高考数学母题题源解密(全国通用)专题11数列专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学母题题源解密(全国通用)专题11数列专题练习(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了等差数列，等比数列，等差数列、等比数列综合应用等内容，欢迎下载使用。

【母题来源】2022年高考全国I卷
【母题题文】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式； （2）证明：．
【试题解析】【小问1详解】
∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，∴,
整理得：,即,∴
，
显然对于也成立，∴的通项公式；
【小问2详解】

∴
【命题意图】本题考查利用等差数列的通项公式、累乘法及裂项求和法.
【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的必考题型．常见的命题角度有：
（1）等差数列通项公式的求法；（2）等差数列前n项和公式的求法；
【得分要点】
（1）掌握等差数列通项公式求法的几种形式；
（2）掌握等差数列前n项和公式求法的几种形式；
考向二 等比数列
【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14B. 12C. 6D. 3
【试题解析】详解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.故选：D.
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式的简单运算.
【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）等比数列通项公式的求法；（2）等比数列前n项和公式的求法；
【得分要点】
（1）掌握等差数列通项公式的求法；
（2）掌握等差数列前n项和公式的求法；
考向三 等差数列、等比数列综合应用
【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】记为数列前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
【试题解析】【小问1详解】
解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
【小问2详解】
解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
【命题意图】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现．多为中档题，数列是历年高考的热点，主要考查数列的通项公式及前n项和.
【得分要点】
高考命制综合题时，常将等差、等比数列结合在一起，形成两者之间的相互联系和相互转化，破解这类问题的方法是首先寻找通项公式，利用性质之间的对偶与变式进行转化．
一、单选题
1．（江西省抚州市2021-2022学年高二下学期学生学业发展水平测试（期末）数学（理）试题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．44B．33C．66D．55
2．（重庆市长寿区2021-2022学年高二下学期期末数学（B）试题）在等差数列中，，则的值是（ ）
A．36B．48C．72D．24
3．（北京市海淀区2021-2022学年高二下学期学业水平调研数学试题）已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（广东省肇庆市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）等比数列中的项，是函数的极值点，则（ ）
A．3B．C．D．
5．（2022·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知数列满足，且，，则（ ）
A．2021B．C．D．
7．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·河南·模拟预测（理））《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
9．（2022·上海市实验学校模拟预测）.定义规范数列如下：共有项，其中项为，项为，且对任意，中的个数不少于的个数.若，则不同的“规范数列”共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
10．（2022·山西太原·三模（理））斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的： 已知 是该数列的第100项，则m=（ ）
A．98B．99
C．100D．101
二、填空题
11．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.
12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.
13．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．
三、解答题
14．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
15．（2022·全国·模拟预测）已知是等比数列，，，．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，求使得的正整数n的所有取值．
16．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
专题11 数列
考向一 等差数列
【母题来源】2022年高考全国I卷
【母题题文】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式； （2）证明：．
【试题解析】【小问1详解】
∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，∴,
整理得：,即,∴
，
显然对于也成立，∴的通项公式；
【小问2详解】

