新高考数学之圆锥曲线综合讲义第13讲切点弦问题(原卷版+解析)

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1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，M是椭圆上的动点，的最大面积为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：过椭圆上的一点的切线方程为：；
（3）设点P是直线上的一个动点，过P做椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由．
2．已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x＝－1.
(1)若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点O的距离相等，求Q点的坐标；
(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点.
3．已知抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为.
（1）求p的值.
（2）过点（）作曲线C的切线，切点分别为P，Q.求证：直线过定点.
4．已知圆O：上的点到直线的最小距离为1，设P为直线上的点，过P点作圆O的两条切线PA、PB， 其中A、B为切点.
（1）求圆O的方程；
（2）当点P为直线上的定点时，求直线AB的方程.
5．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．
6．已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，D为直线上的动点，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明直线过定点
7．过直线上的动点作抛物线的两切线，，，为切点.
（1）若切线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（2）求证：直线过定点.
8．已知圆，直线．
（1）若直线与圆交于不同的两点，当时，求的值；
（2）若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点？若过定点，求出定点．
9．已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若， 是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.
10．已知抛物线，直线，设为直线上的动点，过作抛物线的两条切线，切点分别为.
（1）当点在轴上时，求线段的长；
（2）求证：直线恒过定点.
11．已知抛物线，设为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为、.
（1）证明：动直线恒过定点；
（2）设与（1）中的定点的连线交抛物线与、两点，证明.
第13讲 切点弦问题
一、解答题
1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，M是椭圆上的动点，的最大面积为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：过椭圆上的一点的切线方程为：；
（3）设点P是直线上的一个动点，过P做椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）直线AB过定点.
【分析】
（1）当M是椭圆的短轴端点时，的面积最大，得到，再结合离心率及，可求得椭圆方程；
（2）联立，得(*) ，又点在椭圆上得，即可将方程变形为，即直线和椭圆仅有一个公共点，可证得为椭圆的公切线.
（3）设，切点，，由切线方程可知，，又P在切线上，，，可知直线AB的方程为：，可得直线AB过定点
【详解】
（1）M是椭圆上的动点 ，
，即时，
，即，又，，，
椭圆Γ的方程为
（2）证明：联立，得(*)
点在椭圆上，
，即
， 得，故直线和椭圆仅有一个公共点，
为椭圆的公切线
（3）设，切点，，由（2）的结论可知，
切线的方程分别为 ，
在切线上，，
都满足，即直线AB的方程为：
直线AB过定点.
【点睛】
思路点睛：本题考查椭圆的简单性质，椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中定点问题的两种解法：
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
2．已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x＝－1.
(1)若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点O的距离相等，求Q点的坐标；
(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）设Q(x，y)，则(x＋1)2＝x2＋y2，又y2＝4x，解得Q；（2）设点(－1，t)的直线方程为y－t＝k(x＋1)，联立y2＝4x，则Δ＝0，得k2＋kt－1＝0，则切点分别为A，B，所以A，B，F三点共线，AB过点F(1，0)。
试题解析：
(1)设Q(x，y)，则(x＋1)2＝x2＋y2，即y2＝2x＋1，
由解得Q.
(2)设过点(－1，t)的直线方程为y－t＝k(x＋1)(k≠0)，代入y2＝4x，得ky2－4y＋4t＋4k＝0，
由Δ＝0，得k2＋kt－1＝0，
特别地，当t＝0时，k＝±1，切点为A(1，2)，B(1，－2)，显然AB过定点F(1，0).
一般地方程k2＋kt－1＝0有两个根，
∴k1＋k2＝－t，k1k2＝－1，
∴两切点分别为A，B，
∴＝，＝，
又－＝2＝0，
∴与共线，又与有共同的起点F，
∴A，B，F三点共线，∴AB过点F(1，0)，
综上，直线AB过定点F(1，0).
点睛：切点弦问题，本题中通过点P设切线，求得斜率k，再求出切点A，B，通过证明与共线，AB过点F(1，0)。一般的，我们还可以通过设切点，写出切线方程，直接由交点P，结合两点确定一条直线，写出切点弦直线方程，进而得到定点。
3．已知抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为.
（1）求p的值.
（2）过点（）作曲线C的切线，切点分别为P，Q.求证：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据抛物线的定义列方程可得结果；
（2）设过N的直线：，代入得，．根据判别式等于0，得，代入可得，设，的斜率分别为，，则．，，根据点斜式可得直线的方程，结合，可得结论.
【详解】
（1）曲线C上点M到焦点的距离等于它到准线的距离．
∴，∴，∴．
（2）依题意，过点N的抛物线切线的斜率存在，
故可设过N的直线：，代入得，．
因为直线与曲线C相切，则得，即．
所以，代入并化简得，解得，
设，的斜率分别为，，则．
所以，，
当时，直线的方程：．
即：．
．
即：．
．
．
．
∴直线过定点．
当时，即，
则所在的直线为.过点
综上可得，直线过定点.
【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线与抛物线相切的问题，考查了直线方程的点斜式，考查了直线过定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题.
4．已知圆O：上的点到直线的最小距离为1，设P为直线上的点，过P点作圆O的两条切线PA、PB， 其中A、B为切点.
（1）求圆O的方程；
（2）当点P为直线上的定点时，求直线AB的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）圆上的点到直线的最小距离是圆心到直线的距离减去圆的半径，这样就求得了半径的值；
（2）先设出两个切点坐标，有四个坐标变量来表示两条切线方程，两条切线都过点，整理出关系式，再表示出直线AB的方程，消去变量整理就得到了.
试题解析：（1）圆心到直线的距离
（2）设
，
由于，有
那么直线AB：，即
考点：直线方程与圆的方程.
