新高考数学之圆锥曲线综合讲义第26讲外接圆问题(原卷版+解析)

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1．已知抛物线，是的准线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）当点在轴上时，求切线，的方程；
（2）设圆是的外接圆，当圆的面积最小时，求圆的方程．
2．已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．
（Ⅰ）求动圆的圆心轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与曲线相交于，两点，分别过点，作曲线的切线，，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值．
3．已知椭圆的两个焦点分别为和，，、是椭圆短轴的两端点，过点的直线与椭圆相交于另一点，且
求椭圆的离心率；
设直线上有一点，在△的外接圆上，求的值．
4．已知椭圆经过点，且其离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的右焦点，椭圆与轴的正半轴相交于点，经过点的直线与椭圆相交于另一点，且满足，求外接圆的方程．
5．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过抛物线的焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点关于轴的对称点为，过作两条直线和，其斜率分别为、，满足，，它们分别是椭圆的上半部分相交于，两点，与轴相交于，两点，使得，求证：的外接圆过点；
（3）设抛物线的准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，线段的中点为，点在上的投影为，求的最大值．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、．
（Ⅰ）当时，求以，为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作直线交于点，记的外接圆为圆．
①求证：圆心在定直线上；
②圆是否恒过异于点的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
7．已知的边边所在直线的方程为点关于点的对称点为，点在边所在直线上且满足．
求边所在直线的方程；
求的外接圆的方程；
若点的坐标为，其中为正整数．试讨论在的外接圆上是否存在点，使得成立？说明理由．
8．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，，．
（Ⅰ） 证明：为定值；
（Ⅱ） 记的外接圆的圆心为点，点是抛物线的焦点，对任意实数，试判断以为直径的圆是否恒过点？并说明理由．
9．已知抛物线，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
（1）当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程；
（2）若，是上的任意点，求证：点处的切线的斜率为；
（3）证明：以为直径的圆恒过点．
10．（2020•广州一模）已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且．
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是的外接圆的圆心，求点的轨迹方程．
第26讲 外接圆问题
一．解答题
1．已知抛物线，是的准线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）当点在轴上时，求切线，的方程；
（2）设圆是的外接圆，当圆的面积最小时，求圆的方程．
【解答】解：（1）抛物线，准线的方程，
点在轴上，
，
设，，，，且，
由，求导，
，
解得，
切线的方程为，即，
同理可得切线的方程为，
（2）如图：设点，
设过点与抛物线相切的直线方程为，
由
△．
，
即切线，互相垂直．即是直角三角形，的外接圆直径为弦．
当圆的面积最小时，即是最短时，
，此时垂直轴，的外接圆圆心为，
圆的方程为．
2．已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．
（Ⅰ）求动圆的圆心轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与曲线相交于，两点，分别过点，作曲线的切线，，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设点到直线的距离为，依题意．
设，则有．
化简得．
所以点的轨迹的方程为．
（Ⅱ）设，
代入中，得．
设，，，，
则，．
所以．
因为，即，所以．
所以直线的斜率为，直线的斜率为．
因为，
所以，即为直角三角形．
所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径．
因为，
所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为．
3．已知椭圆的两个焦点分别为和，，、是椭圆短轴的两端点，过点的直线与椭圆相交于另一点，且
求椭圆的离心率；
设直线上有一点，在△的外接圆上，求的值．
【解答】解：（Ⅰ），且，
是和的中点，
不妨设，由，
，代入得：，
，即椭圆的离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，得，，
椭圆的方程可设为．
若，则，
线段 的垂直平分线的方程为，
直线与轴的交点是△外接圆的圆心．
因此，外接圆的方程为．
直线的方程为，于是点的坐标满足方程组：
，由，解得．
故；
若，则，
同理可得．
．
4．已知椭圆经过点，且其离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的右焦点，椭圆与轴的正半轴相交于点，经过点的直线与椭圆相交于另一点，且满足，求外接圆的方程．
【解答】解：（1）椭圆经过点，，①
椭圆的离心率为，，即②
联立①②解得：，，
椭圆的方程为；
（2）椭圆的方程为，
，．
设，，则，③
，且，
，即，④
联立③④解得：，或，
，或，
当为时，，
的外接圆是以为圆心，1为半径的圆，
此时外接圆的方程为：；
当为时，设的外接圆方程为：，
则，解得，
此时外接圆的方程为：，
综上所述，的外接圆的方程为：或．
