广东省云浮市新兴县2024-2025学年九上数学开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份广东省云浮市新兴县2024-2025学年九上数学开学学业水平测试试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=
A．40°B．50°
C．60°D．75°
2、（4分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为( )
A．(－，1) B．(－1，) C．(，1) D．(－，－1)
3、（4分）已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数是3B．中位数是4
C．极差是4D．方差是2
4、（4分）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）下列函数的图象不经过第一象限，且y随x的增大而减小的是( )
A．B．C．D．
6、（4分）某居民小区10户家庭5月份的用水情况统计结果如表所示：这10户家庭的月平均用水量是( )
A．2m3 B．3.2m3 C．5.8m3 D．6.4m3
7、（4分）矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（ ）
A．12B．24C．48D．50
8、（4分）如图，在中，，于点，和的角平分线相较于点，为边的中点，，则（ ）
A．125°B．145°C．175°D．190°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）二次根式有意义的条件是______________.
10、（4分）如果顺次连接四边形的四边中点得到的新四边形是菱形，则与的数量关系是___．
11、（4分）点A(-2，3)关于x轴对称的点B的坐标是_____
12、（4分）已知线段AB=100m，C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长约为。(结果保留一位小数)
13、（4分）如图，点P为函数y＝（x＞0）图象上一点过点P作x轴、y轴的平行线，分别与函数y（x＞0）的图象交于点A，B，则△AOB的面积为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．
求证：四边形BECF是正方形．
15、（8分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点、，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或.
（1）已知、，试求A、B两点间的距离______.
已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1，试求M、N两点的距离为______；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使的长度最短，求出点P的坐标及的最短长度．
16、（8分）先化简，再求值：（a+）÷，其中a=1．
17、（10分）某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件，可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20名工人中，车间每天安排名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件，且生产乙种零件的个数不超过甲种零件个数的一半．
（1）请写出此车间每天所获利润（元）与（人）之间的函数关系式；
（2）求自变量的取值范围；
（3）怎样安排生产每天获得的利润最大，最大利润是多少？
18、（10分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是AB的中点．若在AC上存在一点E，使得△ADE与原三角形相似．
（1）确定E的位置，并画出简图：
（2）求AE的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，这个多边形是________.
20、（4分）分解因式：______．
21、（4分）观察下列式子：
当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5
n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10
n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…
根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝_____，b＝_____，c＝_____．
22、（4分）在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程的两个实数根，则△ABC的周长为__________．
23、（4分）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠ADM的度数是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
25、（10分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点的横坐标为．
（1）求的值．
（2）若点是轴上一点，且，求点的坐标．
26、（12分）如图所示，在中，点在上，于，且平分，.
求证：.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
分析：本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值．
详解：∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故选B．
点睛：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
2、A
【解析】
试题分析：作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．如图：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．∴点C的坐标为
（-，1）故选A．
考点：1、全等三角形的判定和性质；2、坐标和图形性质；3、正方形的性质．
3、B
【解析】
试题分析：A、这组数据的平均数是：（1+2+4+3+5）÷5=3，故本选项正确；
B、把这组数据从小到大排列：1，2，3，4，5，则中位数是3，故本选项错误；
C、这组数据的极差是：5-1=4，故本选项正确；
D、这组数据的方差是2，故本选项正确；
故选B．
考点：方差；算术平均数；中位数；极差．
4、D
【解析】
将一个图形沿着一条直线翻折后两侧能够完全重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕着一个点旋转180°后能与自身完全重合，这样的图形是中心对称图形，根据定义依次判断即可得到答案.
【详解】
A、是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，
故选：D.
此题考查轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，熟记定义并掌握图形的特点是解题的关键.
5、A
【解析】
分别分析各个一次函数图象的位置.
【详解】
A. ，图象经过第二、四象限，且y随x的增大而减小;
B. , 图象经过第一、二、三象限；
C. ，图象经过第一、二、四象限；
D. ，图象经过第一、三、四象限；
所以，只有选项A符合要求.
故选A
本题考核知识点：一次函数的性质.解题关键点：熟记一次函数的性质.
6、C
【解析】
把已知数据代入平均数公式求平均数即可.
【详解】
月平均用水量=
故答案为：C.
此题主要考查加权平均数的求解，解题的关键是熟知加权平均数的定义与公式.
7、C
【解析】
设矩形的两邻边长分别为3x、4x，根据勾股定理可得（3x）2+（4x）2＝102，解方程求得x的值，即可求得矩形两邻边的长，根据矩形的面积公式即可求得矩形的面积.