5．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得的方程；
（2）设，，，利用导数得出切线的方程，由在切线上，从而可得直线的方程，由直线方程可得定点坐标．
【详解】
（1）设，则，，
，，
所以，可以化为，
化简得．
所以，的方程为．
（2）由题设可设，，，
由题意知切线，的斜率都存在，
由，得，则，
所以，
直线的方程为，即，①
因为在上，所以，即，②
将②代入①得，
所以直线的方程为
同理可得直线的方程为．
因为在直线上，所以，
又在直线上，所以，
所以直线的方程为，
故直线过定点．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由在切线上，根据直线方程的意义得出直线方程，然后得定点坐标．
6．已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，D为直线上的动点，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明直线过定点
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由双曲线，求得，根据题意，得到，进而求得抛物线的方程；
（2）设切线方程为，联立方程组，结合（1）和根与系数的关系，求得，得到设，，进而得到直线的方程，即可求解．
【详解】
（1）由题意，双曲线，可得焦点，
因为抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，
可得，解得，所以抛物线的方程为.
（2）设，切线方程为，
联立方程组，整理得……（1）
由，可得，
设两条切线的斜率分别为，，则，，
由（1）知等根为，
设，，则，
所以直线的方程为：，
化简得，
即，所以直线过定点．
【点睛】
本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
7．过直线上的动点作抛物线的两切线，，，为切点.
（1）若切线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（2）求证：直线过定点.
【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析
【分析】
（1）设切线的直线方程为，联立方程组，根据，结果根与系数的关系，即可求解；
（2）设切点坐标，，取得中点中点坐标为，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】
（1）设过与抛物线相切的直线方程为，
联立方程组，整理得，
因直线与抛物线相切，所以，即，
可得为定值.
（2）设切点坐标为，即，，
可得的中点坐标为，且斜率为，
所以的方程为，即，
由（1）知，所以直线的方程为，
可得直线过定点.
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，以及直线过定点问题的求解，其中解答中联立方程组，合理应用一元二次方程性质，以及直线方程的形式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
8．已知圆，直线．
（1）若直线与圆交于不同的两点，当时，求的值；
（2）若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点？若过定点，求出定点．
【答案】（1）；（2）过定点.
【分析】
（1）根据可确定点到的距离；利用点到直线距离公式表示出点到的距离，由此构造方程求得的值；
（2）由四点共圆可确定为圆与四点所共圆的公共弦；设，求得圆的方程后，两圆方程作差可求得方程，根据直线过定点的求法可确定所求定点.
【详解】
（1）由圆的方程知：圆心，半径，
直线与圆交于不同的两点，若，则点到的距离，
又直线方程为，则有，解得：；
（2）由题意可知：，
四点共圆且在以为直径的圆上，
设，以为直径的圆的方程为：，
即，
又在圆上，即为两个圆的公共弦所在的直线，
则的方程为：，即，
令，解得：，
直线过定点.
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线与圆问题中的定点问题的求解，解题关键是确定直线为两圆公共弦所在直线，通过两圆方程作差即可求得公共弦所在直线方程.
9．已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若， 是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.
【答案】（1）；（2）直线是过定点
【分析】
（1）设点的坐标为，根据代入数据化简得到答案.
（2）判断都在以为直径的圆上，圆方程为，联立得到，解得直线方程为得到答案.
【详解】
（1）设点的坐标为，由可得，，
整理可得，
所以曲线的轨迹方程为.
（2）依题意，，则都在以为直径的圆上
是直线上的动点，设
则圆的圆心为，且经过坐标原点
即圆的方程为
又因为在曲线上
由，可得
即直线的方程为
由且可得，解得
所以直线是过定点.·
【点睛】
本题考查了轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和转化思想.
10．已知抛物线，直线，设为直线上的动点，过作抛物线的两条切线，切点分别为.
（1）当点在轴上时，求线段的长；
（2）求证：直线恒过定点.
【答案】（1）4（2）直线过定点(1，2)．
【解析】
分析：（1）设切点坐标，求导，利用导数的几何意义分别写出过两点的切线方程，再利用点是两切线交点进行求解；（2）由（1）写出直线的斜率，联立直线和抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到，再利用直线的点斜式方程进行证明．
详解：（1）设，，
的导数为，
以为切点的切线方程为，即，
同理以为切点的切线方程为，
∵在切线方程上，
∴，，
∴，轴，
∴
（2）证明：设，
由（1）得∴，
由已知直线的斜率必存在，设的方程为，
由得，
∴，，
∴，
由在直线上可得，
则方程为，即，
∴直线过定点(1,2)．
点睛：本题考查导数的几何意义、直线和抛物线的位置关系、直线恒过定点等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．
11．已知抛物线，设为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为、.
（1）证明：动直线恒过定点；
（2）设与（1）中的定点的连线交抛物线与、两点，证明.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设点、、，利用导数求出直线、的方程，将点的坐标代入两切线方程，观察等式的结构，可求得直线的方程，进而可求得点所过定点的坐标；
（2）分析出，设点、，写出直线的方程，与抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析出证明等价于证明，代入韦达定理计算即可.
【详解】
（1）设点、、，
对函数求导得，所以，直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
将点的坐标代入直线、的方程得，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
由，解得，因此，直线恒过定点；
（2）设点、，
若，则轴，此时直线与抛物线只有一个交点.
所以，，直线的斜率为，则直线的方程为，即.
联立，消去可得，
则，
由韦达定理可得，，
要证，即证，即证，
事实上，.
因此，.
【点睛】
方法点睛：求切点弦所在直线方程方法如下：
写出曲线在切点处的切线方程，将两切点的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程.