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高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题7.4数列求和专题练习（学生版+解析）
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这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题7.4数列求和专题练习（学生版+解析），共30页。试卷主要包含了记为等比数列的前项和，已知，，已知数列满足等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·全国高三其他模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
3．（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
4．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）
A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程站全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路
5.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
6．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）记为递增等比数列的前n项和，若，则的值为______.
7．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中不超过2021的所有项的和为___________.
8．（2021·福建高三其他模拟）记为等比数列的前项和，已知，．
（1）求；
（2）求数列的前项和．
9．（2021·辽宁高三其他模拟）已知为等差数列，为等比数列，且满足．
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．
10．（2021·广东实验中学高三其他模拟）已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn，满足an+1＝Sn+1（n∈N*）．
（1）求Sn；
（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
练提升TIDHNEG
1．【多选题】（2021·吉林松原市·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
2．【多选题】（2021·河北高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（ ）
A．数列是公比为的等比数列B．
C．数列是公比为的等比数列D．数列的前n项和
3．（2022·河南高三月考（文））已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.
（1）求与的通项公式；
（2）求的前n项和.
5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（理））已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求最小值.
6．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在正整数，使得，求的最小值.
7.（2021·全国高三其他模拟）已知数列是以为首项，为公比的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，去掉第项，第项，…，第项（为正整数）得到的数列记为，求数列的前项和.
8．（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设是等差数列的前项和，其中，且.
（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：.
9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）令 ，当取得最大值时，求的值.
10．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．
（1）求数列，的通项公式．
（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
练真题TIDHNEG
1．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
4.（2020·全国高考真题（文））设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{lg3an}的前n项和．若，求m．
5.（2020·山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
6. （2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
专题7.4 数列求和
练基础
1．（2021·全国高三其他模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】
采用裂项相消法求数列的和
【详解】
因为，
所以
故选C.
2．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解析】
设塔顶的a1盏灯，
由题意{an}是公比为2的等比数列，
∴S7=a1(1−27)1−2=381，
解得a1=3．
故选：B．
3．（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【解析】
设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
4．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）
A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程站全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路
【答案】ACD
【解析】
设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，
因为，所以，解得，
对于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；
对于B，由于 ，所以B不正确；
对于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；
对于D，由于，所以D正确，
故选：ACD
5.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【答案】.
【解析】
设等比数列的公比为，由已知
，即
解得，
所以．
6．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）记为递增等比数列的前n项和，若，则的值为______.
【答案】1023
【解析】
首先利用已知条件求得等比数列的公比和首项，最后根据等比数列的前n项和公式求出即可.
【详解】
因为数列为等比数列，
所以，解得，
设等比数列的公比为，
因为，
所以即，
解得或，
因为等比数列是递增数列，
所以，，
所以.
故答案为：1023
7．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中不超过2021的所有项的和为___________.
【答案】2046
【解析】
先根据题意列方程组，求出通项公式，再判断不超过2021的所有项的和为前10项的和，直接利用等比数列的前n项和公式求和即可.
【详解】
设正项等比数列的公比为q，，
因为，，
所以，解得：，所以.
令，解得：.
所以数列中不超过2021的所有项的和为：
.
故答案为：2046.
8．（2021·福建高三其他模拟）记为等比数列的前项和，已知，．
（1）求；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）由已知，令，求出，再令，，求出等比数列的公比，由，即可求解；
（2）由（1）求出通项公式，可得数列为等比数列，根据等比数列的前项和公式，即可得出结论.
【详解】
（1）令，则由可得，
当时，由可得，
两式相减，可得，即，
依题意，为等比数列，故；
（2）由（1）可知为首项等于1，公比等于2的等比数列，故；
故为首项等于，公比等于的等比数列，
故．
故．
9．（2021·辽宁高三其他模拟）已知为等差数列，为等比数列，且满足．
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
（1）设出数列的公差和公比，结合条件求出公差和公比，然后写出通项公式；
（2）求出，结合错位相减法求和可得数列的前n项和．
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以，
因为，所以，整理得，解得q＝2，
所以；
（2），
，
两式相减，得
所以．
10．（2021·广东实验中学高三其他模拟）已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn，满足an+1＝Sn+1（n∈N*）．
（1）求Sn；
（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简即可得到答案.
