新高考数学专题复习专题13结构不良题(三角函数与解三角形)专题练习(学生版+解析)

这是一份新高考数学专题复习专题13结构不良题(三角函数与解三角形)专题练习(学生版+解析)，共26页。试卷主要包含了题型选讲，运用正余弦定理研究边，考查三角函数的图像与性质等内容，欢迎下载使用。


一、题型选讲
题型一 、研究三角形是否存在的问题
例1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例2、（2021年徐州联考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，______________，？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题型二、运用正余弦定理研究边、角及面积
例3、【2020年高考北京】在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.
如图，在平面四边形中，，，______，，求.
例5、（湖北黄冈高三联考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.
（1）求角；
（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.
例6、（2021年南京金陵中学联考）现给出两个条件：①2c－eq \r(3)b＝2acsB，②(2b－ eq \r(,3)c)csA＝ eq \r(,3)acsC，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边， eq \(,________)．
(1)求A；
(2)若a＝ eq \r(,3)－1，求△ABC周长的最大值．
例7、（2020·全国高三专题练习（文））在中，，，分别为内角，，的对边，且满.
（1）求的大小；
（2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积.
题型三、考查三角函数的图像与性质
例8、（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；②向量，；③函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）若且，求的值；
（2）求函数在上的单调递减区间．
二、达标训练
1、（2021年江苏连云港联考）已知有条件①, 条件②;
请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的题目．
在锐角△ABC中，内角 A, B, C 所对的边分别为a, b,c , a=eq \r(7), b+c=5,
且满足 ．
(1) 求角A的大小；
(2) 求△ABC的面积．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
2、（2021年泰州高三期中）在①a=2,②S=C2 csB， ③C=π3这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.
问题:在∆A BC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c,面积为S，
3bcsA=acsC+ccsA，b=1,____________，求 c的值.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
3、（2020届山东省临沂市高三上期末）在①，，②，，③，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，______，求的面积S.
4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角的对边分别为，，， .
求的面积.
5、（2020届山东省德州市高三上期末）已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.
7、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①;②这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.
在中，角的对边分别为，已知 ，.
(1)求;
(2)如图，为边上一点，，求的面积
专题13 结构不良题（三角函数与解三角形）
结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。
一、题型选讲
题型一 、研究三角形是否存在的问题
例1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】方案一：选条件①．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得．
由①，解得．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时．
方案二：选条件②．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得，，．
由②，所以．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时．
方案三：选条件③．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得．
由③，与矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
例2、（2021年徐州联考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，______________，？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择①：
由余弦定理可知，，……4分
由正弦定理得，，又，所以，…………………6分
所以是直角三角形，则，所以的面积.…10分
选择②：
由正弦定理得，，即，
又，所以，所以，即，
又，所以．……………………………………………………………4分
由正弦定理得，，…………………………………………………6分
所以的面积.…10分
选择③：
因为，所以，
又，所以，所以，即．…………………4分
由正弦定理得，，…………………………………………………6分
所以的面积.…10分
题型二、运用正余弦定理研究边、角及面积
例3、【2020年高考北京】在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.
如图，在平面四边形中，，，______，，求.
【解析】
选择①：
所以；
由余弦定理可得
所以
选择②
设，则，，
在中，即
所以
在中，，即
所以.
所以，解得，
又，所以，
所以.
例5、（湖北黄冈高三联考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.
（1）求角；
（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.
【解析】（1）选①，由正弦定理得，
∵，∴，即，
∵，∴，
∴，∴. ··········································5分
选②，∵，，
由正弦定理可得，
∵，∴，
∵，∴. ·················································5分
选③，∵，
由已知结合正弦定理可得，
∴，∴，
∵，∴. ·················································5分
（2）∵，即，
∴，解得，当且仅当时取等号，
∴，周长的最小值为6，此时的面积. ··········10分
例6、（2021年南京金陵中学联考）现给出两个条件：①2c－eq \r(3)b＝2acsB，②(2b－ eq \r(,3)c)csA＝ eq \r(,3)acsC，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边， eq \(,________)．
(1)求A；
(2)若a＝ eq \r(,3)－1，求△ABC周长的最大值．
【解析】若选择条件①2c－ eq \r(,3)b＝2acsB．
(1)由余弦定理可得2c－ eq \r(,3)b＝2acsB＝2a· eq \s\d1(\f(a2＋c2－b2,2ac))，整理得c2＋b2－a2＝ eq \r(,3)bc，………2分
可得csA＝ eq \s\d1(\f(b2＋c2－a2,2bc))＝ eq \s\d1(\f(\r(,3)bc,2bc))＝ eq \s\d1(\f(\r(,3),2))．…………………………………………………3分
因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \s\d1(\f(π,6))． …………………………………………………………5分
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccsA，得( eq \r(,3)－1)2＝b2＋c2－2bc· eq \s\d1(\f(\r(,3),2))，………6分
即4－2 eq \r(,3)＝b2＋c2－ eq \r(,3)bc＝(b＋c)2－(2＋ eq \r(,3))bc，亦即(2＋ eq \r(,3))bc＝(b＋c)2－(4－2 eq \r(,3))，
因为bc≤eq \s\d1(\f((b＋c)2,4))，当且仅当b＝c时取等号，
所以(b＋c)2－(4－2 eq \r(,3))≤(2＋ eq \r(,3))×eq \s\d1(\f((b＋c)2,4))，
解得b＋c≤2eq \r(2)，…………………………………………………………8分
当且仅当b＝c＝eq \r(2)时取等号．
所以a＋b＋c≤2eq \r(2)＋eq \r(3)－1，即△ABC周长的最大值为2eq \r(2)＋eq \r(3)－1．…………………………………………………10分
若选择条件②(2b－ eq \r(,3)c)csA＝ eq \r(,3)acsC．
(1)由条件得2bcsA＝ eq \r(,3)acsC＋ eq \r(,3)ccsA，
由正弦定理得2sinBcsA＝ eq \r(,3)(sinAcsC＋sinCcsA)＝ eq \r(,3)sin(A＋C)＝ eq \r(,3)sinB．………2分
因为sinB≠0，所以csA＝ eq \s\d1(\f(\r(,3),2))，…………………………………………………3分
因为A∈(0，π)，所以A＝ eq \s\d1(\f(π,6))．
(2)同上
例7、（2020·全国高三专题练习（文））在中，，，分别为内角，，的对边，且满.
（1）求的大小；
（2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
（1）因为，
又由正弦定理，得
，
即，
所以，
因为，
所以.
（2）方案一：选条件①和②.
由正弦定理，得.
由余弦定理，得
，
解得.
所以的面积.
方案二：选条件①和③.
由余弦定理，得
，
则，所以.
所以，
所以的面积.
题型三、考查三角函数的图像与性质
例8、（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；②向量，；③函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）若且，求的值；
（2）求函数在上的单调递减区间．
【解析】解：方案一：选条件①
由题意可知，，
，，
又函数图象关于原点对称，，
，，，
（1），，；
（2）由，得，
令，得，令，得，
函数在上的单调递减区间为．
方案二：选条件②
，
，
又，，，
（1），，；
（2）由，得，
令，得，令，得，
函数在上的单调递减区间为．
方案三：选条件③