【详解】
∵矩形的两邻边之比为3：4，
∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，
∵对角线长为10，
∴（3x）2+（4x）2＝102，
解得：x＝2，
∴矩形的两邻边长分别为：6，8；
∴矩形的面积为：6×8＝1．
故选：C．
本题考查了矩形的性质及勾股定理，利用勾股定理求得矩形两邻边的长是解决问题的关键.
8、C
【解析】
根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD=60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED=115°，即可得到∠ACD+∠CED=60°+115°=175°．
【详解】
如图：
∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF=AC=CF，
又∵CD=CF，
∴CD=DF=CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∵∠B=50°，
∴∠BCD+∠BDC=130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE=65°，
∴∠CED=115°，
∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°，
故选：C．
本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x≥1
【解析】
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】
由题意得，x−1⩾0，
解得x⩾1.
故答案为：x⩾1.
此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握被开方数大于等于0
10、
【解析】
先证明EFGH是平行四边形，再根据菱形的性质求解即可.
【详解】
如图1所示，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HE∥AC，HE=AC，GF∥AC，GF=AC，
∴HE=GF且HE∥GF；
∴四边形EFGH是平行四边形． 连接BD，如图2所示：
若四边形EFGH成为菱形，
则EF=HE，
由（1）得：HE=AC，
同理：EF=BD，
∴AC=BD；
故答案为：AC=BD．
本题考查了平行四边形的判定、中点四边形、菱形的性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．
11、（-2，-3）．
【解析】
根据在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标相反即可得出答案.
解：点A(-2，3)关于x轴对称的点B的坐标是(-2,-3).
故答案为(-2,-3).
12、61.8m或38.2m
【解析】由于C为线段AB=100cm的黄金分割点，
则AC=100×61.8m
或AC=100-．
13、1
【解析】
根据题意作AD⊥x轴于D，设PB⊥x轴于E，，设出P点的坐标，再结合S△AOB＝S四边形ABOD﹣S△OAD＝S四边形ABOD﹣S△OBE＝S梯形ABED，代入计算即可.
【详解】
解：作AD⊥x轴于D，设PB⊥x轴于E，
∵点P为函数y＝（x＞0）图象上一点，过点P作x轴、y轴的平行线，
∴设P（m，），则A（2m，），B（m，），
∵点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△OBE＝S△OAD，
∵S△AOB＝S四边形ABOD﹣S△OAD＝S四边形ABOD﹣S△OBE＝S梯形ABED，
∴S△AOB＝（+）（2m﹣m）＝1，
故答案为1．
本题主要考查反比例函数的面积问题，这是考试的重点知识，往往结合几何问题求解.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、证明见解析
【解析】
先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是矩形，BE=CE邻边相等的矩形是正方形．
【详解】
∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
又∵在矩形ABCD中，
BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°，BE＝CE，
∴四边形BECF是正方形
本题主要考查平行四边形及正方形的判定．
15、（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P的坐标为（）时，PD+PF的长度最短，最短长度为.
【解析】
（1）根据阅读材料中A和B的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M、N在平行于y轴的直线上，根据M和N的纵坐标利用公式即可求出MN的距离;
（2）由三个顶点的坐标分别求出DE，DF，EF的长，即可判定此三角形的形状；
（3）作F关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，此时最短，最短距离为，P的坐标即为直线与x轴的交点.
【详解】
解：（1）∵、
∴
故A、B两点间的距离为：13.
∵M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1
∴
故M、N两点的距离为5.
（2）∵、、
∴
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形
（3）
作F关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，此时DP+PF最短
设直线的解析式为y=kx+b
将D（1,6），（4，-2）代入得：
解得
∴直线的解析式为：
令y=0，解得，即P的坐标为（）
∵PF=
∴PD+PF=PD+==
故当P的坐标为（）时，PD+PF的长度最短，最短长度为.
本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.
16、2.
【解析】
分析：把a+通分化简，再把除法转化为乘法，并把分子、分母分解因式约分，化成最简分式（或整式）后把a=1代入计算.
详解：（a+）÷
=[+]•
=•
=•
=，
当a=1时，原式==2．
点睛：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解答本题的关键，本题也考查了运用平方差公式和完全平方公式分解因式.
17、（1）；（2）（3）安排13人生产甲种零件，安排7人生产乙种零件，所获利润最大，最大利润为20800元．
【解析】
（1）整个车间所获利润=甲种零件所获总利润+乙种零件所获总利润；
（2）根据零件零件个数均为非负整数以及乙种零件的个数不超过甲种零件个数的一半可得自变量的取值范围；
（3）根据（1）得到的函数关系式可得当x取最小整数值时所获利润最大．
解答
【详解】
解：（1）此车间每天所获利润（元）与（人）之间的函数关系式是
．
（2）由
解得
因为为整数，所以
（3）随的增大而减小，
当时，．
即安排13人生产甲种零件，安排7人生产乙种零件，所获利润最大，最大利润为20800元．
本题考查一次函数的性质、一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质、一元一次不等式组的应用和一次函数的应用.
