广西大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份广西大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解决本题的关键；
根据一元二次方程的概念进行判断即可；
【详解】解：A、选项中有两个未知数，所以不是一元二次方程；
B、选项中有两个未知数，所以不是一元二次方程；
C、选项中未知数出现在分母里，不是整式方程所以不是一元二次方程；
D 、选项中未知数只有一个并且未知数的次数最高为2次，所以是一元二次方程；
故选：D．
2. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．
3. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）

A. B. 30°C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】解：四边形内接于，
，
，
，
故选：D．
4. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ）
A. （2，4）B. （－2，－4）C. （－4，2）D. （4，－2）
【答案】A
【解析】
【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得，
∴二次函数解析式为．
∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A．
5. 若是方程的两个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
6. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7. 据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，
由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：由旋转的性质可得出，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A. B. 4C. 0D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解；∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故选：A．
10. 已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴；
故选：D．
11. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）

A. 50cmB. 30cmC. 25cmD. 20cm
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，，

在中，由勾股定理，得：，
解得：；
故选C．
12. 如图，抛物线m：y＝ax2+b（a0，b0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ）
A. ab＝﹣2B. ab＝﹣3C. ab＝﹣4D. ab＝﹣5
【答案】B
【解析】
【分析】利用矩形性质得出要使平行四边形是矩形,必须满足AB=BC,继而可求出a、b满足的关系．
【详解】解：令x＝0，得：y＝b．
∴C（0，b）．
令y＝0，得：ax2+b＝0，
∵，
∴x＝±，
∴A（﹣，0），B（，0），
∴AB＝2，BC＝,
要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC，
∴,
∴，
∴ab＝﹣3,
∴a，b应满足关系式ab＝﹣3,
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数、平行四边形的性质，灵活利用平行四边形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 抛物线的顶点坐标是________________________________．
【答案】
【解析】
【分析】二次函数顶点式：，顶点坐标为（h，k），即可完成.
【详解】二次函数顶点式：，顶点坐标为（h，k）
∴抛物线的顶点坐标是
故答案为
【点睛】本题考查二次函数顶点式求顶点坐标，难度低，属于基础知识，熟练掌握相关知识点是解题关键.
14. 一元二次方程化为一般形式之后，则一次项的系数为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，进行作答即可．
【详解】解：，
∴，
∴一次项的系数为；
故答案为：．
15. 抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案．
【详解】解：抛物线其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称．
16. 一元二次方程的解为__________．
【答案】x=或x=2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可．
【详解】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x=,
故答案为:x=或x=2．
【点睛】本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论．
17. 点F是正五边形边DE的中点，连接并延长与CD延长线交于点G，则的度数为______．

【答案】##18度
【解析】
【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：连接，，

∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵在正五边形中，，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
18. 《九章算术》中记载：“今有勾六步，股八步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为6步，股（长直角边）长为8步，则该直角三角形内切圆的直径是等于______步．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，根据切线长定理结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
由题意可得、、与相切，，，
∴，，
∴四边形为矩形，，
又∵，
∴矩形为正方形，
设半径为，则，
∴，，
∴，
解得，
∴圆的直径为步，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂、立方根等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
先根据乘方、零次幂、负整数次幂、立方根化简，然后再进行计算即可．
【详解】解：，
，
．
20. 解一元二次方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
∴或，
∴．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）将绕原点逆时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．
【答案】（1）作图见解析，
（2）作图见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称作图、旋转作图等知识点，根据题意找到三角形顶点的对应点成为解题的关键．
（1）先根据中心对称的定义得到A、B、C的对称点，然后顺次连接即可完成作图；最后再确定点的坐标即可；
（2）先根据中心对称的定义得到A、B、C的对称点，然后顺次连接即可完成作图；最后再确定点的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图：即为所求；点的坐标．
【小问2详解】
解：如图：即为所求；点的坐标．
22. 如图，在中，，以为直径的分别交于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图，连接，利用圆周角定理推知是等腰等边上的高线，结合等腰三角形的性质证得结论；
（2）如图，连接，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角 的度数，然后利用弧长公式进行解答．
【小问1详解】
证明：如图，连接．

∵是圆O的直径，
∴， 即．
又∵，
∴是边上的中线，
∴；
【小问2详解】
连接，
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴ 的长为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质．通过作辅助线，利用圆周角定理（或圆半径相等）的性质求得相关角的度数是解题的难点．
23. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】（1），球不能射进球门
（2）当时他应该带球向正后方移动1米射门
【解析】
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
【小问2详解】
设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
24. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含30°的直角三角形性质，是解决问题的关键．
（1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得；
（2）由直径性质可得，推出，根据含30°直角三角形性质得到，根据，得到．
【小问1详解】
证明：∵连接，则，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
25. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
【答案】（1）①；②当时，有最小值为（2）见解析（3）正确，
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；
（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；
（3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可．
【详解】解：（1）①把代入，得：
；
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为；
（2）∵，
∵抛物线的开口向上，
∴当时，有最小值；
∴甲的说法合理；
（3）正确；
∵，
∴当时，有最小值为，
即：，
∴当时，有最大值，为．
26. 如图1，在中，为内部的一动点（不在边上），连接，将线段绕点逆时针旋转，便点到达点的位置；将线段绕点顺时针旋转，便点到达点的位置，连接．
（1）求证：；
（2）当取得最小值时，求证：．
（3）如图2，M，N，P分别是的中点，连接，在点运动的过程中，求的大小．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）30度
【解析】
【分析】（1）由旋转知，、、，故由证出全等即可；
（2）先由为等边三角形得，再由、、、共线时最小，，最后得到，即可得证；
（3）由中位线定理知道，，，，由得，即，再设，，则，，得，得．
【小问1详解】
证明：由旋转可知：
，
是等边三角形，
，
，
，
在与中，
，
；
【小问2详解】
为等边三角形，
即，
∵两点之间线段最短，
、、、共线时最小，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，连接，
，，分别是，，的中点，
，，，，
，
，
，
且，
为等边三角形，
设，，
则，，
，，
，
．
【点睛】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键．
a
…
0
2
4
…
x
…
*
2
0
…
y的最小值
…
*
…