∴
【命题意图】本题考查利用等差数列的通项公式、累乘法及裂项求和法.
【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的必考题型．常见的命题角度有：
（1）等差数列通项公式的求法；（2）等差数列前n项和公式的求法；
【得分要点】
（1）掌握等差数列通项公式求法的几种形式；
（2）掌握等差数列前n项和公式求法的几种形式；
考向二 等比数列
【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14B. 12C. 6D. 3
【试题解析】详解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.故选：D.
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式的简单运算.
【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）等比数列通项公式的求法；（2）等比数列前n项和公式的求法；
【得分要点】
（1）掌握等差数列通项公式的求法；
（2）掌握等差数列前n项和公式的求法；
考向三 等差数列、等比数列综合应用
【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】记为数列前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
【试题解析】【小问1详解】
解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
【小问2详解】
解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
【命题意图】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现．多为中档题，数列是历年高考的热点，主要考查数列的通项公式及前n项和.
【得分要点】
高考命制综合题时，常将等差、等比数列结合在一起，形成两者之间的相互联系和相互转化，破解这类问题的方法是首先寻找通项公式，利用性质之间的对偶与变式进行转化．
一、单选题
1．（江西省抚州市2021-2022学年高二下学期学生学业发展水平测试（期末）数学（理）试题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．44B．33C．66D．55
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式和条件求出，然后利用等差数列的求和可得答案.
【详解】
设等差数列的公差为，因为为等差数列，所以，
得，所以.
故选：D.
2．（重庆市长寿区2021-2022学年高二下学期期末数学（B）试题）在等差数列中，，则的值是（ ）
A．36B．48C．72D．24
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等差中项的性质求得，再由即可得结果.
【详解】
由题设，，则，
所以.
故选：A
3．（北京市海淀区2021-2022学年高二下学期学业水平调研数学试题）已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由求出公比的取值范围，然后结合等比数列的通项即可判断数列的单调性，举出反例说明为递减数列不一定能得到，再根据充分条件和必要条件即可得出答案.
【详解】
解：设数列的公比为，
若，
则，所以，
则，
，所以，
所以为递减数列；
若为递减数列，
当时，，数列为递减数列，
此时，
所以由为递减数列不一定能得到，
所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．（广东省肇庆市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）等比数列中的项，是函数的极值点，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意确定函数的极值点，进而得到，然后根据等比中项求得答案.
【详解】
由题意，，则时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数的两个极值点，故，是的两个根，所以，所以，又，所以，，设公比为，，所以.
故选：D.
5．（2022·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对于等比数列，注意相邻项加减所成的数列含0的情况判断①③即可.
【详解】
若，，，为，则不为等比数列，①不符合；
由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合；
若，，，为，则不为等比数列，③不符合；
故选：B
6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知数列满足，且，，则（ ）
A．2021B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意整理得，结合等差数列通项公式可得，再利用裂项相消运算处理．
【详解】
∵，即，则
∴数列是以首项，公差的等差数列
则，即
∴
则
故选：B．
7．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出，得到，利用裂项相消法求和.
【详解】
因为，
所以.
所以前5项和为
故选：D
8．（2022·河南·模拟预测（理））《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意构造等差数列，设公差为d，利用基本量代换求出通项公式，然后求.
【详解】
小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得：
，解得：
所以，所以，
即春分时节的日影长为4.5.故选：A
【点睛】
(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换.
9．（2022·上海市实验学校模拟预测）.定义规范数列如下：共有项，其中项为，项为，且对任意，中的个数不少于的个数.若，则不同的“规范数列”共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数列新定义确定首末项分别为0、1，应用分类讨论及组合数求总排法数.
【详解】
依题意，由“规范01数列”得：第一项为0，第项为1，
当时，只需确定中间的6个元素即可，且知中间的6个元素有3个“0”和3个“1”.
①若0后接00，如：0 0 0 1.
后面四个空位可以随意安排3个1和1个0，则有种；
②若0后接01，如：0 0 1 1.
后面四个空位可以排的数字为2个“0”和2个“1”，只有一种情形不符合题意，即01后面紧接11，除此外其它的情形故满足要求，因此排法有种；
③若0后接10，如：0 1 0 1.
在10后若接0，则后面有种；
在10后若接1，即0 1 0 1 0 1，第五个数字一定接0，另两个位置0、1随意排，有种；
综上，满足题意的排法有种.
故选：C.
10．（2022·山西太原·三模（理））斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的： 已知 是该数列的第100项，则m=（ ）
A．98B．99
C．100D．101
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意推出，，，，
利用累加法可得，即可求出m的值.
【详解】
由题意得，，因为，
得，
，
，
，
累加，得，
因为是该数列的第100项，
即是该数列的第100项，所以.
故选：B.
二、填空题
11．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列满足，，，则数列的前20项和为___________.
【答案】330
【解析】
【分析】
分别讨论为奇数时，数列的通项公式与为偶数时，数列的通项公式，再利用分组求和法代入求和即可.
【详解】
由题意，当为奇数时，，
所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，
当为偶数时，，
所以数列是公差为，首项为的等差数列，
所以，
，
故答案为：330
12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
运用等比数列的相关性质，以及前n项和公式来进行相关运算即可.
【详解】
∵，∴，∴，∵，
∴，，
将代入，可得.
故答案为：
13．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先分离参数将问题转化为对于任意恒成立，进而转化为，构造，再作差判定单调性求出数列的最值，进而求出的取值范围.
【详解】
因为，且对于任意恒成立，
所以对于任意恒成立，即，
令，则，
因为，，，
且对于任意恒成立，
所以，即，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
14．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
【答案】(1)证明见解析(2)7
【解析】
【分析】
（1）根据化简整理，解得等差数列定义处理；（2）根据，，并代入运算求解．
(1)因为，
所以，即，
则．
又，，满足，
所以是公差为4的等差数列．
(2)由（1）得，，
则．
又，
所以，
化简得，解得m＝7或（舍）．
所以m的值为7．
15．（2022·全国·模拟预测）已知是等比数列，，，．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，求使得的正整数n的所有取值．
【答案】(1)或；
(2)答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）设的公比为，由等比数列的性质，列出方程即可解出，或，从而得出的通项公式；
（2）由等比数列前项和公式求出，即可解出不等式．
(1)
因为为等比数列，所以，又，所以．
设的公比为，因为，
所以，化简得，解得或．
当时，．当时，．
(2)当时，．
由，得，化简得．
易知，当时，不等式显然不成立，检验可知，满足不等式的正整数n的所有取值为1，2，3，4．
当时，，由，得，此时n的取值为一切正整数．
16．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.
试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，于是≤1+13+⋯+13n−1=，
所以.
【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.