高考数学母题题源解密(全国通用)专题09直线与圆专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学母题题源解密(全国通用)专题09直线与圆专题练习(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了求圆的方程，直线与圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。

【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科）
【母题题文】过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
【试题解析】解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
【命题意图】本题考查圆的一般方程的形式，通过解方程组求一般方程中的系数.
【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为低档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系.
【得分要点】
（1）正确写出圆的一般方程的形式；
（2）解方程组；
（3）一般式转化为标准式.
考向二 直线与圆的位置关系
【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）
【母题题文】 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【试题解析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.
【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空题出现，多为低档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系.
【得分要点】
（1）正确写出圆的标准方程；
（2）求出圆心到直线的距离；
（3）由直线与圆的位置关系确定圆心到直线的距离与半径之间的关系.
一、单选题
1．（湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二下学期期末数学试题）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（2022·四川乐山·高一期末）圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·四川成都·模拟预测（文））直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（ ）条
A．10B．9
C．8D．7
4．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·模拟预测）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．4C．D．
6．（2022·全国·模拟预测）若圆与单位圆恰有三条公切线，则实数a的值为（ ）
A．B．2C．D．
7．（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知点A（2，0），B（0，﹣1），点是圆x2+（y﹣1）2＝1上任意一点，则 面积最大值为（ ）
A．2B．C．D．
8．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知圆与抛物线的准线相切，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2022·江苏南京·模拟预测）已知中，，，点在直线上，的外接圆圆心为，则直线的方程为______．
12．（2022·天津二中模拟预测）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________．
13．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））直线被圆O；截得的弦长最短，则实数m=___________.
14．（2022·上海静安·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为____________．
15．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数（其中e是自然对数的底数），若在平面直角坐标系xOy中，所有满足的点都不在圆C上，则圆C的方程可以是______（写出满足条件的一个圆的方程即可）．
三、解答题
16．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知动点是曲线上任一点，动点到点的距离和到直线的距离相等，圆的方程为．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)设、、是上的三个点，直线、均与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
17．（2022·四川成都·模拟预测（理））点P为曲线C上任意一点，直线l：x＝－4，过点P作PQ与直线l垂直，垂足为Q，点，且．
(1)求曲线C的方程；
(2)过曲线C上的点作圆的两条切线，切线与y轴交于A，B，求△MAB面积的取值范围．
18．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．
(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
专题09 直线与圆
考向一 求圆的方程
【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科）
【母题题文】过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
【试题解析】解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或；
【命题意图】本题考查圆的一般方程的形式，通过解方程组求一般方程中的系数.
【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为低档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系.
【得分要点】
（1）正确写出圆的一般方程的形式；
（2）解方程组；
（3）一般式转化为标准式.
考向二 直线与圆的位置关系
【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）
【母题题文】 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【试题解析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.
【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空题出现，多为低档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系.
【得分要点】
（1）正确写出圆的标准方程；
（2）求出圆心到直线的距离；
（3）由直线与圆的位置关系确定圆心到直线的距离与半径之间的关系.
一、单选题
1．（湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二下学期期末数学试题）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由直线与直线垂直求出的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】
直线与直线垂直,
则，解得：或，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：B.
2．（2022·四川乐山·高一期末）圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为3
设点关于直线的对称点为，
则 ，解之得
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为
则该圆的方程为，
故选：D．
3．（2022·四川成都·模拟预测（文））直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（ ）条
A．10B．9
C．8D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
求出过定点的直线与圆的最短弦长为，最长的弦长为直径10，则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径10，也恰有1条，弦长为7，8，9的直线各有2条，即可求出答案.
【详解】
直线过定点，圆半径为5，
最短弦长为，恰有一条，但不是整数；
弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去；
最长的弦长为直径10，也恰有1条；
弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条，
故选：C．
4．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
圆心到直线的距离为，则,而，所以，解方程即可求出答案.
【详解】
圆的圆心，
所以圆心到直线的距离为，则，
而，所以，解得：.
故选：B.
5．（2022·全国·模拟预测）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可.
【详解】
由题意圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为.
故选：A.
6．（2022·全国·模拟预测）若圆与单位圆恰有三条公切线，则实数a的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系，圆心距.
【详解】
由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公切线），因此圆心距，结合解得．
故选：C.
7．（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知点A（2，0），B（0，﹣1），点是圆x2+（y﹣1）2＝1上任意一点，则 面积最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合点到直线距离公式及图形求出圆上点到直线距离的最大值，由此可求面积的最大值.
【详解】
由已知，
要使的面积最大，只要点P到直线的距离最大．
由于AB的方程为1，即x﹣2y﹣2＝0，
圆心（0，1）到直线AB的距离为d，
故P到直线AB的距离最大值为1，
所以面积的最大值为，
故选：D．
8．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用切线长定理求出四边形周长最小时点M的坐标即可求解作答.
【详解】
圆的圆心，半径，点C到直线l的距离，
依题意，，四边形周长，
当且仅当时取“=”，此时直线，由得点，
四边形的外接圆圆心为线段中点，半径，方程为.