，
又，，，
（1），，；
（2）由，得，
令，得，令，得.
函数在上的单调递减区间为．
二、达标训练
1、（2021年江苏连云港联考）已知有条件①, 条件②;
请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的题目．
在锐角△ABC中，内角 A, B, C 所对的边分别为a, b,c , a=eq \r(7), b+c=5,
且满足 ．
(1) 求角A的大小；
(2) 求△ABC的面积．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【解析】（1）选择条件①,…………………………………1分
法1：由正弦定理得, ………2分
所以,………………………3分
因为, 所以 ………………………………4分
又,…………………5分
所以. ………………………………………………………6分
法2：由余弦定理得，……2分
化简得………………………………………3分
则， ………………………………4分
又,……………………5分
所以. ………………………………………………6分
（1）选择条件②………………………………………1分
法3：因为，所以 ……………2分
因为，所以 …………3分
化简得，解得, ………………………4分
又,………………………5分
所以. ……………………………………………………6分
（2）由余弦定理, ……………………………7分
得，…………………………………………………8分
所以， ……………………………10分
于是的面积．………12分
2、（2021年泰州高三期中）在①a=2,②S=C2 csB， ③C=π3这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.
问题:在∆A BC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c,面积为S，
3bcsA=acsC+ccsA，b=1,____________，求 c的值.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
【解析】 在中，因为，
所以根据正弦定理得 ………2分
所以,因为，所以 ………5分
选择①，由余弦定理得，解得 ………10分
选择②，，所以
所以，即，解得 ………10分
选择③，，因为，
所以由得 ………10分
3、（2020届山东省临沂市高三上期末）在①，，②，，③，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，______，求的面积S.
【解析】
选①
∵，，
∴，，
∴
，
由正弦定理得，
∴.
选②
∵，
∴由正弦定理得.
∵，∴.
又∵，
∴，
∴，
∴.
选③
∵ ，，
∴ 由余弦定理得，即，
解得或（舍去）.
，
∴的面积.
故答案为：选①为；选②为；选③为.
4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角的对边分别为，，， .
求的面积.
【解析】
若选①：
由正弦定理得，
即，
所以，
因为，所以.
又，
，，所以，
所以.
若选②：
由正弦定理得.
因为，所以，，
化简得，
即，因为，所以.
又因为，
所以，即，
所以.
若选③：
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，又因为，
所以，
因为，，所以，
，，所以.
又，
，，所以，
所以.
5、（2020届山东省德州市高三上期末）已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
【解析】
（1）由①得，，
所以，
由②得，，
解得或（舍），所以，
因为，且，所以，所以，矛盾.
所以不能同时满足①，②.
故满足①，③，④或②，③，④；
（2）若满足①，③，④，
因为，所以，即.
解得.
所以的面积.
若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，
所以，所以的面积.
6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.
【解析】
由正弦定理，得.
由，
得.
由，得.
所以.
又（若，则这与矛盾），
所以.
又，得.
由余弦定理及，
得，
即.将代入，解得.
所以.
在横线上填写“”.
解：由及正弦定理，得
.
又，
所以有.
因为，所以.
从而有.又，
所以
由余弦定理及，
得
即.将代入，
解得.
所以.
在横线上填写“”
解：由正弦定理，得.
由，得，
所以
由二倍角公式，得.
由，得，所以.
所以，即.
由余弦定理及，
得.
即.将代入，
解得.
所以.
7、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①;②这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.
在中，角的对边分别为，已知 ，.
(1)求;
(2)如图，为边上一点，，求的面积
【解析】
解:若选择条件①，则答案为:
(1)在中，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，因为，所以.
(2)解法1:设，易知
在中由余弦定理得:，解得.
所以
在中，
所以，所以，
所以
解法2:因为，所以，
因为所以，
所以
因为为锐角，所以
又
所以
所以
若选择条件②，则答案为:
(1)因为，所以，
由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
则，所以.
(2)同选择①