3) a<－3； b<1
解： (1) ∵点 P 在 x 轴上，∴ b － 1=0，解得 b=1.(2) ∵点 P 在 y 轴上， ∴ a+3=0，解得 a= － 3.(3) ∵点 P 在第三象限，∴ a+3<0， b － 1<0， ∴ a< － 3， b<1.
特殊位置的点的坐标特征（拓展点）
1. 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征： (1)第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等； (2)第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 .
2.平行于x 轴、 y 轴的直线上的点的坐标特征：如图 3.1－7，直线 l1 ∥ x 轴，直线 l2 ∥ y 轴，因为由 l1 上的任意一点向 y 轴作垂线，垂足都是同一个点 M，所以 l1 上所有点的纵坐标都相同；因为由 l2 上的任意一点向 x 轴作垂线，垂足都是同一个点 N，所以 l2 上所有点的横坐标都相同 .
3. 若两个点的横坐标相同，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值；若两个点的纵坐标相同，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值 .
特别解读1. 若AB//x 轴，则A( x1，y1)， B ( x2， y2 )的横坐标不相等，纵坐标相等且不为 0，即 x1 ≠ x2， y1=y2 ≠0；反之，若 A ( x1，y1 ) ， B ( x2， y2 ) ，且 x1 ≠ x2， y1=y2 ≠0，则 AB//x 轴 .
2. 若 CD//y 轴， 则C ( m1， n1 ) ， D ( m2，n2 ) 的 横 坐 标 相 等且不为 0，纵坐标不相 等， 即 m1=m2 ≠0， n1 ≠ n2；反之，若 C ( m1， n1 ) ，D ( m2， n2 ) ， 且m1=m2 ≠ 0， n1 ≠n2，则 CD//y 轴 .
已知平面直角坐标系内的不同两点 A ( 3， a － 1 ) ，B ( b+1， － 2 ) .(1)若点 A 在第一、三象限的角平分线上，求 a 的值；(2) 若点 B 在第二、四象限的角平分线上，求 b 的值；(3)若直线 AB 平行于 x 轴，求 a， b 的值或取值范围；(4)若直线 AB 平行于 y 轴，且 AB=5，求 a， b 的值 .
解题秘方：分别根据特殊位置的点的坐标特征列出以 a，b 为未知数的方程，求出 a， b 的值或取值范围 .
解： (1) ∵点 A 在第一、三象限的角平分线上，∴ a － 1=3，∴ a=4.(2) ∵点 B 在第二、四象限的角平分线上，∴ b+1=2， ∴ b=1.
(3) ∵直线 AB 平行于 x 轴，∴ a － 1= － 2， b+1 ≠ 3.∴ a= － 1， b ≠ 2.(4) ∵直线 AB 平行于 y 轴，且 AB=5，∴ b+1=3， | ( a － 1 ) － ( － 2 ) |=5.∴ b=2， a=4 或 a= － 6.
已知两点之间的距离求点的坐标时，要带上绝对值，求出的点的坐标不止一个
特别警示两点确定的直线平行于坐标轴，既要考虑一个坐标相等，又要考虑另一个坐标不能相等，否则两个点重合不能确定一条直线 .
平面直角坐标系表示地理位置的方法：(1)建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、 y 轴的正方向 .(2)根据具体问题确定单位长度 .(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称 .
特别解读：(1) 通常以正北为纵轴的正方向，正东为横轴的正方向，这样可以使东西南北方向与地理位置一致 .(2) 平面直角坐标系发生变化时，坐标平面内的各点坐标发生变化，但各点之间的相对位置并不会发生变化 .
特别提醒1. 建立平面直角坐标系的方法不是唯一的；2.选取原点要“适当”，一般取比较有名的地点，或是所要绘制的区域内较居中的位置；3. 在地点比较集中，坐标平面又较小时，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名称.
根据下面的条件画一幅示意图，并在图中标出各个景点的位置和坐标 .菊花园：从中心广场向北走 150 m，再向东走 150 m；湖心亭：从中心广场向西走 150 m，再向北走 100 m；松风亭：从中心广场向西走 100 m，再向南走 50 m.
解题秘方：选择一个核心为原点，按照平面直角坐标系表示地理位置的方法，建立平面直角坐标系 .
解：如图 3.1 － 8，选中心广场所在位置为原点，分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向建立平面直角坐标系 .
方法点拨建立平面直角坐标系描述地理位置时，建立的平面直角坐标系不同，各个点的坐标一般也不同；建立的坐标系在符合题意的基础上，应尽量使较多的点落在坐标轴上或使点都落在原点附近 .
用方位角及距离表示平面内点的位置
1. 定义：　　确定平面内一个物体的位置，可以选择一个参照物，然后用方位角和距离表示物体的位置，这种表示物体位置的方法称为方位角距离定位法 .
2. 方法：(1)选取某个点 A 为参照点，过参照点 A 画出表示东西和南北方向的直线；(2)用量角器量出点 M 相对于参照点 A 的方位角；(3)用刻度尺量出点 M 与参照点 A 之间的图上距离，并利用比例尺计算出点 M 与参照点 A 之间的实际距离；(4)用方位角和距离表示点 M 的位置 .
特别解读◆用方位角和距离表示平面内点的位置时，必须有两个数据，缺一不可 .(1)该点相对于参照点的方位角；(2)该点与参照点之间的实际距离 .◆用方位角和距离表示平面内点的位置和地图上的方向一样，按上北下南，左西右东划分，处于四个直角平分线上的方向分别是东北、东南、西北、西南
如图3.1 － 9是某次海战中敌我双方舰艇对峙的示意图，对我方潜艇来说：
解题秘方：紧扣确定位置的两个要素：“方位角与距离”解答 .
(1)北偏东 40°方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰 B的位置还需要什么条件？
解：我方潜艇的北偏东 40°方向上的目标有两个，分别是小岛和敌方战舰 B. 要想确定敌方战舰 B 的位置还需要知道我方潜艇和敌方战舰 B 的实际距离 .
(2)在图上距我方潜艇 1 cm 处的敌方战舰有哪几艘？
解：在图上经过测量可知，距我方潜艇 1 cm 处的敌方战舰有两艘，分别为敌方战舰 A 和敌方战舰 C.
(3)要确定各艘敌方战舰的位置还需要哪些数据？
解：要确定各艘敌方战舰的位置，需要两个数据：方位角和距离 . 图中已经知道了方位角，所以还需要知道每艘敌方战舰和我方潜艇的实际距离 .
方法点拨利用“方位角 + 距离”描述物体的位置时，需要利用量角器测量角的度数、利用刻度尺测量图上距离，一般还要利用比例尺求出实际距离 .