高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用精品精练

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一、选择题
1．已知函数f (x)＝xln x，则f (x)( )
A．在(0，＋∞)上递增 B．在(0，＋∞)上递减
C．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上递增D．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上递减
D [函数的定义域为(0，＋∞)，求导函数，可得f ′(x)＝1＋ln x，
令f ′(x)＝1＋ln x＝0，可得x＝eq \f(1,e)，∴0＜x＜eq \f(1,e)时，f ′(x)＜0；x＞eq \f(1,e)时，f ′(x)＞0.
∴在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))上递增．故选D.]
2．在R上可导的函数f (x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f ′(x)＞0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B [当x＞0时，x·f ′(x)＞0⇒f ′(x)＞0⇒函数单调递增；根据图形知，x＞1或x＜－1⇒x＞1；当x＝0时，不成立；当x＜0时，x·f ′(x)＞0⇒f ′(x)＜0⇒函数单调递减；根据图形知，－1＜x＜1⇒－1＜x＜0.综上所述：x∈(－1，0)∪(1，＋∞)，故选B.]
3．已知函数f (x)＝2x－ln|x|，则f (x)的大致图象为( )
A B C D
A [当x＜0时，f (x)＝2x－ln(－x)，f ′(x)＝2－eq \f(1,－x)·(－1)＝2－eq \f(1,x)＞0，所以f (x)在(－∞，0)单调递增，则B、D错误；
当x＞0时，f (x)＝2x－ln x，f ′(x)＝2－eq \f(1,x)＝eq \f(2x－1,x)，则f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))单调递减，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))单调递增，所以A正确，故选A.]
4．函数f (x)＝x3＋kx2－7x在区间[－1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－2]B．[－2，2]
C．[－2，＋∞)D．[2，＋∞)
B [∵f (x)＝x3＋kx2－7x，∴f ′(x)＝3x2＋2kx－7，由题意可知，不等式f ′(x)≤0对于任意的x∈[－1，1]恒成立，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′－1＝－2k－4≤0，,f′1＝2k－4≤0，))解得－2≤k≤2.因此，实数k的取值范围是[－2，2]．故选B.]
5．函数f (x)的定义域为R，f (－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)＞2，则f (x)＞2x＋4的解集为( )
A．(－1，1)B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)
B [依题意可设g(x)＝f (x)－2x－4，所以g′(x)＝f ′(x)－2＞0.
所以函数y＝g(x)在R上单调递增，又因为g(－1)＝f (－1)＋2－4＝0.
所以要使g(x)＝f (x)－2x－4＞0，即g(x)＞g(－1)，只需要x＞－1，故选B.]
二、填空题
6．函数f (x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
(1，2) [f ′(x)＝6x2－18x＋12，令f ′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.]
7．已知函数f (x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是________．
[－eq \r(3)，eq \r(3)] [f ′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－eq \r(3)≤a≤eq \r(3).即a的取值范围是[－eq \r(3)，eq \r(3)]．]
8．若函数f (x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) [因为f (x)定义域为(0，＋∞)，又f ′(x)＝4x－eq \f(1,x)，由f ′(x)＝0，得x＝eq \f(1,2).当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时，f ′(x)＜0；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))时f ′(x)＞0.据题意，k－1＜eq \f(1,2)＜k＋1，k－1≥0，解得1≤k＜eq \f(3,2).]
三、解答题
9．已知函数f (x)＝aln x－bx2，a，b∈R，函数f (x)在x＝1处与直线y＝－eq \f(1,2)相切．
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))上的单调性．
[解] (1)f ′(x)＝eq \f(a,x)－2bx，由题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′1＝a－2b＝0,f1＝－b＝－\f(1,2)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\f(1,2).))
(2)由(1)知f (x)＝ln x－eq \f(1,2)x2，f ′(x)＝eq \f(1,x)－x＝－eq \f(x－1x＋1,x)，
∴当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))时，f ′(x)≥0，f (x)单调递增，当x∈[1，e]时，f ′(x)≤0，f (x)单调递减，
∴函数f (x)的增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))，减区间是[1，e]．
10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f (x)＝6ln x＋h(x)．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若函数f (x)在区间(1，m＋eq \f(1,2))上是单调函数，求实数m的取值范围．
[解] (1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，
其图象为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8a＋b＝0，,b＝－8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－8，))∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
∴f (x)＝6ln x＋x2－8x＋2.
(2)∵f ′(x)＝eq \f(6,x)＋2x－8＝eq \f(2(x－1)(x－3),x)(x＞0)．
∴当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
∴f (x)的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，f (x)的单调递减区间为(1，3)．
要使函数f (x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，m＋\f(1,2)))上是单调函数，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＜m＋\f(1,2)，,m＋\f(1,2)≤3，))解得eq \f(1,2)＜m≤eq \f(5,2).
即实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))).
