重庆市杨家坪中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

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(考试时间：120分钟)
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数满足：(其中i是虚数单位)，则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限
2．已知，，，若，则 ( )
A．5B．4C．1D．
3．中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《周髀算经》的概率为 ( )
A．B．C．D．
4．空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为 ( )
A． B． C．3D．
5．已知向量，，向量在向量上的投影向量为 ( )．
A． B． C． D．
6．设直线l的方程为()，则直线l的倾斜角的取值范围是 ( )
A． B C． D．
7．已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为 ( )
A．2B．4C．D．
8．如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为 ( )
B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．给出下列命题，其中正确的是 ( )
A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是
C．点P为平面ABC上一点，且，则
D．非零向量，，若，则为锐角
10．下列说法正确的是 ( )
A．直线的倾斜角为
B. 直线的其中一个直线方向向量是
C．若直线经过第三象限，则，
D．方程表示的直线都经过点
11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点(含端点)，则下列说法正确的是 ( )
A．存在点，使得
B．存在点，使得异面直线与所成的角为
C．三棱锥体积的最大值是
D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若向量，，则 ．
13．已知，若点在线段AB上，则的取值范围是 .
14．已知正方体的棱长为2，M，N，G分别是棱，BC，的中点，Q是该正方体表面上的一点，且.若，则直线NQ与平面所成角的大小为 ，若x，，则的最大值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(本小题满分13分)
已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值：
(1)与相交； (2)与平行； (3)与重合.
16. (本小题满分15分)
如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，．

(1)设，，，用表示；
(2)若，( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)求
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)求．
17．(本小题满分15分)
如图，在直三棱柱中，分别为的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
18．(本小题满分17分)
如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点．
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小；
(3)设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
19．(本小题满分17分)
在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离；
(3)(i)若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积；
(ii)若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面(有公共棱)所成二面角的大小.