新高考数学专题复习专题29函数的极值点问题的探究专题练习(学生版+解析)

这是一份新高考数学专题复习专题29函数的极值点问题的探究专题练习(学生版+解析)，共13页。试卷主要包含了题型选讲，极值的个数的证明与判断，由极值点求参数的范围等内容，欢迎下载使用。

题型一 、函数极值的求解
例1、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数的极大值是，极小值是，则( )
A．与有关，且与有关B．与有关，且与无关
C．与无关，且与无关D．与无关，且与有关
变式1、【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
变式2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数.
(1)求证:当时,对任意恒成立;
(2)求函数的极值;
题型二、极值的个数的证明与判断
例1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；
变式、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数的定义域为，则（ ）
A．为奇函数
B．在上单调递增
C．恰有4个极大值点
D．有且仅有4个极值点
题型三、由极值点求参数的范围
例3、【2018年高考北京理数】设函数=[]．若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
变式1、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数．若是的极大值点，求．
二、达标训练
1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为（ ）
A．B．C．D．1
3、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数，.若函数有唯一的极小值点，求实数的取值范围；
5、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数且a≠0）．若函数f（x）的极小值为，试求a的值．
专题29 函数的极值点问题的探究
一、题型选讲
题型一 、函数极值的求解
例1、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数的极大值是，极小值是，则( )
A．与有关，且与有关B．与有关，且与无关
C．与无关，且与无关D．与无关，且与有关
【答案】C
【解析】∵，
∴，
令，得，或，
当变化时，、的变化如下表：
∴，
，
∴，
故选：C．
变式1、【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
【解析】（1）因为，所以．
因为，所以，
解得．
（2）因为，
所以，
从而．令，得或．
因为都在集合中，且，
所以．
此时，．
令，得或．列表如下：
所以的极小值为．
变式2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知函数.
(1)求证:当时,对任意恒成立;
(2)求函数的极值;
【解析】 (1)
,,
在上为增函数,
所以当时,恒有成立;
(2)由
当在上为增函数,无极值
当
在上为减函数,在上为增函数,
有极小值,无极大值,
综上知:当无极值,
当有极小值,无极大值.
题型二、极值的个数的证明与判断
例1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；
【解析】（1）设，则，.
当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，
设为.
则当时，；当时，.
所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.
变式、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数的定义域为，则（ ）
A．为奇函数
B．在上单调递增
C．恰有4个极大值点
D．有且仅有4个极值点
【答案】BD
【解析】因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，
，
当时，，则在上单调递增.
显然，令，得，
分别作出，在区间上的图象，
由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点.
故选：BD.
题型三、由极值点求参数的范围
例3、【2018年高考北京理数】设函数=[]．若在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
【解析】由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；
当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．
所以f (x)在x=2处取得极小值．
若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，
所以f ′(x)>0．
所以2不是f (x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是（，+∞）．
变式1、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数．若是的极大值点，求．
【解析】（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.
（ii）若，设函数.
由于当时，，故与符号相同.
又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.
.
如果，则当，且时，，故不是的极大值点.
如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.
如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点
综上，.
二、达标训练
1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点.所以，解得.
故选：D.
2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】f′（x）＝x2+2mx+1，若函数f（x）有极值点，则f′（x）有2个不相等的实数根，
故△＝4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，
而a＝lg0.55＜﹣2，0＜b＝lg32＜1、c＝20.3＞1，0＜d＝（）2＜1，
满足条件的有2个，分别是a，c，故满足条件的概率p，
故选：B．
3、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】函数,,
∵是函数的极值点，∴，即，,
,,即A选项正确,B选项不正确;
,即C正确,D不正确.
故答案为:AC.
4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数，.若函数有唯一的极小值点，求实数的取值范围；
【解析】，，
，，
设，
当时，，在时，，即，所以单调递减，
在时，，，所以单调递增，所以函数有唯一的极小值
点成立；
当时，令，得，，
在时，，即，所以单调递减，
在时，，，所以单调递增，
所以函数有唯一的极小值点成立；
当时，令，得，，当时不合题意，
则，且，即且，
设，，
在时，，即，所以单调递减，
在时，，，所以单调递增，
在时，，即，所以单调递减，
所以函数有唯一的极小值点成立；
综上所述，的取值范围为且.
5、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数且a≠0）．若函数f（x）的极小值为，试求a的值．
【解析】①当a＜-1时，x变化时变化情况如下表：
此时，解得，故不成立．
②当a=-1时，≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递减．
此时f（x）无极小值，故不成立．
③当-1＜a＜0时，x变化时变化情况如下表：
此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，
解得或．
因为-1＜a＜0，所以．
④当a＞0时，x变化时变化情况如下表：
此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，
解得或，故不成立．
综上所述．递增
极大值
递减
极小值
递增
1
+
0
–
0
+
极大值
极小值
x
1
（1，+∞）
-
0
+
0
-
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
x
（0，1）
1
-
0
+
0
-
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
x
（0，1）
1
（1，+∞）
-
0
+
f（x）
↘
极小值
↗