高考数学母题题源解密(全国通用)专题05古典概型与几何概型(理科)专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学母题题源解密(全国通用)专题05古典概型与几何概型(理科)专题练习(原卷版+解析)，共15页。试卷主要包含了古典概型，几何概型等内容，欢迎下载使用。

【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
【答案】.
【试题解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．故答案为：．
【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）列举法求古典概型的概率；（2）列表法求古典概型的概率；（3）树状图法求古典概型的概率．
【得分要点】
(1)理解古典概型及其概率计算公式.
(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
考向二 几何概型
【母题来源】2021年高考全国卷（理科）
【母题题文】在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【试题解析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．
【详解】
如图所示：
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以
【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率；
（4）由角度比求几何概型的概率.
【得分要点】
(1)能运用模拟方法估计概率.
(2)了解几何概型的意义.
一、单选题
1．（2022·河南许昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场） 、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“”的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）定义： ，当 时，称这个数为波动数，由组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）若在区间内随机取一个实数，则直线与双曲线的左、右两支各有一个交点的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（ ）.
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）
12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对，再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对的个数m，最后再根据m来估计的值．假如统计结果是，那么的估计值为______．
13．（2022·河南·模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m不放回，再从余下的卡片中取一张记作n．则点在第二象限的概率为______．
14．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________________
专题05 古典概型与几何概型
考向一 古典概型
【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
【答案】.
【试题解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．故答案为：．
【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）列举法求古典概型的概率；（2）树状图法求古典概型的概率．
【得分要点】
(1)理解古典概型及其概率计算公式.
(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
考向二 几何概型
【母题来源】2021年高考全国卷（理科）
【母题题文】在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【试题解析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．
【详解】
如图所示：
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以
【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率；
（4）由角度比求几何概型的概率.
【得分要点】
(1)能运用模拟方法估计概率.
(2)了解几何概型的意义.
一、单选题
1．（2022·河南许昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出甲单独去分配的社区，甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，从而得到总的分配方法，再计算出甲乙分配到同一舍去的方法，得到乙与甲分配到不同社区的方法，根据古典概型求概率公式进行计算.
【详解】
甲单独去分配的社区，有将乙，丙，丁三人分为两组，再和另外两个社区进行全排列，有种方法；
甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，其余两人和另外两个社区进行全排列，有种方法；
其中甲乙分配到同一社区的方法有种，
则乙与甲分配到不同社区的方法有种，
所以乙与甲分配到不同社区的概率是
故选：B
2．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
列举出三人所有工作日，由古典概型公式可得.
【详解】
解：甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10，…，29.
乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10，…，30.
丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9，…，29.
在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29
∴三人同一天工作的概率为．
故选：B．
3．（2022·辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由对立事件的概率公式计算．
【详解】
没有买到中国疫苗的概率为，
所以买到中国疫苗的概率为．
故选：D．
4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由古典概型与对立事件的概率公式求解即可
【详解】
因为每所高校至少对接两家用人单位，所以每所高校共有种选择，
所以甲、乙两所高校共有种选择，
其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有种，
所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为，故选：D
5．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场） 、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出这六个国家的所有可能出场的顺序的排列数，再求出乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的排列数，将即乌兹别克斯坦、安道尔看作一个国家，利用捆绑法，根据古典概型的概率公式求得答案.
【详解】
由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有种，
其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有种 ,
故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为 ，
故选：B
6．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据古典概型概率计算公式即可得结果.
【详解】
依题意，样本空间包含样本点为52，抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16，
所以抽到的牌为“红桃”或“”的概率为，故选：C.
7．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）定义： ，当 时，称这个数为波动数，由组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断出由组成的没有重复数字的五位数有120种，列举出波动数有
个，即可求出波动数的概率.
【详解】
由组成的没有重复数字的五位数一共有种.
而构成波动数，需满足，有：31425，31524，41325，41523，51324，51423，32415，32514，42315，42513，52314，52413，21435，21534，53412，43512一共16个.
所以波动数的概率为.
故选：B.
8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设在上取的两数为x，y，满足，画出不等式表示的平面区域，结合面积比的几何概型，即可求解.
【详解】
设在上取的两数为x，y，则，即，或．画出可行域，如图所示，
则，或所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为，故所求概率；
故选：C.
9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）若在区间内随机取一个实数，则直线与双曲线的左、右两支各有一个交点的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出的取值范围，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
双曲线的渐近线斜率为，则，即，故所求概率为，
故选：B.
10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
从早上7点开始计时，设甲经过十分钟到达，乙经过十分钟到达，可得、满足的不等式线组对应的平面区域为如图的正方形，而甲乙能够见面，、满足的平面区域是图中的四边形．分别算出图中正方形和四边形的面积，根据面积型几何概型的概率公式计算可得．
【详解】
解：从早上7点开始计时，设甲经过十分钟到达，乙经过十分钟到达，
则、满足，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形，
若甲乙能够见面，则、满足，
该不等式对应的平面区域是图中的四边形，
，
因此，甲乙能见面的概率
故选：B．
二、填空题
11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）
【答案】
【解析】
【分析】
先计算总共的选择数，再计算三个核酸检测点都有志愿者到位的数量，即可得答案.
【详解】
解：四个志愿者总的选择共种，
要满足三个核酸检测点都有志愿者到位，则必有2个人到同一核酸检测点，故从4人中选择2人出来，共有种，再将这2人看成整体1人和其他2人共3人，选择三个核酸检测点，共种，
所以，所以.
故答案为：.
12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对，再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对的个数m，最后再根据m来估计的值．假如统计结果是，那么的估计值为______．
【答案】3.2
【解析】
【分析】
表示的点构成一个正方形区域，x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对表示的点构成图中阴影部分，分别求出其面积，由几何概型概率公式求得其概率后可得．
【详解】
表示的点构成一个正方形区域，如图正方形（不含边界），x、y两数能与1构成钝角三角形满足条件，表示的点构成的区域是图中阴影部分（不含边界），
因此所求概率为，估计．
故答案为：3.2
13．（2022·河南·模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m不放回，再从余下的卡片中取一张记作n．则点在第二象限的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
列出所有可能的情况，根据古典概型的方法求解即可
【详解】
由题，点所有可能的情况为，，，，，，，，，，，共12种情况，其中在第二象限的为，，故点在第二象限的概率为
故答案为：
14．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________________．
【答案】
【解析】
先把两人能够会合转化为几何概型，利用几何概型的概率公式直接求解.
【详解】
设小明到达的时刻为8时x分，小强到达的时刻为8时y分，其中，
则当|x-y|≤10时，两人能够在图书馆门口会合.
如图示：两人到达时刻（x，y）构成正方形区域，记面积为S,而事件A：两人能够在图书馆门口会合构成阴影区域，记其面积为S1
所以.
故答案为：.
【点睛】
（1）几何概型的两个特征——无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型；
（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比