高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式专题练习（学生版+解析）

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式专题练习（学生版+解析），共24页。试卷主要包含了已知函数，已知函数，且的解集为，设函数.等内容，欢迎下载使用。

1．（浙江高考真题）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）
A．a>0，4a＋b＝0B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0D．a<0，2a＋b＝0
2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数，则错误的是（ ）
A．的图象关于轴对称B．方程的解的个数为2
C．在上单调递增D．的最小值为
3．（2021·北京高三其他模拟）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2021·全国高三月考）已知函数，则“”是“方程有两个不同实数解且方程恰有两个不同实数解”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．（2021·全国高三专题练习）若当x∈(1，2)时，函数y=(x-1)2的图象始终在函数y=lgax的图象的下方，则实数a的取值范围是___________.
6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________.
7.（2021·全国高三专题练习）已知当时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是________．
8．（2021·浙江高一期末）已知函数，若任意、且，都有，则实数a的取值范围是___________．
9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数，若，且，则的最大值为________．
10．（2021·浙江高一期末）已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ），恒成立，求实数的取值范围．
练提升TIDHNEG
1．（2020·山东省高三二模）已知函数，若恒成立，则实数m的范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·浙江高三二模）已知，对任意的，．方程在上有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.（2020·浙江省高三二模）已知函数的图象经过三个象限，则实数a的取值范围是________.
4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是_________.
5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数，若时，，则的最大值是___________.
6.（2021·浙江高三期末）已知函数，若对于任意，均有，则的最大值是___________.
7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数，且的解集为．
（1）求的解析式；
（2）设，在定义域范围内若对于任意的，使得恒成立，求M的最小值．
8．（2021·浙江高一期末）设函数．
（1）若在区间上的最大值为，求的取值范围；
（2）若在区间上有零点，求的最小值．
9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f（x）=9x﹣a3x+1+a2（x∈[0，1]，a∈R），记f（x）的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求g（a）解析式；
（Ⅱ）若对于任意t∈[﹣2，2]，任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立，求实数m的范围．
10．（2021·全国高一课时练习）已知函数，在区间上有最大值16，最小值.设．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
练真题TIDHNEG
1．（浙江省高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值（ ）
A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关
2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=x−4,x≥λx2−4x+3,x<λ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
3.（北京高考真题）已知,,且,则的取值范围是_____.
4.（2018·天津高考真题（理））已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x的函数与在区间D上恒有．
（1）若，求h(x)的表达式；
6．（浙江省高考真题（文））设函数.
（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；
（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
练基础
1．（浙江高考真题）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）
A．a>0，4a＋b＝0B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0D．a<0，2a＋b＝0
【答案】A
【解析】
由已知得f (x)的图象的对称轴为x＝2且f (x)先减后增，可得选项.
【详解】
由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，
又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先减后增，于是a>0，
故选：A.
2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数，则错误的是（ ）
A．的图象关于轴对称B．方程的解的个数为2
C．在上单调递增D．的最小值为
【答案】B
【解析】
结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断，令，求出方程的解的个数，判断B，令，，从而判断C，D即可．
【详解】
定义域为，显然关于原点对称，
又，
所以是偶函数，关于轴对称，故选项A正确.
令即，
解得：，1，，函数有3个零点，故B错误；
令，，时，
函数，都为递增函数，故在递增，故C正确；
由时，取得最小值，故的最小值是，故D正确．
故选：B．
3．（2021·北京高三其他模拟）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系.
【详解】
；；
易知集合是的真子集，故是充分不必要条件.
故选：A.
4．（2021·全国高三月考）已知函数，则“”是“方程有两个不同实数解且方程恰有两个不同实数解”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
根据二次函数的图象与性质，求得，反之若有两个正根，当，得到方程恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为，
要使得方程有两个不同实数，只需，
要使得方程恰有两个不同实数解，设两解分别为，且，
则满足，
因为时，，所以，所以必要性成立；
反之，设，即，
当有两个正根，且满足，若，
此时方程恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.
所以“”是“方程有两个不同实数解且方程恰有两个不同实数解”的必要不充分条件.
