新高考数学专题复习专题31运用构造法研究函数的性质专题练习(学生版+解析)

这是一份新高考数学专题复习专题31运用构造法研究函数的性质专题练习(学生版+解析)，共13页。试卷主要包含了题型选讲，构造函数研究函数的零点等问题，构造函数证明不等式等内容，欢迎下载使用。

题型一 、构造函数研究函数的单调性
例1、【2020年高考全国I卷理数】若，则
A．B．
C．D．
变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
题型二、构造函数研究函数的零点等问题
例2、【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
变式1、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（ ）
A．2B．C．0D．1
变式2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞）
C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
题型三、构造函数证明不等式
例3、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝eq \f(a,x)＋lnx(a∈R)．
设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2.证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.
例5、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)． 若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2＜e2k.
二、达标训练
1、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则
A．ln(y−x+1)>0B．ln(y−x+1)<0
C．ln|x−y|>0D．ln|x−y|<0
2、【2020年高考浙江】已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则
A．a<0B．a>0
C．b<0D．b>0
3、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
5、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是( )
A．B．
C．D．
6、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数，若函数有9个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
专题31 运用构造法研究函数的性质
一、题型选讲
题型一 、构造函数研究函数的单调性
例1、【2020年高考全国I卷理数】若，则
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B．
变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意设，则，又当时，，则有，所以在上单调递减，又在上是偶函数，所以，所以是偶函数，所以，又为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得
或，即不等式的解集为，
故选：B.
变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，设，则，
则有，，即有，
故函数的图象关于对称，
则有，
当时，，，
又由当时，，即当时，，
即函数在区间为增函数，
由可得，即，
，
函数的图象关于对称，
函数在区间为增函数，
由可得，即，此时不存在，
故选：．
题型二、构造函数研究函数的零点等问题
例2、【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D．

变式1、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（ ）
A．2B．C．0D．1
【答案】ABC
【解析】∵只有一个零点，
∴函数与函数有一个交点，
作函数函数与函数的图象如下，

结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；
当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.
综合得：或.
故选：ABC.
变式2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞）
C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】画出函数的图象，在y轴右侧的图象去掉，再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，
此时满足，即.
故选C．
题型三、构造函数证明不等式
例3、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝eq \f(a,x)＋lnx(a∈R)．
设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2.证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2.
【解析】 设p＝x1f′(x1)＋x2f′(x2)＝1－eq \f(a,x1)＋1－eq \f(a,x2)＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x1)＋\f(a,x2))).
又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lnx1＋\f(a,x1)＝0，
lnx2＋\f(a,x2)＝0，))则p＝2＋ln(x1x2)．
下面证明x1x2>a2.
不妨设x1要证x1x2>a2，即证x1>eq \f(a2,x2).
因为x1，eq \f(a2,x2)∈(0，a)，f(x)在(0，a)上为减函数，
所以只要证feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x2)))>f(x1)．
又f(x1)＝f(x2)＝0，即证feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x2)))>f(x2)．(14分)
设函数F(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x)))－f(x)＝eq \f(x,a)－eq \f(a,x)－2lnx＋2lna(x>a)．
所以F′(x)＝eq \f(（x－a）2,ax2)>0，所以F(x)在(a，＋∞)为增函数．
所以F(x2)>F(a)＝0，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x2)))>f(x2)成立．
从而x1x2>a2成立．
所以p＝2＋ln(x1x2)>2lna＋2，即x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2lna＋2成立．(16分)
例5、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)． 若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2＜e2k.
【解析】 因为f′(x)＝lnx－k，所以f(x)在(0，ek]上单调递减，在[ek，＋∞)上单调递增．
不妨设0＜x1＜ek＜x2.要证x1x2＜e2k，只要证x2＜eq \f(e2k,x1).
因为f(x)在[ek，＋∞)上单调递增，所以只要证f(x1)＝f(x2)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e2k,x1)))，即要证(lnx1－k－1)x1＜(k－lnx1－1)eq \f(e2k,x1)
令t＝2(k－lnx1)＞0，只要证(t－2)et＋t＋2＞0.
设H(t)＝(t－2)et＋t＋2，则只要证H(t)＞0对t＞0恒成立．H′(t)＝(t－1)et＋1，H″(t)＝tet＞0对t＞0恒成立．
所以H′(t)在(0，＋∞)上单调递增，H′(t)＞H′(0)＝0.
所以H(t)在(0，＋∞)上单调递增，H(t)＞H(0)＝0.
综上所述，x1x2＜e2k.
二、达标训练
1、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则
A．ln(y−x+1)>0B．ln(y−x+1)<0
C．ln|x−y|>0D．ln|x−y|<0
【答案】A
【解析】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A．
2、【2020年高考浙江】已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则
A．a<0B．a>0
C．b<0D．b>0
【答案】C
【解析】因为，所以且，设，则零点
为
当时，则，，要使，必有，且，
即，且，所以；
当时，则，，要使，必有.
综上一定有.
故选：C
3、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令,画出与的图象,
平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故
故选：A
4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】令函数，因为，
，为奇函数，
当时，，在上单调递减，在上单调递减．
存在，得，，即，
；，为函数的一个零点；
当时，，函数在时单调递减，
由选项知，取，又，
要使在时有一个零点，只需使，
解得，的取值范围为，
故选：．
5、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】令，，则，
因为，
所以在上恒成立，
因此函数在上单调递减，
因此，即，即，故A错；
又，所以，所以在上恒成立，
因为，所以，故B错；
又，所以，即，故C正确；
又，所以，即，故D正确；
故选：CD.
6、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数，若函数有9个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，函数有9个零点，可转化为与有9个
不同交点.因当有，所以在上是周期函数，又当
时，有，，所以在上的图象如图所示
要使与有9个不同交点，则只需夹在与之间即可，
所以，解得或.
故选：A.