高考数学母题题源解密(全国通用)专题03等式与不等式专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学母题题源解密(全国通用)专题03等式与不等式专题练习(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了基本不等式的应用，线性规划等内容，欢迎下载使用。

【母题来源】2022年新高考全国II卷
【母题题文】若x，y满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【试题解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．
【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．
常见的命题角度有：
（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件
【得分要点】
对原不等式进行化简、变形；
符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；
判断等号成立的条件；
（4）利用“1”的合理变换是解题.
考向二 线性规划
【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】若x，y满足约束条件则的最大值是（ ）
B. 4C. 8D. 12
【答案】C
【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数为，
上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，
所以.故选：C.
【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力．
常见的命题角度有：
（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；
【得分要点】
1.正确画出可行域；
2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值
一、单选题
1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A．B．9C．4D．8
3．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m，n满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．且B．
C．D．
二、填空题
9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x、，且，给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．
10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x的不等式有解，则实数m的取值范围___________.
11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数，，则的最小值为___________.
12．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数有下列四个命题：
① ，使关于轴对称．
② ，都有关于原点对称．
③ ，使在上为减函数．
④ 若，，使有最大值．
其中真命题的序号是____________．
三、解答题
13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设：实数满足，：实数满足
(1)若，且为真，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a，b都是正数．
(1)若，证明：；
(2)当时，证明：．
15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数，的解集为或．
(1)求实数、的值；
(2)若时，求函数的最小值．
16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
专题03 等式与不等式
考向一 基本不等式的应用
【母题来源】2022年新高考全国II卷
【母题题文】若x，y满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【试题解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．
【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．
常见的命题角度有：
（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件
【得分要点】
对原不等式进行化简、变形；
符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；
判断等号成立的条件；
（4）利用“1”的合理变换是解题.
考向二 线性规划
【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】若x，y满足约束条件则的最大值是（ ）
B. 4C. 8D. 12
【答案】C
【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数为，
上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，
所以.故选：C.
【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力．
常见的命题角度有：
（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；
【得分要点】
1.正确画出可行域；
2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值。
一、单选题
1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
可以利用特殊值进行排除，以及利用不等式的性质进行判断.
【详解】
当时，，则A错误；当时，，则B错误；当时，，则C错误；当时，，当时，，当时，，则D正确.
故选：D.
2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A．B．9C．4D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】
圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9.
故选：B.
3．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】【分析】
根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最小值.
【详解】
根据约束条件，画出可行域（如图），可看成可行域内的点与定点的距离，由图可知：当过点的直线与垂直时，距离最小，此时最小距离为：.故选：B
4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式“1”的代换求的最值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B
5．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m，n满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简，再利用基本不等式得解.
【详解】
解：由题得.
（当且仅当等号成立）.
故选：B
6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
讨论和两种情况，即可求解.
【详解】
当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，
等价于．
综上，实数的取值范围为．
故选：B．
7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用偶函数的性质得到在上单调递增， .把原不等式转化为或即可解得.
【详解】
因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，且，又，所以.
由，得或所以或
解得或.故x的取值范围是.
故选：D.
8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．且B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.
【详解】
因为，故不等式的解集为且，
故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集，
显然，满足题意的只有.
故选：D.
二、填空题
9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x、，且，给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．
【答案】①④
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x＝0、y＝3可判断②，取特殊值y＝可判断③．
【详解】
对于①，∵，
∴由得，，
即，解得(当且仅当时取等号)，故①一定成立；
对于②，当3时，成立，但不成立，故②不一定成立；
对于③，当时，由得，
则，即，故③不一定成立；
④将两边平方得，
∴，
由①可知：
，
∴，当且仅当时取等号，因此④一定成立﹒
故答案为：①④﹒
【点睛】
本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒
10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x的不等式有解，则实数m的取值范围___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得，根据可得，代入求解．
【详解】
根据题意可得
∵
∴，即，则或
故答案为：．
11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数，，则的最小值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
依题意利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为，，
所以
当"取等号“
综上所述：的最小值为；
故答案为：
12．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数有下列四个命题：
① ，使关于轴对称．
② ，都有关于原点对称．
③ ，使在上为减函数．
④ 若，，使有最大值．
其中真命题的序号是____________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】
对①②，判断的奇偶性即可；
对③④，根据对勾函数的性质判断即可；
【详解】
由题，因为，且，故为奇函数，①错②对；
当时，由对勾函数的性质，在上为减函数，故③正确；又当时，若，则在处取得最大值，故④正确；
故答案为：②③④
三、解答题
13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设：实数满足，：实数满足
(1)若，且为真，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题p，q为真时实数x的取值范围，再求交集即可；
（2）先求得，再根据是的必要不充分条件可得，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可
(1)当时，，解得，即p为真时，实数x的取值范围为．由，解得，即q为真时，实数x的取值范围为．
若为真，则，解得实数x的取值范围为．
(2)若p是q的必要不充分条件，则且．
设，，则，又．
由，得，因为，则，有，解得
因此a的取值范围为．
14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a，b都是正数．
(1)若，证明：；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据可得，再结合化简，利用基本不等式证明即可
（2）根据证明的不等式逆推即可
(1)证明：由，得，即
，
当且仅当时“=”成立．
所以．
(2)要证，
只需证，即证，
即证，
因为，所以上式成立，所以成立．
15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数，的解集为或．
(1)求实数、的值；
(2)若时，求函数的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）分析可知、是方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得、的值；
（2）求得，利用基本不等式可求得在上的最小值.
(1)解：因为关于的不等式的解集为或，
所以，、是方程的两个根，所以，，解得.
(2)解：由题意知，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，即时，等号成立
故函数的最小值为.
16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元
【解析】
【分析】
（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值.
(1)当时，；
当时，.
所以
(2)当时，.
当时，取得最大值，且最大值为950.
当时，当且仅当时，等号成立.
因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.