新高考数学专题复习专题24三角函数中的化简求值专题练习(学生版+解析)

这是一份新高考数学专题复习专题24三角函数中的化简求值专题练习(学生版+解析)，共11页。试卷主要包含了题型选讲，运用构造法化简与求值，达标训练等内容，欢迎下载使用。

题型一 灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值
通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。 在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则
A．B．
C．D．
变式1、【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 ▲ .
变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=
A．–2B．–1
C．1D．2
变式3、（2018年江苏高考题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
变式4、、(2019通州、海门、启东期末）设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，已知向量a＝(eq \r(6)sinα，eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，csα－\f(\r(6),2)))，且a⊥b.
(1) 求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值；
(2) 求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(7π,12)))的值．
题型二 探究角度之间的关系
在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。
应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
例2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若，则（ ）．
A．B．C．D．
变式1、【2020届广东省汕头市金山中学高三下学期第三次模拟】若sinπ6−α=13，则cs2π3+2α=______．
变式2、求值：．
变式3、(2017苏锡常镇调研）已知sinα＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝________.
题型三、运用构造法化简与求值
通过构造方程或者转化为关于的一元二次函数来解决。
例3、(2019扬州期末）设a，b是非零实数，且满足eq \f(asin\f(π,7)＋bcs\f(π,7),acs\f(π,7)－bsin\f(π,7))＝taneq \f(10π,21)，则eq \f(b,a)＝________．
变式、求函数的值域
二、达标训练
1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cs2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
2、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3、【2020年高考江苏】已知=，则的值是 ▲ ．
4、（2020届百校联盟高三复习全程精练）已知sinα−π3=223，则sin2α−π6=________．
5、（2020届全国100所名校高考模拟金典卷）若sinπ6−α=33，则sinπ6+2α=_________．
6、(2019镇江期末）若2cs2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则sin2α＝________．
7、(2019无锡期末）已知θ是第四象限角，且 csθ＝eq \f(4,5)，那么eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－6π)))的值为________．
8、(2016镇江期末） 由sin 36°＝cs 54°，可求得cs 2 016°的值为________．
专题24 三角函数中的化简求值
一、题型选讲
题型一 灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值
通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。 在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A．
变式1、【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 ▲ .
【答案】
【解析】由，得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=
A．–2B．–1
C．1D．2
【答案】D
【解析】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D．
变式3、（2018年江苏高考题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
变式4、、(2019通州、海门、启东期末）设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，已知向量a＝(eq \r(6)sinα，eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，csα－\f(\r(6),2)))，且a⊥b.
(1) 求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值；
(2) 求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(7π,12)))的值．
解析：(1) 因为a＝(eq \r(6)sina，eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，csα－\f(\r(6),2)))，且a⊥b.
所以eq \r(6)sina＋eq \r(2)csα＝eq \r(3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(6),4).2分
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，所以α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，(4分)
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(10),4)，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))))＝eq \f(\r(6),4)
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(15),5).(6分)
(2) 由(1)得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),4)))eq \s\up12(2)－1＝eq \f(1,4).(8分)
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，所以2α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(15),4).(10分)
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(7π,12)))＝cs]
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))cseq \f(π,4)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(π,3)))sineq \f(π,4)(12分)
＝eq \f(\r(2)－\r(30),8).(14分)
题型二 探究角度之间的关系
在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。
应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
例2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
．
故选．
变式1、【2020届广东省汕头市金山中学高三下学期第三次模拟】若sinπ6−α=13，则cs2π3+2α=______．
【答案】−79
【解析】已知sinπ6−α=13，且π6−α+π3+α=π2，则csπ3+α=sinπ6−α=13，
故cs2π3+2α=2cs2π3+α−1=−79．
变式2、求值：．
【答案】
【解析】 因为
．
变式3、(2017苏锡常镇调研）已知sinα＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝________.
【答案】：2eq \r(3)－4
解法1 由题意可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)－\f(π,12)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)＋\f(π,12)))，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))cseq \f(π,12)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))·sineq \f(π,12)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))cseq \f(π,12)＋3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))sineq \f(π,12)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－2taneq \f(π,12)＝－2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,4)))＝－eq \f(2\r(3)－2,1＋\r(3))＝2eq \r(3)－4.
解法2 taneq \f(π,12)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,4)))＝eq \f(\r(3)－1,1＋\r(3))＝2－eq \r(3).因为sinα＝3sinαcseq \f(π,6)＋3csαsineq \f(π,6)，即sinα＝eq \f(3\r(3),2)sinα＋eq \f(3,2)csα，即tanα＝eq \f(3,2－3\r(3))，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(tanα＋tan\f(π,12),1－tanαtan\f(π,12))＝eq \f(\f(3,2－3\r(3))＋2－\r(3),1－\f(3,2－3\r(3))×2－\r(3))＝eq \f(16－8\r(3),－4)＝2eq \r(3)－4.
题型三、运用构造法化简与求值
通过构造方程或者转化为关于的一元二次函数来解决。
例3、(2019扬州期末）设a，b是非零实数，且满足eq \f(asin\f(π,7)＋bcs\f(π,7),acs\f(π,7)－bsin\f(π,7))＝taneq \f(10π,21)，则eq \f(b,a)＝________．
【答案】、 eq \r(3)
【解析】解法1(方程法) 因为a，b是非零实数，由eq \f(asin\f(π,7)＋bcs\f(π,7),acs\f(π,7)－bsin\f(π,7))＝taneq \f(10π,21)，得eq \f(tan\f(π,7)＋\f(b,a),1－\f(b,a)tan\f(π,7))＝taneq \f(10π,21)，解得eq \f(b,a)＝eq \f(tan\f(10π,21)－tan\f(π,7),1＋tan\f(10π,21)·tan\f(π,7))，即eq \f(b,a)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,21)－\f(π,7)))＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3).
解法2(系数比较法) taneq \f(10π,21)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,7)＋\f(π,3)))＝eq \f(tan\f(π,7)＋\r(3),1－\r(3)tan\f(π,7))＝eq \f(sin\f(π,7)＋\r(3)cs\f(π,7),cs\f(π,7)－\r(3)sin\f(π,7))，taneq \f(10π,21)＝eq \f(sin\f(π,7)＋\f(b,a)cs\f(π,7),cs\f(π,7)－\f(b,a)sin\f(π,7))＝eq \f(sin\f(π,7)＋\r(3)cs\f(π,7),cs\f(π,7)－\r(3)sin\f(π,7))，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3).
变式、求函数的值域
【答案】、
【解析】=
=-2
所以函数的值域为：
二、达标训练
1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cs2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，又，，又，，故选B．
2、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
，