故选：C.
5．（2021·全国高三专题练习）若当x∈(1，2)时，函数y=(x-1)2的图象始终在函数y=lgax的图象的下方，则实数a的取值范围是___________.
【答案】1【解析】
在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果.
【详解】
如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y=(x-1)2和y=lgax的图象.
由于当x∈(1，2)时，函数y=(x-1)2的图象恒在函数y=lgax的图象的下方，
则，解得1故答案为：16.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
∵不等式对任意恒成立，
∴函数的图象始终在轴下方，
∴，解得，
故答案为：．
7.（2021·全国高三专题练习）已知当时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
先换元3x＝t，，使f（t）＝t2－mt＋m＋1>0在上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可.
【详解】
令3x＝t，当时，，则f（t）＝t2－mt＋m＋1>0在上恒成立，即函数在的图象在x轴的上方，而判别式，
故或，解得.
故答案为：.
8．（2021·浙江高一期末）已知函数，若任意、且，都有，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
本题首先可令，将转化为，然后令，通过函数单调性的定义得出函数在上是增函数，最后分为、两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】
因为任意、且，都有，
所以令，即，，
令，则函数在上是增函数，
若，则，显然不成立；
若，则，解得，
综合所述，实数a的取值范围是，
故答案为：.
9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数，若，且，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
由得，，把转化为，利用二次函数求最值.
【详解】
的图像如图示：
不妨令，由图像可知，，
由，
由
当时，．
故答案为：.
10．（2021·浙江高一期末）已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ），恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由题意讨论，与三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得在上恒成立，令，根据单调性，求解出最值，即可得的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）当时，，在区间上单调递减，符合题意；当时，对称轴为，因为在区间上单调递减，所以，得，所以；当时，函数在区间上单调递减，符合题意，综上，的取值范围为.
（Ⅱ），恒成立，即，恒成立，令，可知函数在上单调递增，所以，所以，所以，故的取值范围为
练提升TIDHNEG
1．（2020·山东省高三二模）已知函数，若恒成立，则实数m的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
，
（1），恒成立等价于或恒成立，
即或（不合题意，舍去）恒成立；
即，解得，
（2）恒成立，符合题意；
（3），恒成立等价于（不合题意，舍去）或恒成立，等价于，解得.
综上所述，，
故选：A.
2．（2021·浙江高三二模）已知，对任意的，．方程在上有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
对任意的，．方程在上有解，不妨取取，，方程有解只能取4，则排除其他答案.
【详解】
，，则，.
要对任意的，．方程在上都有解,
取，，
此时，任意，都有，
其他的取值，方程均无解，则的取值范围是.
故选：D.
3.（2020·浙江省高三二模）已知函数的图象经过三个象限，则实数a的取值范围是________.
【答案】或.
【解析】
当时，，此时函数图象经过第三象限，
当时，，此时函数图象恒经过第一象限，当且，即时，函数图像经过第一、四象限，
当时，，此时函数图象恒经过第一象限，当，即时，函数图像经过第一、四象限，
综上所述：或.
4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
令，
因为，则，
所以，即1是函数的零点，
因为函数的对称轴为，
所以根据题意，若函数有且只有一个零点，则二次函数没有零点，
，解得.
故答案为：
5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数，若时，，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】
根据函数，分，和三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
当时，，
因为，可得，所以，
所以；
当时，，
因为，可得，
所以，所以；
当时，，
由知，，
因为，所以，所以，
所以，
综上可得，的最大值是.
故答案为：
6.（2021·浙江高三期末）已知函数，若对于任意，均有，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】
首先讨论、时的最值情况，由不等式恒成立求的范围，再讨论并结合的单调情况求的范围，最后取它们的并集即可知的最大值.
【详解】
当时，，
当时，，
令，则∴当时，有；有；
由有，有，故；
当时，有；有；
由有，有，故，即；
当时，，
∴：在上递减，上递减，上递增；
：在上递减，上递增；
：在上递减，上递增，上递增；
∴综上，在上先减后增，则，可得
∴恒成立，即的最大值是-1.