5．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过抛物线的焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点关于轴的对称点为，过作两条直线和，其斜率分别为、，满足，，它们分别是椭圆的上半部分相交于，两点，与轴相交于，两点，使得，求证：的外接圆过点；
（3）设抛物线的准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，线段的中点为，点在上的投影为，求的最大值．
【解答】（1）解：由已知，设椭圆的方程为，则，
离心率为，
，
，
椭圆的方程为；
（2）证明：由题意，，并且和，关于轴对称，
与，与也分别关于轴对称，
的方程代入椭圆方程，可得，
或，
，
或，
直线是椭圆的上半部分相交，
，
，
和的方程分别为或，
令，可得，，
，
，，，四点共圆，
的外接圆过点；
（3）设，则，，
由抛物线的定义及梯形的中位线定理可得，
时，的最大值为．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、．
（Ⅰ）当时，求以，为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作直线交于点，记的外接圆为圆．
①求证：圆心在定直线上；
②圆是否恒过异于点的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，当时，中点为，所以
，
椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）①证明：直线；；
所以可得，，，
直线交于点，
设的外接圆的方程为，则
圆心坐标为
圆心在定直线上；
②由①可得圆的方程为：
整理可得
，且
联立此两方程解得，或，
圆恒过异于点的一个定点，该点的坐标为，．
7．已知的边边所在直线的方程为点关于点的对称点为，点在边所在直线上且满足．
求边所在直线的方程；
求的外接圆的方程；
若点的坐标为，其中为正整数．试讨论在的外接圆上是否存在点，使得成立？说明理由．
【解答】解：，又在上，为，（1分）
又边所在直线的方程为，所以直线的斜率为．（2分）
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．即．（3分）
与的交点为，所以由解得点的坐标为，（5分）（6分）
又．（7分）
从外接圆的方程为：．（8分）
若在的外接圆圆上存在点，使得成立，则为线段的垂直平分线与圆的公共点．所以当与圆相离时，不存在满足条件的点；当与圆相交或相切时则存在满足条件的点．
由，，知的斜率为，线段的中点为
线段的垂直平分线为（10分）
圆的圆心到直线的距离为
（11分）
当时，，此时直线与圆相交，存在满足条件的点
当时，此时直线与圆相交，存在满足条件的点
当时，
此时直线与圆相离，不存在满足条件的点．（14分）
8．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，，．
（Ⅰ） 证明：为定值；
（Ⅱ） 记的外接圆的圆心为点，点是抛物线的焦点，对任意实数，试判断以为直径的圆是否恒过点？并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）证明：法1：由，得，所以．所以直线的斜率为．
因为点，和，在抛物线上，所以，．
所以直线的方程为．（1分）
因为点在直线上，
所以，即．（2分）
同理，．（3分）
所以，是方程的两个根．
所以．（4分）
又，（5分）
所以为定值．（6分）
法2：设过点且与抛物线相切的切线方程为，（1分）
，消去得，
由△，化简得．（2分）
所以．（3分）
由，得，所以．
所以直线的斜率为，直线的斜率为．
所以，即．（4分）
又，（5分）
所以为定值．（6分）
（Ⅱ） 法1：直线的垂直平分线方程为，（7分）
由于，，
所以直线的垂直平分线方程为．①（8分）
同理直线的垂直平分线方程为．②（9分）
由①②解得，，
所以点．（10分）
抛物线的焦点为，则．
由于，（11分）
所以．
所以以为直径的圆恒过点．（12分）
另法：以为直径的圆的方程为．（11分）
把点代入上方程，知点的坐标是方程的解．
所以以为直径的圆恒过点．（12分）
法2：设点的坐标为，
则的外接圆方程为，
由于点，，，在该圆上，
则，．
两式相减得，①（7分）
由（Ⅰ）知，代入上式得，（8分）
当时，得，②
假设以为直径的圆恒过点，则，即，，，
得，③（9分）
由②③解得，（10分）
所以点．（11分）
当时，则，点．
所以以为直径的圆恒过点．（12分）
9．已知抛物线，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
（1）当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程；
（2）若，是上的任意点，求证：点处的切线的斜率为；
（3）证明：以为直径的圆恒过点．
【解答】解：（1）当的坐标为时，
设过点的切线方程为，代入，整理得，
令△，解得，
代入方程得，故得，，
因为到的中点的距离为2，
从而过，，三点的圆的方程为．
（2）证明：抛物线，导数为，
可得，是上的任意点，
点处的切线的斜率为；
（3）证明：设切点分别为，，，，
，，
切线的方程为，即，
切线的方程为，即，
又因为切线过点，，
所以得，①
又因为切线也过点，，
所以得，②
所以，是方程的两实根，
由韦达定理得，，
因为，，，，
所以
，
将，代入，得，
则以为直径的圆恒过点．
10．（2020•广州一模）已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且．
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是的外接圆的圆心，求点的轨迹方程．
【解答】解：（1）由抛物线的方程可得顶点，由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，，，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，△，即，
，，，，
因为，，，
而，所以，解得，满足判别式大于0，
即直线方程为，所以恒过
可得点在直线上．
（2）因为点是的外接圆的圆心，所以点是三角形三条边的中垂线的交点，
设线段的中点为，线段的中点为为，
因为，设，，，
所以，，，，，，
所以线段的中垂线的方程为：，
因为在抛物线上，所以，
的中垂线的方程为：，即，
同理可得线段的中垂线的方程为：，
联立两个方程，解得，
由（1）可得，，
所以，，
即点，所以，
即点的轨迹方程为：．