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高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题7.3等比数列及其前n项和专题练习（学生版+解析）
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这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题7.3等比数列及其前n项和专题练习（学生版+解析），共26页。试卷主要包含了已知数列中，，等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2021·山东济南市·）已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（ ）
A．B．C．8D．16
3．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ）
A．6里B．24里C．48里D．96里
6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列中，，且，则___________.
8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则_____，_______．
9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则________，________．
10.（2018·全国高考真题（文））等比数列an中，a1=1 ， a5=4a3．
（1）求an的通项公式；
（2）记Sn为an的前n项和．若Sm=63，求m．
练提升TIDHNEG
1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（ ）
A．46B．47C．48D．49
3．【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（ ）
A．是递增数列B．是等比数列
C．D．
4. （2019·浙江高三期末）数列的前n项和为，且满足，
Ⅰ求通项公式；
Ⅱ记，求证：．
5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列的前项和为，且满足，，其中.
（1）若，求出；
（2）是否存在实数，使为等比数列？若存在，求出，若不存在，说明理由.
6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列，满足，，设，（为实数）．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若是递增数列，求实数的取值范围．
7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：，，，，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：，，，，….
记第行第个数为.
（Ⅰ）若，写出，，的表达式，并归纳出的表达式；
（Ⅱ）求第行所有数的和.
8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列的前n项和为，且满足，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和.
9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）令 ，当取得最大值时，求的值.
10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列满足，，数列满足，.
（1）数列，的通项公式；
（2）若，求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值.
练真题TIDHNEG
1．（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2.（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
3.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
4．（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
6．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
专题7.3 等比数列及其前n项和
练基础
1．（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【解析】
根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】
∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
2．（2021·山东济南市·）已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（ ）
A．B．C．8D．16
【答案】C
【解析】
设等比数列的公比为q，根据题意列方程，解出和q即可.
【详解】
解：设递增的等比数列{an}的公比为，且q1，
∵S3＝，，
∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，
解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．
则＝＝8．
故选：C．
3．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
设等比数列公比为，由结合已知条件求、，再利用等比数列前n项和公式求.
【详解】
设等比数列公比为，则，又，
∴，故，
又，即.
故选：C
4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.
【详解】
设等比数列的公比为q，则，所以，又，
所以，
故选：A.
5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ）
A．6里B．24里C．48里D．96里
【答案】D
【解析】
根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，
解可得，
则；
即此人第二天走的路程里数为96；
故选：D．
6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
由可得出，取，由，进而判断可得出结论.
【详解】
若，则，即，所以，数列为递增数列，
若，，
所以，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列中，，且，则___________.
【答案】
【解析】
由，，得到且，得出数列构成以为首项，以为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由，可得，
又由，可得，所以，
所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列，
所以.
故答案为：.
8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则_____，_______．
【答案】
【解析】
利用求通项公式，再求出.
【详解】
对于，
当n=1时，有，解得：1；
当时，有，所以，所以，所以数列为等比数列，，
所以.
故答案为：1，.
9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则________，________．
【答案】
【解析】
根据，求出数列的通项公式，再代入求出．
【详解】
解：因为
当时，，解得；
当时，，所以，即
于是是首项为，公比为2的等比数列，
所以．
所以，
故答案为：；；
10.（2018·全国高考真题（文））等比数列an中，a1=1 ， a5=4a3．
（1）求an的通项公式；
（2）记Sn为an的前n项和．若Sm=63，求m．
【答案】（1）an=(−2)n−1或an=2n−1 .
（2）m=6.
【解析】
（1）设{an}的公比为q，由题设得an=qn−1．
由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去），q=−2或q=2．
故an=(−2)n−1或an=2n−1．
（2）若an=(−2)n−1，则Sn=1−(−2)n3．由Sm=63得(−2)m=−188，此方程没有正整数解．
若an=2n−1，则Sn=2n−1．由Sm=63得2m=64，解得m=6．
综上，m=6．
练提升TIDHNEG
1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可得： ，
，结合可得： ，
结合等比数列的性质可得： ，
即： .
本题选择B选项.