【详解】
（1）当时，，又，
所以，
即，
在中，令，可得
因为，所以
故是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为，
所以.
（2）因为
所以
故
练提升TIDHNEG
1．【多选题】（2021·吉林松原市·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】
根据题意求出n，然后即可求出，再利用错位相减法求出新数列的和.
【详解】
设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，
则从新数列的第1个1到第个1一共有项，
从新数列的第1个1到第个1一共有项，
所以，解得，
而，所以，故A正确，B错误；
，
令，
则，
，，
所以，故D正确，C错误，
故选：AD.
2．【多选题】（2021·河北高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（ ）
A．数列是公比为的等比数列B．
C．数列是公比为的等比数列D．数列的前n项和
【答案】BD
【解析】
先得到，即可判断A，再求出，可判断B与C，最后求出，可判断D.
【详解】
如图：
由图知，
对于A：，数列是公比为的等比数列，故A不正确；
对于BC：因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确，C不正确；
对于D：因为，故D正确，
故选：BD.
3．（2022·河南高三月考（文））已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由，化简得到，结合等比数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）知，单调，结合等差数列的求和公式和乘公比错位相减法，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列满足，
可得，即，
又因为，可得，
所以，所以，
即数列的通项公式.
（2）由（1）知，可得，
则
.
令，
则，
所以，
所以.
所以.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.
（1）求与的通项公式；
（2）求的前n项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，可得首项和公差，可得；设正项等比数列的公比为q，q>0，由等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和，即可得答案.
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为d，
由，可得，
解得，则；
设正项等比数列的公比为q，q>0，
由首项为1，前3项和为7，可得，解得q=2，
则；
（2）由（1）可得，
所以，
则，
两式相减可得=，
所以.
5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（理））已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【解析】
（1）由已知条件得到为等比数列，即可得到通项；（2）错位相减求出，根据单调性求出最小值.
【详解】
解：（1）由，得，是以2为公比的等比数列，记公比为，
又，，；
（2），
，，
两式相减，得，
即，又，单调递增，
时，最小，最小值为.
6．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在正整数，使得，求的最小值.
【答案】（1）；（2）11.
【解析】
（1）设数列的公比为，根据条件列出，求得首项和公比，从而求得通项公式；
（2）由（1）求得，分奇偶求解即可求得满足条件的最小n值.
【详解】
（1）设数列的公比为，则，．由题意得
，即，解得.
故数列的通项公式为.
（2）由（1）有.
由得，，即.
当为偶数时，，上式不成立；-
当为奇数时，，即，则.
综上，的最小值为11.
7.（2021·全国高三其他模拟）已知数列是以为首项，为公比的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，去掉第项，第项，…，第项（为正整数）得到的数列记为，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由等比数列通项公式可求得，进而得到；
（2）设，数列的前项和为，数列的前项和为，根据三者之间的关系可整理得到当为偶数时，，当为奇数时，，利用等差数列求和公式可整理求得结果.
【详解】
（1）由题意得：，；
（2）设，数列的前项和为，数列的前项和为；
，，…①，
，…②，
，，…③，
由①知：当时，；由③知：当时，；
当为偶数时，，
；
由②知：当时，，即当为奇数时，；
；
综上所述：.
8．（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设是等差数列的前项和，其中，且.
（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）解：令，则，则，
令，则，得，
∵为等差数列，∴，∴，∴，
∴，，，
∴，
∴，数列的通项公式为；
（Ⅱ）证：由题意得，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴为递增数列，即，
∴成立．
9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）令 ，当取得最大值时，求的值.
【答案】（I）见解析（2）最大，即
【解析】
（1）
两式相减，得
∴
即：
∴ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）可知， 即
也满足上式
令，则 ，
∴ 最大，即
10．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．
（1）求数列，的通项公式．
（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
方案一：选条件①
（1）
解得或（舍去）
（2）
方案二：选条件②
（1）
解得或（舍去）
（2）
方案三：选条件③
解得或（舍去）
（2）
练真题TIDHNEG
1．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】
在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
2．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】
因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
3．（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
4.（2020·全国高考真题（文））设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{lg3an}的前n项和．若，求m．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以；
（2）令，
所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以.