故选：D
9．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求解圆，的公共弦方程，再计算圆中的公共弦长即可得圆C的直径，进而求得面积即可
【详解】
由题，圆，的公共弦为和的两式相减，化简可得，又到的距离 ，故公共弦长为，故圆C的半径为，故圆C的面积为
故选：B
10．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知圆与抛物线的准线相切，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切可得，求解即可．
【详解】
因为圆的圆心为，半径为
抛物线的准线为，所以，即，
故选：A.
二、填空题
11．（2022·江苏南京·模拟预测）已知中，，，点在直线上，的外接圆圆心为，则直线的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
圆心到点的距离即为半径，可得到外接圆的方程，联立圆的方程与直线的方程，得到点坐标，利用直线方程两点式即可求解.
【详解】
因为的外接圆圆心为，所以的外接圆半径为，
即的外接圆方程为．
联立，解得，或，
所以或（与点重合），舍，
所以直线的方程为，即．
故答案为：.
12．（2022·天津二中模拟预测）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________．
【答案】
【解析】
【分析】
将圆的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.
【详解】
由题可知：
，即
且
由两圆向外切可知，解得
所以
到直线的距离为，设圆的半径为
则直线被圆所截的弦长为
故答案为：
13．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））直线被圆O；截得的弦长最短，则实数m=___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
求出直线MN过定点A（1,1），进而判断点A在圆内，当时，|MN|取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可.
【详解】
直线MN的方程可化为，
由，得，
所以直线MN过定点A（1，1），
因为，即点A在圆内.
当时，|MN|取最小值，
由，得，∴，
故答案为：1.
14．（2022·上海静安·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件得出双曲线的渐近线方程及圆的圆心和半径，进而得出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线与圆相切，得出圆心到渐近线的距离等于半径，结合双曲线中三者之间的关系即可求解.
【详解】
由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即.
由圆的方程为，得圆心为，半径为.
因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为.
又因为双曲线的两条渐近线均与圆相切，
所以，即，解得.所以,
所以该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
15．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数（其中e是自然对数的底数），若在平面直角坐标系xOy中，所有满足的点都不在圆C上，则圆C的方程可以是______（写出满足条件的一个圆的方程即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据题意，得到，且关于点中心对称，得到，进而化简得到，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数在上单调递增，且，
所以曲线关于点中心对称，所以，即，
在平面直角坐标系中所有满足，即的点都不在圆C上，
所以圆C上的点都满足，即圆在表示的半平面内，
故圆C可以是以原点为圆心，半径为1的圆，圆C的方程可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
三、解答题
16．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知动点是曲线上任一点，动点到点的距离和到直线的距离相等，圆的方程为．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)设、、是上的三个点，直线、均与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)若直线、与圆相切，则直线与圆相切，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的定义可得出曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，进而可求得曲线的方程；
（2）分析可知直线、、的斜率都存在，设、、，其中、、两两互不相等，利用二次方程根与系数的关系以及点到直线的距离公式以及几何法判断可得出结论.
(1)解：由题设知，曲线上任意到点的距离和到直线的距离相等，
因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故曲线的方程为.
(2)解：若直线的斜率不存在，则直线与曲线只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线、、的斜率都存在，
设、、，则、、两两互不相等，
则，同理，，
所以直线方程为，整理得，
同理可知直线的方程为，
因为直线与圆相切，则，
整理可得，同理可得，
所以、为方程的两根，则，
所以，，，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切. 综上，若直线、与圆相切，则直线与圆相切.
【点睛】
方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
17．（2022·四川成都·模拟预测（理））点P为曲线C上任意一点，直线l：x＝－4，过点P作PQ与直线l垂直，垂足为Q，点，且．
(1)求曲线C的方程；
(2)过曲线C上的点作圆的两条切线，切线与y轴交于A，B，求△MAB面积的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）设点，通过得到等式关系，化简求得曲线方程；
（2）设切线方程，通过点到切线的距离，化简成的一元二次方程，再韦达定理得出与的等式关系，再求出弦长，消去，再求面积即可．
(1)设，由，得，两边平方得，
所以曲线C的方程为；
(2)设点的切线方程为（斜率必存在），圆心为，r＝1
所以到的距离为：
平方化为，设PA，PB的斜率分别为，
则，
因为PA：，令x＝0有，同理
所以
又因为代入上式化简为
所以，
令，，求导知在为增函数，所以．
18．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．
(1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
【答案】(1)或(2)
【解析】
【分析】
（1）求出圆心的坐标，设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求出相应的参数值，即可得出所求切线的方程；
（2）设点，由已知可得，分析可知圆与圆有公共点，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
(1)解：联立，解得，即圆心，所以，圆的方程为.
若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时直线与圆相离，不合乎题意；
所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，解得或.
故所求切线方程为或，即或.
(2)解：设圆心的坐标为，则圆的方程为，
设点，由可得，
整理可得，
由题意可知，圆与圆有公共点，所以，，
即，解得.
所以，圆心的横坐标的取值范围是.