新高考数学专题复习专题14结构不良题型(数列)专题练习(学生版+解析)

这是一份新高考数学专题复习专题14结构不良题型(数列)专题练习(学生版+解析)，共17页。试卷主要包含了题型选讲，数列中的不等式问题等内容，欢迎下载使用。

一、题型选讲
题型一 、数列中的求和问题
例1、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；
（2）设数列满足，n，求数列的前n项和．
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例2、（湖北黄冈地区高三联考）已知函数（k为常数，且）．
（1）在下列条件中选择一个，使数列是等比数列，说明理由；
① 数列是首项为2，公比为2的等比数列；
② 数列是首项为4，公差为2的等差数列；
③ 数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．
（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.
例3、（2021年辽宁锦州联考）在①，②，，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
设等差数列的前项和为，数列为等比数列，_____，．求数列的前项和．
例4、（江苏省扬州2021届高三上学期期初学情调研）在①，，成等差数列，②，，成等比数列，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
已知为数列的前n项和，，(n)，，且 ．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
题型二、数列中的不等式问题
例5、（江苏省南通2021届高三上学期期初学情调研）在①为等比数列，,②为等差数列，,③为等比数列，。这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答。
已知数列满足,数列满足____________,为数列的前项和,是否存在正整数,使得成立?若存在,求出的最小值；若不存在,请说明理由。
例6、（2021年湖北咸阳中学联考）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列的公比前项和为，若 _____，数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和，并证明．
例7、（2021年湖北仙桃中学模拟）在①，②这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．
已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）证明：．
二、达标训练
1、在等差数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若____，求数列的前项和．
在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．
2、在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．
已知等差数列的前项和为，满足： ，．
（1）求的最小值；
（2）设数列的前项和，证明：．
3、从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．
已知数列的前项和为，，_____．若，，成等比数列，求的值．
4、在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知为等差数列的前项和，若____．
（1）求；
（2）记，求数列的前项和．
专题14 结构不良题型（数列）
结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。数列部分主要涉及到数列的求和以及与不等式有关的问题。
一、题型选讲
题型一 、数列中的求和问题
例1、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；
（2）设数列满足，n，求数列的前n项和．
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：（1）选 = 1 \* GB3 ①，
因为S1＋S3＝2S2＋2，
所以S3－S2＝S2－S1＋2，即a3＝a2＋2，
又数列{an}是公比为2的等比数列，
所以4a1＝2a1＋2，解得a1＝1，
因此an＝1×2n－1＝2n－1．
此时任意m，n∈N*，aman＝2m－1·2n－1＝2m＋n－2，
由于m＋n－1∈N*，所以aman是数列{an}的第m＋n－1项，
因此数列{an}满足条件P．
选 = 2 \* GB3 ②，
因为S3＝eq \F(7,3)，即a1＋a2＋a3＝eq \F(7,3)，
又数列{an}是公比为2的等比数列，
所以a1＋2a1＋4a1＝eq \F(7,3)，解得a1＝eq \F(1,3)，
因此an＝eq \F(1,3)×2n－1．
此时a1a2＝eq \F(2,9)＜a1≤an，即a1a2不为数列{an}中的项，
因此数列{an}不满足条件P．
选 = 3 \* GB3 ③，
因为a2a3＝4a4，
又数列{an}是公比为2的等比数列，
所以2a1×4a1＝4×8a1，又a1≠0，故a1＝4，
因此an＝4×2n－1＝2n＋1．
此时任意m，n∈N*，aman＝2m＋1·2n＋1＝2m＋n＋2，
由于m＋n＋1∈N*，所以aman是为数列{an}的第m＋n＋1项，
因此数列{an}满足条件P．
（2）因为数列{an}是公比为2的等比数列，
所以eq \F(an＋1,an)＝2，因此bn＝n×2n－1．
所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2 EQ \s\up4(n－1)，
则2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2 EQ \s\up4(n－1)＋n×2 EQ \s\up4(n)，
两式相减得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2 EQ \s\up4(n－1)－n×2 EQ \s\up4(n)
＝ EQ \F(1－2n,1－2)－n×2 EQ \s\up4(n)
＝(1－n)2 EQ \s\up4(n)－1，
所以Tn＝(n－1)2 EQ \s\up4(n)＋1．
例2、（湖北黄冈地区高三联考）已知函数（k为常数，且）．
（1）在下列条件中选择一个，使数列是等比数列，说明理由；
① 数列是首项为2，公比为2的等比数列；
② 数列是首项为4，公差为2的等差数列；
③ 数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．
（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.