5.（2020·山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）由于，所以
对应的区间为：，则；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个.
所以.
6. （2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
1．（2021·全国高三其他模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
3．（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
4．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）
A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程站全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路
5.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
6．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）记为递增等比数列的前n项和，若，则的值为______.
7．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中不超过2021的所有项的和为___________.
8．（2021·福建高三其他模拟）记为等比数列的前项和，已知，．
（1）求；
（2）求数列的前项和．
9．（2021·辽宁高三其他模拟）已知为等差数列，为等比数列，且满足．
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．
10．（2021·广东实验中学高三其他模拟）已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn，满足an+1＝Sn+1（n∈N*）．
（1）求Sn；
（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
练提升TIDHNEG
1．【多选题】（2021·吉林松原市·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
2．【多选题】（2021·河北高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（ ）
A．数列是公比为的等比数列B．
C．数列是公比为的等比数列D．数列的前n项和
3．（2022·河南高三月考（文））已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.
（1）求与的通项公式；
（2）求的前n项和.
5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（理））已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求最小值.
6．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在正整数，使得，求的最小值.
7.（2021·全国高三其他模拟）已知数列是以为首项，为公比的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，去掉第项，第项，…，第项（为正整数）得到的数列记为，求数列的前项和.
8．（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设是等差数列的前项和，其中，且.
（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：.
9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）令 ，当取得最大值时，求的值.
10．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．
（1）求数列，的通项公式．
（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
练真题TIDHNEG
1．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
4.（2020·全国高考真题（文））设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{lg3an}的前n项和．若，求m．
5.（2020·山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
6. （2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
专题7.4 数列求和
练基础
1．（2021·全国高三其他模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】
采用裂项相消法求数列的和
【详解】
因为，
所以
故选C.
2．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解析】
设塔顶的a1盏灯，
由题意{an}是公比为2的等比数列，
∴S7=a1(1−27)1−2=381，
解得a1=3．
故选：B．
3．（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【解析】
设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
4．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）
A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天走的路程站全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路
【答案】ACD
【解析】
设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，
因为，所以，解得，
对于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；
对于B，由于 ，所以B不正确；
对于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；
对于D，由于，所以D正确，
故选：ACD
5.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【答案】.
【解析】
设等比数列的公比为，由已知
，即
解得，
所以．
6．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）记为递增等比数列的前n项和，若，则的值为______.
【答案】1023
【解析】
首先利用已知条件求得等比数列的公比和首项，最后根据等比数列的前n项和公式求出即可.
【详解】
因为数列为等比数列，
所以，解得，
设等比数列的公比为，
因为，
所以即，
解得或，
因为等比数列是递增数列，
所以，，
所以.
故答案为：1023
7．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中不超过2021的所有项的和为___________.
【答案】2046
【解析】
先根据题意列方程组，求出通项公式，再判断不超过2021的所有项的和为前10项的和，直接利用等比数列的前n项和公式求和即可.
【详解】
设正项等比数列的公比为q，，
因为，，
所以，解得：，所以.
令，解得：.
所以数列中不超过2021的所有项的和为：
.
故答案为：2046.
8．（2021·福建高三其他模拟）记为等比数列的前项和，已知，．
（1）求；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）由已知，令，求出，再令，，求出等比数列的公比，由，即可求解；
（2）由（1）求出通项公式，可得数列为等比数列，根据等比数列的前项和公式，即可得出结论.
【详解】
（1）令，则由可得，
当时，由可得，
两式相减，可得，即，
依题意，为等比数列，故；
（2）由（1）可知为首项等于1，公比等于2的等比数列，故；
故为首项等于，公比等于的等比数列，
故．
故．
9．（2021·辽宁高三其他模拟）已知为等差数列，为等比数列，且满足．
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
（1）设出数列的公差和公比，结合条件求出公差和公比，然后写出通项公式；
（2）求出，结合错位相减法求和可得数列的前n项和．
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以，
因为，所以，整理得，解得q＝2，
所以；
（2），
，
两式相减，得
所以．
10．（2021·广东实验中学高三其他模拟）已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn，满足an+1＝Sn+1（n∈N*）．
（1）求Sn；
（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简即可得到答案.
【详解】
（1）当时，，又，
所以，
即，
在中，令，可得
因为，所以
故是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为，
所以.