18、（1）画出简图见解析；（2）AE的长为4或．
【解析】
(1)分别从△ADE∽△ABC与△ADE∽△ACB去求解，即可画出图形；
(2)分别从当时，△ADE∽△ABC与当时，△ADE∽△ACB去分析求解即可求得答案．
【详解】
画出简图如图所示：
当DE1∥BC时，△ADE∽△ABC
当∠ADE2=∠C时，△ADE∽△ACB
(2)∵D是AB的中点，AB＝6，
∴AD＝3，
∵∠A是公共角，
∴当时，△ADE∽△ABC，
∴，
解得：AE1＝4；
∴当时，△ADE∽△ACB，
∴，
解得AE2＝，
∴AE的长为4或．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正确地进行分类讨论，熟练运用相似三角形的相关知识是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的值.
【详解】
解：设这个多边形是n边形，由题意得，n-2=7，
解得：n=9，
故答案为：9.
本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n.
20、
【解析】
根据因式分解的定义:将多项式和的形式转化为整式乘积的形式;先提公因式,再套用完全平方公式即可求解.
【详解】
,
=,
=,
故答案为:.
本题主要考查因式分解,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.
21、2n，n2﹣1，n2+1．
【解析】
由n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5；n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1，满足勾股数．
【详解】
解：∵当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5
n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10
n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…
∴勾股数a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1．
故答案为2n，n2﹣1，n2+1．
考点：勾股数．
22、9或10.1
【解析】
根据等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b=c，得出△=[-（2k+1）]2-4×1（k-）=4k2+4k+1-20k+11=4k2-16k+16=0，解方程求出k=2，则b+c=2k+1=1；当a为腰时，则b=4或c=4，然后把b或c的值代入计算求出k的值，再解方程进而求解即可．
【详解】
等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b=c，若b和c是关于x的方程x2-（2k+1）x+1（k-）=0的两个实数根，
则△=[-（2k+1）]2-4×1（k-）=4k2+4k+1-20k+11=4k2-16k+16=0，
解得：k=2，
则b+c=2k+1=1，
△ABC的周长为4+1=9；
当a为腰时，则b=4或c=4，
若b或c是关于x的方程x2-（2k+1）x+1（k-）=0的根，
则42-4（2k+1）+1（k-）=0，
解得：k=，
解方程x2-x+10=0，
解得x=2.1或x=4，
则△ABC的周长为：4+4+2.1=10.1．
23、75°
【解析】
连接BD,根据BD,AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线,所以∠AMD=AMB,求∠AMD,∠AMB，再根据三角形内角和可得.
【详解】
如图，连接BD，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，
∴∠EBC=∠BEC=（180°-∠BCE）=15°,
∵∠BCM=∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°
∴∠AMB=180°-∠BMC=60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD=∠AMB=60°，
∴∠ADM=180〬-∠DAC-∠AMD=180〬-45〬-60〬=75〬.
故答案为75〬
本题考核知识点：正方形性质，等边三角形. 解题关键点：运用正方形性质，等边三角形性质求角的度数.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、猜想：BE∥DF，BE=DF；证明见解析.
【解析】试题分析：利用平行四边形的性质和平行线的性质可以得到相等的线段和相等的角，从而可以证明△BCE≌△DAF，进而证得结论．
试题解析：猜想：BE∥DF且BE=DF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB=AD，CB∥AD，
∴∠BCE=∠DAF，
在△BCE和△DAF
，
∴△BCE≌△DAF，
∴BE=DF，∠BEC=∠DFA，
∴BE∥DF，
即BE∥DF且BE=DF．
考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质．
25、（1）k=2；（2）P点的坐标为或．
【解析】
（1）把代入正比例函数的图象求得纵坐标，然后把的坐标代入反比例函数，即可求出的值；
（2）因为、关于点对称，所以，即可求得，然后根据三角形面积公式列出关于的方程，解方程即可求得．
【详解】
解：（1）正比例函数的图象经过点，点的横坐标为．
，
点，
∵反比例函数的图象经过点，
；
（2），
，
设，则，
，即，
点的坐标为或．
本题考查的是反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，三角形的面积等知识点，利用数形结合是解答此题的关键．
26、详见解析
【解析】
首先根据已知易证，可得是中点，再根据三角形的中位线定理可得．
【详解】
证明：∵，平分，
∴，，
又∵，
∴（ASA），
∴.
又∵，
∴.
此题主要考查了三角形中位线定理，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
月用水量/m3
4
5
6
8
9
户数
2
3
3
1
1