2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（ ）
A．46B．47C．48D．49
【答案】C
【解析】
根据“数塔”的规律，可知第行共有个数，利用等比数列求和公式求出第行的数字之和，再求出前行的和，即可判断取到第几行，再根据每行数字个数成等差数列，即可求出；
【详解】
解：“数塔”的第行共有个数，其和为，所以前行的和为
故前行所有数学之和为，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为，易知“数塔”前行共有个数，所以
故选：C
3．（2021·江苏高三其他模拟）已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（ ）
A．是递增数列B．是等比数列
C．D．
【答案】ACD
【解析】
将递推公式两边同时取指数，变形得到，构造等比数列可证为等比数列，求解出通项公式则可判断A选项；根据判断B选项；根据的通项公式以及对数的运算法则计算的正负并判断C选项；将的通项公式放缩得到，由此进行求和并判断D选项.
【详解】
因为，所以，
从而，，所以，
所以，又，是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，即，
又因为在时单调递增，在定义域内单调递增，
所以是递增数列，故A正确；
因为，
所以，
所以，
所以，所以不是等比数列，故B错误.
因为
，
而
，从而，
于是，，故C正确.
因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
4. （2019·浙江高三期末）数列的前n项和为，且满足，
Ⅰ求通项公式；
Ⅱ记，求证：．
【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析
【解析】
Ⅰ，
当时，，
得，
又，
，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，
；
证明：Ⅱ，
，
时，，
，
同理：，
故：．
5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列的前项和为，且满足，，其中.
（1）若，求出；
（2）是否存在实数，使为等比数列？若存在，求出，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）将代入，由递推关系求出通项公式，并检验当时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数，满足题意，结合已知条件求出满足数列是等比数列的实数，的值，运用分组求和法求出的值.
【详解】
（1）由题可知：当时有：，
当时，，
又满足上式，故.
（2）假设存在实数，满足题意，则当时，
由题可得：，
和题设对比系数可得：，，.
此时，，
故存在，使得是首项为4，公比为2的等比数列.
从而.
所以.
6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列，满足，，设，（为实数）．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若是递增数列，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】
（1）由，变形为，再利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）的结论，利用等比数列的通项公式求解；
（3）根据是递增数列，由,恒成立求解.
【详解】
（1）因为，
所以，
即，
又因为，
所以，
所以，
所以是等比数列．
（2）由，公比为2，
得，
所以．
（3）因为，
所以，
所以，
因为是递增数列，所以成立，
故，成立，
即，成立，
因为是递减数列，
所以该数列的最大项是，
所以的取值范围是．
7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：，，，，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：，，，，….
记第行第个数为.
（Ⅰ）若，写出，，的表达式，并归纳出的表达式；
（Ⅱ）求第行所有数的和.
【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）.
【解析】
（I）由数阵写出，，，由此可归纳出.
（II），利用错位相减法求得结果.
【详解】
（Ⅰ）由数阵可知：
，，，
由此可归纳出.
（Ⅱ）
，
所以，
错位相减得.
8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列的前n项和为，且满足，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和.
【答案】（1），；（2）数列的前2n项和为.
【解析】
（1）由可得可得答案；
（2）由得，两式相除可得数列的偶数项构成等比数列，再由（1）可得数列的前2n项的和.
【详解】
（1）由，，
得，所以.
因为，所以，所以，.
又当时，，适合上式.
所以，.
（2）因为，，所以，
又，所以.
所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列.
故数列的前2n项的和，
所以数列的前2n项和为.
9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）令 ，当取得最大值时，求的值.
【答案】（I）见解析（2）最大，即
【解析】
（1）
两式相减，得
∴
即：
∴ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）可知， 即
也满足上式
令，则 ，
∴ 最大，即
10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列满足，，数列满足，.
（1）数列，的通项公式；
（2）若，求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值.
【答案】（1），；（2）最大值为44.
【解析】
（1）由题得数列是等比数列，即求出数列的通项；由题得是一个以为首项，以1为公差的等差数列，即得数列的通项公式；
（2）先求出，再求出即得解.
【详解】
解：（1）由得，
所以数列是等比数列，公比为，
解得.
由，得，
所以是一个以为首项，以1为公差的等差数列，
所以，
解得.
（2）由得，
记，，
所以为单调递减且，，，
所以，
因此，
当时，的的最大值为44；
当时，的的最大值为43；
故的的最大值为44.
练真题TIDHNEG
1．（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
2.（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
【答案】B
【解析】
设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
3.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【解析】
设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
4．（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【答案】.