（2）因为
所以
故
练提升TIDHNEG
1．【多选题】（2021·吉林松原市·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】
根据题意求出n，然后即可求出，再利用错位相减法求出新数列的和.
【详解】
设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，
则从新数列的第1个1到第个1一共有项，
从新数列的第1个1到第个1一共有项，
所以，解得，
而，所以，故A正确，B错误；
，
令，
则，
，，
所以，故D正确，C错误，
故选：AD.
2．【多选题】（2021·河北高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（ ）
A．数列是公比为的等比数列B．
C．数列是公比为的等比数列D．数列的前n项和
【答案】BD
【解析】
先得到，即可判断A，再求出，可判断B与C，最后求出，可判断D.
【详解】
如图：
由图知，
对于A：，数列是公比为的等比数列，故A不正确；
对于BC：因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确，C不正确；
对于D：因为，故D正确，
故选：BD.
3．（2022·河南高三月考（文））已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由，化简得到，结合等比数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）知，单调，结合等差数列的求和公式和乘公比错位相减法，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列满足，
可得，即，
又因为，可得，
所以，所以，
即数列的通项公式.
（2）由（1）知，可得，
则
.
令，
则，
所以，
所以.
所以.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.
（1）求与的通项公式；
（2）求的前n项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，可得首项和公差，可得；设正项等比数列的公比为q，q>0，由等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和，即可得答案.
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为d，
由，可得，
解得，则；
设正项等比数列的公比为q，q>0，
由首项为1，前3项和为7，可得，解得q=2，
则；
（2）由（1）可得，
所以，
则，
两式相减可得=，
所以.
5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（理））已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【解析】
（1）由已知条件得到为等比数列，即可得到通项；（2）错位相减求出，根据单调性求出最小值.
【详解】
解：（1）由，得，是以2为公比的等比数列，记公比为，
又，，；
（2），
，，
两式相减，得，
即，又，单调递增，
时，最小，最小值为.
6．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在正整数，使得，求的最小值.
【答案】（1）；（2）11.
【解析】
（1）设数列的公比为，根据条件列出，求得首项和公比，从而求得通项公式；
（2）由（1）求得，分奇偶求解即可求得满足条件的最小n值.
【详解】
（1）设数列的公比为，则，．由题意得
，即，解得.
故数列的通项公式为.
（2）由（1）有.
由得，，即.
当为偶数时，，上式不成立；-
当为奇数时，，即，则.
综上，的最小值为11.
7.（2021·全国高三其他模拟）已知数列是以为首项，为公比的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，去掉第项，第项，…，第项（为正整数）得到的数列记为，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由等比数列通项公式可求得，进而得到；
（2）设，数列的前项和为，数列的前项和为，根据三者之间的关系可整理得到当为偶数时，，当为奇数时，，利用等差数列求和公式可整理求得结果.
【详解】
（1）由题意得：，；
（2）设，数列的前项和为，数列的前项和为；
，，…①，
，…②，
，，…③，
由①知：当时，；由③知：当时，；
当为偶数时，，
；
由②知：当时，，即当为奇数时，；
；
综上所述：.
8．（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设是等差数列的前项和，其中，且.
（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）解：令，则，则，
令，则，得，
∵为等差数列，∴，∴，∴，
∴，，，
∴，
∴，数列的通项公式为；
（Ⅱ）证：由题意得，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴为递增数列，即，
∴成立．
9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）令 ，当取得最大值时，求的值.
【答案】（I）见解析（2）最大，即
【解析】
（1）
两式相减，得
∴
即：
∴ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）可知， 即
也满足上式
令，则 ，
∴ 最大，即
10．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．
（1）求数列，的通项公式．
（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
方案一：选条件①
（1）
解得或（舍去）
（2）
方案二：选条件②
（1）
解得或（舍去）
（2）
方案三：选条件③
解得或（舍去）
（2）
练真题TIDHNEG
1．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】
在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
2．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】
因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，
由累乘法可得，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
3．（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
4.（2020·全国高考真题（文））设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{lg3an}的前n项和．若，求m．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以；
（2）令，
所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以.
5.（2020·山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）由于，所以
对应的区间为：，则；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个.
所以.
6. （2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
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