人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精品习题

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一、选择题
1．若正数a，b，c组成等比数列，则lg2a，lg2b，lg2c一定是( )
A．等差数列 B．既是等差数列又是等比数列
C．等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列
2．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝( )
A．eq \f(\r(5),3) B．eq \f(\r(5),2) C．eq \f(5,3) D．eq \f(5,2)
3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－eq \f(27,2)是此数列的( )
A．第2项 B．第4项 C．第6项 D．第8项
4．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则eq \f(a2－a1,b2)的值是( )
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．eq \f(1,2)或－eq \f(1,2) D．eq \f(1,4)
5．已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增，且a1·a3＝36，a1＋a2＋a3＝26，则a4＝( )
A．24 B．36 C．48 D．54
二、填空题
6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
7．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
8．设等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
三、解答题
9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝eq \f(8,27).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－eq \f(16,81)是否为该数列的项？若是，为第几项？
10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
11．(多选题)有下列四个命题，正确的是( )
A．等比数列中的每一项都不可以为0
B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)
C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1
D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
12．(一题两空)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.
13．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．
14．设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．
(1)证明：2eq \s\up10(a1)，2eq \s\up10(a2)，2eq \s\up10(a3)，2eq \s\up10(a4)依次构成等比数列；
(2)是否存在a1，d，使得a1，aeq \\al(2,2)，aeq \\al(3,3)，aeq \\al(4,4)依次构成等比数列？并说明理由．
等比数列的性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42 C．63 D．84
3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为( )
A．32 B．64 C．256 D．±64
4．在各项不为零的等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，2a2 017－aeq \\al(\s\up1(2),2 018)＋2a2 019＝0，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))是等比数列，且b2 018＝a2 018，则lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b2 017·b2 019))的值为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以eq \f(1,2)为首项的等比数列，则eq \f(m,n)等于( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(3,2)或eq \f(2,3) C．eq \f(2,3) D．以上都不对
二、填空题
6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．
7．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足an>0，且lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列，若a3a4a6a7＝4，则a5＝________.
8．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
三、解答题
9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(5,2)－eq \f(1,an)，bn＝eq \f(1,an－2)，求数列{bn}的通项公式．
11．(多选题)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 016积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的可能值为( )
A．1 006 B．1 007 C．1 008 D．1 009
12．若a，b是函数f (x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
13．(一题两空)数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，数列{an－1}若是等比数列，则λ的值为________，若数列{an－1}的首项为2，那么{an}的通项公式an＝________.
14．(一题两空)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，eq \f(1,2)a3，2a2成等差数列，则公比q的值为________，eq \f(a9＋a10,a7＋a8)＝________.
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)在(1)的条件下求数列{bn}的通项公式．
等比数列的前n项和公式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31 B．32 C．63 D．64
2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝eq \f(1,8)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C．eq \f(32,3)(1－4－n) D．eq \f(32,3)(1－2－n)
3．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝( )
A．－2 B．－1 C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前5项和等于( )
A．eq \f(15,8)或5 B．eq \f(31,16)或5 C．eq \f(31,16) D．eq \f(15,8)
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
二、填空题
6．在等比数列{an}中，若a1＝eq \f(1,2)，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．
三、解答题
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
10．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记bn＝eq \f(an,3n)的前n项和为Tn，求Tn.
11．(多选题)设等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，eq \f(a7－1,a8－1)<0.则下列结论正确的是( )
A．0C．Tn的最大值为T7 D．Sn的最大值为S7
12．(多选题)如图所示，作边长为3的正△ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去．则下列说法正确的是( )
A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为eq \f(9\r(3),16)
B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为eq \f(9\r(3),64)
C．n个内切圆的面积和为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n)))π
D．n个内切圆的面积和为3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n)))π
13．(一题两空)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.
14．(一题两空)在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问________天后两鼠相遇？如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打的洞长度之和，则Sn＝________尺．
15．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.
等比数列前n项和的性质及应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( )
A．7 B．8 C．15 D．16
2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A．eq \f(15,2) B．eq \f(31,4) C．eq \f(33,4) D．eq \f(17,2)
3．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于( )
A．150 B．－200 C．150或－200 D．400
4．设数列{xn}满足lg2xn＋1＝1＋lg2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10 ，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于( )
A．1 025 B．1 024 C．10 250 D．20 240
5．已知公差d≠0的等差数列{an} 满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝( )
A．30 B．20 C．10 D．5或40
二、填空题
6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.
7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
8．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为an＝________.
三、解答题
9．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．
10．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
11．(多选题)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N*，则下列说法正确的是( )
A．eq \f(S2m,Sm)＝eq \f(a2m,am)＋1
B．若eq \f(S6,S3)＝9，则q＝2
C．若eq \f(S2m,Sm)＝9，eq \f(a2m,am)＝eq \f(5m＋1,m－1)，则m＝3，q＝2
D．若eq \f(a6,a3)＝9，则q＝3
12．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(aeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n))，aeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)))在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于( )
A．3n－1 B．eq \f(1－－3n,2) C．eq \f(1＋3n,2) D．eq \f(3n2＋n,2)
13．(一题两空)等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为eq \f(85,32)，偶数项之和为eq \f(21,16)，则这个等比数列的公比q＝________，又令该数列的前n项的积为Tn，则Tn的最大值为________．
14．(一题两空)设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的第n项为an，前n项和为Sn，则an＝________，Sn＝________.
15．设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．