【解析】
设等比数列的公比为，由已知
，即
解得，
所以．
5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【解析】
(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
6．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】
（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
1．（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2021·山东济南市·）已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（ ）
A．B．C．8D．16
3．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ）
A．6里B．24里C．48里D．96里
6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列中，，且，则___________.
8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则_____，_______．
9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则________，________．
10.（2018·全国高考真题（文））等比数列an中，a1=1 ， a5=4a3．
（1）求an的通项公式；
（2）记Sn为an的前n项和．若Sm=63，求m．
练提升TIDHNEG
1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（ ）
A．46B．47C．48D．49
3．【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（ ）
A．是递增数列B．是等比数列
C．D．
4. （2019·浙江高三期末）数列的前n项和为，且满足，
Ⅰ求通项公式；
Ⅱ记，求证：．
5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列的前项和为，且满足，，其中.
（1）若，求出；
（2）是否存在实数，使为等比数列？若存在，求出，若不存在，说明理由.
6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列，满足，，设，（为实数）．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若是递增数列，求实数的取值范围．
7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：，，，，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：，，，，….
记第行第个数为.
（Ⅰ）若，写出，，的表达式，并归纳出的表达式；
（Ⅱ）求第行所有数的和.
8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列的前n项和为，且满足，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和.
9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）令 ，当取得最大值时，求的值.
10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列满足，，数列满足，.
（1）数列，的通项公式；
（2）若，求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值.
练真题TIDHNEG
1．（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2.（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
3.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
4．（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
6．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
专题7.3 等比数列及其前n项和
练基础
1．（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【解析】
根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】
∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
2．（2021·山东济南市·）已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（ ）
A．B．C．8D．16
【答案】C
【解析】
设等比数列的公比为q，根据题意列方程，解出和q即可.
【详解】
解：设递增的等比数列{an}的公比为，且q1，
∵S3＝，，
∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，
解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．
则＝＝8．
故选：C．
3．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
设等比数列公比为，由结合已知条件求、，再利用等比数列前n项和公式求.
【详解】
设等比数列公比为，则，又，
∴，故，
又，即.
故选：C
4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.
【详解】
设等比数列的公比为q，则，所以，又，
所以，
故选：A.
5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ）
A．6里B．24里C．48里D．96里
【答案】D
【解析】
根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，
解可得，
则；
即此人第二天走的路程里数为96；
故选：D．
6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
由可得出，取，由，进而判断可得出结论.
【详解】
若，则，即，所以，数列为递增数列，
若，，
所以，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列中，，且，则___________.
【答案】
【解析】
由，，得到且，得出数列构成以为首项，以为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由，可得，
又由，可得，所以，
所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列，
所以.
故答案为：.
8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则_____，_______．
【答案】
【解析】
利用求通项公式，再求出.
【详解】
对于，
当n=1时，有，解得：1；
当时，有，所以，所以，所以数列为等比数列，，
所以.
故答案为：1，.
9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则________，________．
【答案】
【解析】
根据，求出数列的通项公式，再代入求出．
【详解】
解：因为
当时，，解得；
当时，，所以，即
于是是首项为，公比为2的等比数列，
所以．
所以，
故答案为：；；
10.（2018·全国高考真题（文））等比数列an中，a1=1 ， a5=4a3．
（1）求an的通项公式；
（2）记Sn为an的前n项和．若Sm=63，求m．
【答案】（1）an=(−2)n−1或an=2n−1 .
（2）m=6.
【解析】
（1）设{an}的公比为q，由题设得an=qn−1．
由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去），q=−2或q=2．
故an=(−2)n−1或an=2n−1．
（2）若an=(−2)n−1，则Sn=1−(−2)n3．由Sm=63得(−2)m=−188，此方程没有正整数解．
若an=2n−1，则Sn=2n−1．由Sm=63得2m=64，解得m=6．
综上，m=6．
练提升TIDHNEG
1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可得： ，
，结合可得： ，
结合等比数列的性质可得： ，
即： .
本题选择B选项.