.
故选：A
3、【2020年高考江苏】已知=，则的值是 ▲ ．
【答案】
【解析】
故答案为：
4、（2020届百校联盟高三复习全程精练）已知sinα−π3=223，则sin2α−π6=________．
【答案】−79
【解析】sin2α−π6=sin2α−π3+π2=cs2α−π3=1−2sin2α−π3=−79
5、（2020届全国100所名校高考模拟金典卷）若sinπ6−α=33，则sinπ6+2α=_________．
【答案】13
【解析】sinπ6+2α=csπ2−π6+2α=csπ3−2α=1−2sin2π6−α=1−2×332=13．
故答案为：13.
6、(2019镇江期末）若2cs2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则sin2α＝________．
【答案】、 －eq \f(7,8)
【解析】、解法1 设eq \f(π,4)－α＝βeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)π，－\f(π,4)))))，则α＝eq \f(π,4)－β.由2cs2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，得2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2β))＝2sin2β＝4sinβcsβ＝sinβ，而sinβ≠0，故csβ＝eq \f(1,4).所以sin2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2β))＝cs2β＝2cs2β－1＝－eq \f(7,8).
解法2 由2cs2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))得2(csα＋sinα)(csα－sinα)＝eq \f(\r(2),2)(csα－sinα)．又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则csα－sinα≠0，故csα＋sinα＝eq \f(\r(2),2).两边平方得sin2α＝－eq \f(7,8).
7、(2019无锡期末）已知θ是第四象限角，且 csθ＝eq \f(4,5)，那么eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－6π)))的值为________．
【答案】eq \f(5\r(2),14)
【解析】、因为θ是第四象限角，所以sinθ<0，
则sinθ＝－eq \r(1－cs2θ)＝－eq \f(3,5)，
所以eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),cs（2θ－6π）)＝eq \f(sinθcs\f(π,4)＋csθsin\f(π,4),cs2θ)＝eq \f(\f(\r(2),2)（sinθ＋csθ）,cs2－sin2θ)＝eq \f(\f(\r(2),2)（sinθ＋csθ）,（csθ＋sinθ）（csθ－sinθ）)＝eq \f(\f(\r(2),2),\f(4,5)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))))＝eq \f(5\r(2),14).
8、(2016镇江期末） 由sin 36°＝cs 54°，可求得cs 2 016°的值为________．
【答案】、－eq \f(\r(5)＋1,4)
【解析】、由sin36°＝cs54°得sin36°＝2sin18°cs18°＝cs(36°＋18°)＝cs36°cs18°－sin36°sin18°＝(1－2sin218°)·cs18°－2sin218°cs18°＝cs18°－4sin218°cs18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，解得sin18°＝eq \f(－2＋\r(22＋16),2×4)＝eq \f(\r(5)－1,4)，cs2016°＝cs(6×360°－144°)＝cs144°＝－cs36°＝2sin218°－1＝－eq \f(\r(5)＋1,4).
解后反思 本题主要将2016°转化利用36°进而利用18°的三角函数值求解，化繁为简