11．(多选题)若函数y＝exf (x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f (x)的定义域上单调递增，则称函数f (x)具有M性质，下列函数中所具有M性质的函数的选项为( )
A．f (x)＝2－xB．f (x)＝3－x
C．f (x)＝x3D．f (x)＝x2＋2
AD [A中，exf (x)＝ex·2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,2)))eq \s\up10(x)在R上单调递增，故f (x)＝2－x具有M性质；
B中，exf (x)＝ex·3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,3)))eq \s\up10(x)在R上单调递减，故f (x)＝3－x不具有M性质；
C中，exf (x)＝ex·x3，令g(x)＝ex·x3，则g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，∴当x＞－3时，g′(x)＞0，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴exf (x)＝ex·x3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f (x)＝x3不具有M性质；
D中，exf (x)＝ex(x2＋2)，令g(x)＝ex(x2＋2)，则
g′(x)＝ex(x2＋2)＋ex·2x＝ex[(x＋1)2＋1]＞0，∴exf (x)＝ex(x2＋2)在R上单调递增，故f (x)＝x2＋2具有M性质．]
12．(多选题)下列命题为真命题的是( )
A．eq \f(2ln 3,3)＞ln 2 B．eq \f(5,4)ln 2＜lneq \f(5,2)
C．ln 2＜eq \f(2,e)D．2eq \r(5)＞5
ABC [构造函数f (x)＝eq \f(ln x,x)，导数为f ′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，
当0＜x＜e时，f ′(x)＞0，f (x)递增；当x＞e时，f ′(x)＜0，f (x)递减．
因为32＞23，因为y＝ln x在定义域上单调递增，所以ln 32＞ln 23，所以2ln 3＞3ln 2，所以eq \f(2ln 3,3)＞ln 2，故A正确；∵e＞eq \f(5,2)＞2，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＞f (2)，∴eq \f(ln\f(5,2),\f(5,2))＞eq \f(ln 2,2)，lneq \f(5,2)＞eq \f(5,4)ln 2，故B正确；
∵f (2)＜f (e)＝eq \f(1,e)，∴eq \f(ln 2,2)＜eq \f(1,e)，即ln 2＜eq \f(2,e)，故C正确；
∵e＞eq \r(5)＞2，∴f (eq \r(5))＞f (2)，∴eq \f(ln\r(5),\r(5))＞eq \f(ln 2,2)，∴2lneq \r(5)＞eq \r(5)ln 2，
∴ln(eq \r(5))2＞ln(2)eq \r(5)，∴5＞2eq \r(5)，故D错误．
故选ABC.]
13．(一题两空)已知函数f (x)＝eq \f(2,x)＋aln x＋x，且曲线y＝f (x)在点P(1，f (1))处的切线与直线y＝－2x＋2平行，则a＝________，函数的单调增区间是________．
－1 (2，＋∞) [∵f (x)＝eq \f(2,x)＋aln x＋x，定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝－eq \f(2,x2)＋eq \f(a,x)＋1＝eq \f(x2＋ax－2,x2)，由题知f ′(1)＝a－1＝－2，解得a＝－1，
这时f ′(x)＝eq \f(x2－x－2,x2)，则f ′(x)＝0，得x1＝2或x2＝－1(舍)，
令f ′(x)＞0，即x2－x－2＞0且x＞0，得x＞2，
所以函数y＝f (x)的递增区间为(2，＋∞)．]
14．若函数y＝－eq \f(4,3)x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
(0，＋∞) [若函数y＝－eq \f(4,3)x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.]
15．已知函数f (x)＝eq \f(1,2)ax2＋2x－ln x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f (x)的单调区间；
(2)若函数f (x)存在单调增区间，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝3时，f (x)＝eq \f(3,2)x2＋2x－ln x，其定义域为(0，＋∞)．
∴f ′(x)＝3x＋2－eq \f(1,x)＝eq \f(3x－1x＋1,x).令f ′(x)＜0，得0＜x＜eq \f(1,3)，令f ′(x)＞0，得x＞eq \f(1,3)，
∴函数f (x)的减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).
(2)∵f (x)＝eq \f(1,2)ax2＋2x－ln x(a∈R)的定义域为(0，＋∞)，
∴f ′(x)＝ax＋2－eq \f(1,x)＝eq \f(ax2＋2x－1,x)(a∈R)．
若函数f (x)存在单调增区间，则f ′(x)＞0在区间(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1＞0在区间(0，＋∞)上有解．
分离参数得a＞eq \f(1－2x,x2)，令g(x)＝eq \f(1－2x,x2)，则依题意，只需a＞g(x)min即可．
∵g(x)＝eq \f(1－2x,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))eq \s\up10(2)－1，∴g(x)min＝－1，∴a＞－1，
即所求实数a的取值范围为(－1，＋∞)．
函数的极值与导数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设函数f (x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f (x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A．－x0是－f (－x)的极小值点
B．对任意x∈R，f (x)≤f (x0)
C．－x0是f (－x)的极小值点
D．x0是－f (x)的极大值点
A [对于A，函数－f (－x)与函数f (x)的图象关于原点对称，因此－x0是－f (－x)的极小值点；对于B，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上f (x0)是否最大；对于C，函数f (－x)与函数f (x)的图象关于y轴对称，因此－x0是f (－x)的极大值点；对于D，函数f (x)与函数－f (x)的图象关于x轴对称，因此x0是－f (x)的极小值点，故D错误．]
2．已知函数f (x)的导函数f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f (x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0，1)D．(－1，0)
D [∵f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a