2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（ ）
A．46B．47C．48D．49
【答案】C
【解析】
根据“数塔”的规律，可知第行共有个数，利用等比数列求和公式求出第行的数字之和，再求出前行的和，即可判断取到第几行，再根据每行数字个数成等差数列，即可求出；
【详解】
解：“数塔”的第行共有个数，其和为，所以前行的和为
故前行所有数学之和为，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为，易知“数塔”前行共有个数，所以
故选：C
3．（2021·江苏高三其他模拟）已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（ ）
A．是递增数列B．是等比数列
C．D．
【答案】ACD
【解析】
将递推公式两边同时取指数，变形得到，构造等比数列可证为等比数列，求解出通项公式则可判断A选项；根据判断B选项；根据的通项公式以及对数的运算法则计算的正负并判断C选项；将的通项公式放缩得到，由此进行求和并判断D选项.
【详解】
因为，所以，
从而，，所以，
所以，又，是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，即，
又因为在时单调递增，在定义域内单调递增，
所以是递增数列，故A正确；
因为，
所以，
所以，
所以，所以不是等比数列，故B错误.
因为
，
而
，从而，
于是，，故C正确.
因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
4. （2019·浙江高三期末）数列的前n项和为，且满足，
Ⅰ求通项公式；
Ⅱ记，求证：．
【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析
【解析】
Ⅰ，
当时，，
得，
又，
，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，
；
证明：Ⅱ，
，
时，，
，
同理：，
故：．
5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列的前项和为，且满足，，其中.
（1）若，求出；
（2）是否存在实数，使为等比数列？若存在，求出，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）将代入，由递推关系求出通项公式，并检验当时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数，满足题意，结合已知条件求出满足数列是等比数列的实数，的值，运用分组求和法求出的值.
【详解】
（1）由题可知：当时有：，
当时，，
又满足上式，故.
（2）假设存在实数，满足题意，则当时，
由题可得：，
和题设对比系数可得：，，.
此时，，
故存在，使得是首项为4，公比为2的等比数列.
从而.
所以.
6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列，满足，，设，（为实数）．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若是递增数列，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】
（1）由，变形为，再利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）的结论，利用等比数列的通项公式求解；
（3）根据是递增数列，由,恒成立求解.
【详解】
（1）因为，
所以，
即，
又因为，
所以，
所以，
所以是等比数列．
（2）由，公比为2，
得，
所以．
（3）因为，
所以，
所以，
因为是递增数列，所以成立，
故，成立，
即，成立，
因为是递减数列，
所以该数列的最大项是，
所以的取值范围是．
7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：，，，，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：，，，，….
记第行第个数为.
（Ⅰ）若，写出，，的表达式，并归纳出的表达式；
（Ⅱ）求第行所有数的和.
【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）.
【解析】
（I）由数阵写出，，，由此可归纳出.
（II），利用错位相减法求得结果.
【详解】
（Ⅰ）由数阵可知：
，，，
由此可归纳出.
（Ⅱ）
，
所以，
错位相减得.
8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列的前n项和为，且满足，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和.
【答案】（1），；（2）数列的前2n项和为.
【解析】
（1）由可得可得答案；
（2）由得，两式相除可得数列的偶数项构成等比数列，再由（1）可得数列的前2n项的和.
【详解】
（1）由，，
得，所以.
因为，所以，所以，.
又当时，，适合上式.
所以，.
（2）因为，，所以，
又，所以.
所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列.
故数列的前2n项的和，
所以数列的前2n项和为.
9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）令 ，当取得最大值时，求的值.
【答案】（I）见解析（2）最大，即
【解析】
（1）
两式相减，得
∴
即：
∴ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）可知， 即
也满足上式
令，则 ，
∴ 最大，即
10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列满足，，数列满足，.
（1）数列，的通项公式；
（2）若，求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值.
【答案】（1），；（2）最大值为44.
【解析】
（1）由题得数列是等比数列，即求出数列的通项；由题得是一个以为首项，以1为公差的等差数列，即得数列的通项公式；
（2）先求出，再求出即得解.
【详解】
解：（1）由得，
所以数列是等比数列，公比为，
解得.
由，得，
所以是一个以为首项，以1为公差的等差数列，
所以，
解得.
（2）由得，
记，，
所以为单调递减且，，，
所以，
因此，
当时，的的最大值为44；
当时，的的最大值为43；
故的的最大值为44.
练真题TIDHNEG
1．（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
2.（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
【答案】B
【解析】
设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
3.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【解析】
设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
4．（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【答案】.
【解析】
设等比数列的公比为，由已知
，即
解得，
所以．
5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【解析】
(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
6．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】
（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
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