【解析】（1）①③不能使成等比数列.②可以：
由题意， ………1分
即，得，且，. ………3分
常数且，为非零常数，
数列是以为首项，为公比的等比数列． ………4分
（2）由（1）知，所以当时，. ………5分
因为，
所以，所以， ………7分
. ……10分
例3、（2021年辽宁锦州联考）在①，②，，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
设等差数列的前项和为，数列为等比数列，_____，．求数列的前项和．
解：选①：
当时，，当时，，又满足，所以．设的公比为，又因为，得，，所以；
由数列的前项和为，又可知，
数列的前项和为，
故．
选②：
设公差为，由解得
所以．设的公比为，又因为，得，，所以．
由数列的前项和为，又可知，数列的前项和为，故．
选③：
由，，所以，所以．
设的公比为，
又因为，得．
由数列的前项和为，又可知，
数列的前项和为，
故．
例4、（江苏省扬州2021届高三上学期期初学情调研）在①，，成等差数列，②，，成等比数列，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
已知为数列的前n项和，，(n)，，且 ．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
题型二、数列中的不等式问题
例5、（江苏省南通2021届高三上学期期初学情调研）在①为等比数列，,②为等差数列，,③为等比数列，。这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答。
已知数列满足,数列满足____________,为数列的前项和,是否存在正整数,使得成立?若存在,求出的最小值；若不存在,请说明理由。
解：由可得,,
两式相减可得,, 所以,
当时,由可得,,满足, 所以,
若选①可得,所以,此时,
可得, ,可得,
所以存在最小值为.
若选②,可得，所以，此时
可得，，所以存在最小值为10
若选③,可得，所以，此时
所以
那么
两式相减得，所以不存在整数k
例6、（2021年湖北咸阳中学联考）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列的公比前项和为，若 _____，数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和，并证明．
解：（1）若选择①，可得，
化为，解得舍去），又因为，，解得，所以，；
选择②，可得，解得，又，解得，
可得，又因为，，解得，所以，；
选择③，可得，即，解得，
又因为，，解得，所以，；
（2）证明：，
，
由，可得．
例7、（2021年湖北仙桃中学模拟）在①，②这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．
已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）证明：．
解：选择①②：
（1）解：由当时，有，两式相减得：，即，．又当时，有，又，，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；设正项等差数列的公差为，，且，，成等比数列，，
即，解得：或（舍，，故，．
（2）证明：由（1）可得，．
选择：②③：
（1）解：由当时，，两式相减得：，即，．又当时，有，又，，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；设正项等差数列的公差为，，且，，成等比数列，，
即，解得：或（舍，，故，．
（2）证明：由（1）可得，．
二、达标训练
1、在等差数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若____，求数列的前项和．
在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．
解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则
，解得，
，．
（2）方案一：选条件①
由（1）知，，
．
方案二：选条件②
由（1）知，，
，
当为偶数时，
，
，
当为奇数时，为偶数，
，
，
；
方案三：选条件③
由（1）知，，
，
，
两式相减，可得
．
．
2、在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．
已知等差数列的前项和为，满足： ，．
（1）求的最小值；
（2）设数列的前项和，证明：．
解：（1）①若选择②③；
由题知：，
又因为，所以．
所以，解得．
所以．
所以，
所以
②若选择①②；
由题知：，
又因为，
所以．
所以，．
所以．
所以，
所以
③若选择①③；
由题知：，所以
由题知：，所以
所以，．
所以．
所以，
所以．
证明（2）因为，
所以
所以．
3、从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．
已知数列的前项和为，，_____．若，，成等比数列，求的值．
解：选择①，，相减可得：，，
，可得：．
．
，，成等比数列，
，，，解得．
选择②，变形得：，，化为：，
数列是等差数列，首项为1，公差为1．，解得．
时，．
，，成等比数列，
，，，解得．
选择③，，，相减可得：，化为：，
可得：，
数列是首项与公差都为1的等差数列，
．
，
，，成等比数列，
，，，解得．
4、在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知为等差数列的前项和，若____．
（1）求；
（2）记，求数列的前项和．
解：（1）选择条件①：设等差数列的公差为，
则解得
，；
选择条件②：，
当时，
即，
当时，，也适合上式，
，；
选择条件③：设等差数列的公差为，
则，
解得，，或，，不合题意，舍去，
，；
（2）由（1）可知，，
．