故答案为：.
7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数，且的解集为．
（1）求的解析式；
（2）设，在定义域范围内若对于任意的，使得恒成立，求M的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）代入方程的根，求得参数值.
（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值.
【详解】
解：（1）由题意
解得
（2）由题意
当
当
令，当，当取等号，
当当取等号，
综上，
8．（2021·浙江高一期末）设函数．
（1）若在区间上的最大值为，求的取值范围；
（2）若在区间上有零点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求得，再由可求得实数的取值范围；
（2）设函数的两个零点为、，由韦达定理化简，设，由结合不等式的基本性质求出的最小值，即为所求.
【详解】
（1）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则；
②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，所以，；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，则.
综上所述，.
所以，当在区间上的最大值为，实数的取值范围是；
（2）设函数的两个零点为、，由韦达定理可得，
所以，
，
设，
由可得，所以，.
此时，，由可得.
所以，当，时，取最小值.
9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f（x）=9x﹣a3x+1+a2（x∈[0，1]，a∈R），记f（x）的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求g（a）解析式；
（Ⅱ）若对于任意t∈[﹣2，2]，任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立，求实数m的范围．
【答案】（Ⅰ）g（a）=；（Ⅱ）m≤﹣或m≥．
【解析】
（Ⅰ）令u=3x∈[1，3]，得到f（x）=h（u）=u2﹣3au+a2，分类讨论即可求出，
（Ⅱ）先求出g（a）min=g（）=﹣，再根据题意可得﹣m2+tm≤﹣，利用函数的单调性即可求出．
【详解】
解：（Ⅰ）令u=3x∈[1，3]，则f（x）=h（u）=u2﹣3au+a2．
当≤2，即a≤时，g（a）=h（u）min=h（3）=a2﹣9a+9；
当，即a＞时，g（a）=h（u）min=h（1）=a2﹣3a+1；
故g（a）=；
（Ⅱ）当a≤时，g（a）=a2﹣9a+9，g（a）min=g（）=﹣；
当a时，g（a）=a2﹣3a+1，g（a）min=g（）=﹣；
因此g（a）min=g（）=﹣；
对于任意任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立等价于﹣m2+tm≤﹣．
令h（t）=mt﹣m2，由于h（t）是关于t的一次函数，故对于任意t∈[﹣2，2]都有h（t）≤﹣等价于，即，
解得m≤﹣或m≥．
10．（2021·全国高一课时练习）已知函数，在区间上有最大值16，最小值.设．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）由二次函数的性质知在上为减函数，在上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求，即可写出解析式；
（2）由题设得在上恒成立，即k只需小于等于右边函数式的最小值即可.
【详解】
（1）∵()，即在上为减函数，在上为增函数．又在上有最大值16，最小值0，
∴，，解得，
∴；
（2）∵
∴，由，则，
∴，设，，
∴在上为减函数，当时，最小值为1，
∴，即.
练真题TIDHNEG
1．（浙江省高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值（ ）
A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关
【答案】B
【解析】
因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．
2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=x−4,x≥λx2−4x+3,x<λ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞)
【解析】
由题意得x≥2x−4<0或x<2x2−4x+3<0，所以2≤x<4或1当λ>4时，f(x)=x−4>0，此时f(x)=x2−4x+3=0,x=1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x−4=0,x=4，由f(x)=x2−4x+3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).
3.（北京高考真题）已知,,且,则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
试题分析：，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为.
4.（2018·天津高考真题（理））已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】
分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
详解：分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.
5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x的函数与在区间D上恒有．
（1）若，求h(x)的表达式；
【答案】（1）；
【解析】
（1）由题设有对任意的恒成立.
令，则，所以.
因此即对任意的恒成立，
所以，因此.
故.
6．（浙江省高考真题（文））设函数.
（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；
（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）当时，，故其对称轴为.
当时，.
当时，.
当时，.
综上，
（2）设为方程的解，且，则.
由于，因此.
当时，，
由于和，
所以.
当时，，
由于和，所以.
综上可知，的取值范围是.