南宁市三美学校2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（解析版）

这是一份南宁市三美学校2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初三数学
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解决本题的关键；
根据一元二次方程的概念进行判断即可；
【详解】解：A、选项中有两个未知数，所以不是一元二次方程；
B、选项中有两个未知数，所以不是一元二次方程；
C、选项中未知数出现在分母里，不是整式方程所以不是一元二次方程；
D 、选项中未知数只有一个并且未知数的次数最高为2次，所以是一元二次方程；
故选：D．
2. 数学有很多寓意美好的线或图，下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，直线 两旁的部分能够完全正确重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；如果一个图形绕着某点旋转180°后，能与原来图形完全重合，则这个图形叫中心对称图形，这点叫对称中心．
依据轴对称图形与中心对称概念逐项判定即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3. 有三个旅游团，游客年龄的方差分别是 ，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择的团队是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的意义，方差越小，年龄波动也越小，据此即可求解．
【详解】解：∵，，
∴甲的方差最小，
故选：A．
【点睛】本题考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
4. 设正比例函数的图象经过点，且的值随x值的增大而减小，则（ ）
A. 2B. -2C. 4D. -4
【答案】B
【解析】
【分析】先把点代入得，解得m=，再根据正比例函数的增减性判断m的值．
【详解】把点代入得：，
解得：m=，
∵的值随x值的增大而减小，
∴m0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远的点的函数值越大，
∵，
∴，
故选B．
10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据一次函数的图象得出m、n的取值范围，再判断对应的二次函数图象，然后可得答案．
【详解】解：A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，不符合题意；
B．二次函数的图象没有过原点，不符合题意；
C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，不符合题意；
D．由一次函数图象可得，，则二次函数图象开口向下，对称轴应在x轴正半轴，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．
11. 二次函数的部分对应值如下表所示：
则当时，x的取值范围为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，认真观学会利用表格信息解决问题是解题的关键．
根据表格信息找出函数值时x的取值，然后借助函数图象即可得到答案．
【详解】解：由表格数据可得抛物线的对称轴为，开口向下，
∴当时，或，
∴当时，x的取值范围为或，
故选C．
12. 如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若，．则四边形MBND的周长为（ ）
A. B. 5C. 10D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得∠MBD=∠NDB，根据平行线的判定可得，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形，设，则，在中，利用勾股定理可得的值，最后根据菱形的周长公式即可得．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由作图过程可知，垂直平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
设，则，
在中，，即，
解得，
则四边形的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
二、填空题（共6小题，每题2分，共12分）
13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案．
【详解】解：由题意得，解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键．
14. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．
【答案】6
【解析】
【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
【详解】∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．
15. 把抛物线向右平移2个单位，然后向下平移4个单位，则平移后抛物线的表达式______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移；直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：把抛物线向右平移2个单位，然后向下平移4个单位，则平移后抛物线的表达式．
16. 近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 _______人．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人，
故答案为：12．
17. 一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则的度数为______.
【答案】15°或60°.
【解析】
【分析】分情况讨论：①DE⊥BC，②AD⊥BC，然后分别计算的度数即可解答.
【详解】解：①如下图，当DE⊥BC时，
如下图，∠CFD＝60°，
旋转角为：＝∠CAD＝60°-45°＝15°；
（2）当AD⊥BC时，如下图，
旋转角为：＝∠CAD＝90°-30°＝60°；
【点睛】本题考查了垂直的定义和旋转的性质，熟练掌握并准确分析是解题的关键.
18. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键．
先将抛物线化为顶点式，可得该抛物线的对称轴是；然后求出抛物线与轴、轴的交点，即点、点、点；在y轴上取点，连接，，，证明四边形是平行四边形；当E、C、F三点共线时，最小，求得直线解析式：最后直线经过对称轴，代入即可得到答案．
【详解】解：，
∴对称轴为，
如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，

当时，，
∴，
当时，，
解得，，
∴，，
在y轴上取点，连接，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵抛物线对称轴为，
∴，
∴，
当E、C、F三点共线时，最小，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴，
当时，，
∴当最小时，C的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（共9小题）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算算术平方根，有理数的乘方和乘法，然后计算加减．
【详解】
．
【点睛】此题考查了算术平方根，有理数的乘方和乘法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请你画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请你画出关于原点对称的；
（3）在轴上找一点，使的周长最小，请你标出点的位置，此时点的坐标为______．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】本题考查作图-平移变换、中心对称、轴对称-最短路线问题，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据中心对称的性质作图即可．
（3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
如图，即为所求．
【小问3详解】
取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
此时，为最小值，
∴最小，
即的周长最小，
则点即为所求．
由图可知，点的坐标为．
故答案为：．
22. 为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机扎取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．
【收集数据】
调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：
【整理描述数据】
通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图：
（1）频数分布表中________，________，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中________，所对应的扇形的圆心角度数是________．
【应用数据】
（3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．
【答案】（1）；，补全图形见解析；（2）；；（3）人
【解析】
【分析】本题考查的是从统计图表中获取信息，利用样本估计总体；
（1）根据整理数据的结果可得的值，再补全频数分布直方图即可；
（2）由D的人数除以总人数可得的值，由乘以D的百分比可得圆心角的大小；
（3）由总人数乘以D的百分比即可得到答案；
【详解】解：（1）整理数据可得：有：60、61、62、63、64、66、65、67；
∴；
的有：94、94、93、91、92、92、91、93、90、90、
∴；
补全图形如下：
；
（2）由，
∴；
所对应的扇形的圆心角度数是；
（3）若成绩不低于90分为优秀，估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的有（人）；
23. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，若四边形是矩形，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明过程见解答
（2）
【解析】
【分析】（1）先判断出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
（2）根据菱形性质求出，判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出、，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
，
，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
，
∵四边形是菱形，，
，，
，
∴等边三角形，
，
，
，
∴四边形面积．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键．
24. 综合与实践．
某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察，刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
【答案】（1）y关于t的函数解析式为
（2）汽车刹车后，行驶了
（3）不会，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键．
（1）设，将代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式；
（2）求出当时的函数值，即可解答；
（3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可．
【小问1详解】
解：设，
将代入得：
，
解得：，
∴y关于t的函数解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
答：汽车刹车后，行驶了；
【小问3详解】
解：不会．理由如下：
∵，
∴当时，汽车停下，行驶了，
∵，
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．
25. 【课本再现】
（1）如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，边与边AB相交于点E，边与边CB相交于点F，在实验与探究中，小新发现通过证明，可得．请帮助小新完成证明过程；
【拓展推理】
（2）在（1）的条件下，连接，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【迁移延伸】
（3）如图，矩形的对角线相交于点O，点O又是矩形的一个顶点，边与边AB相交于点E，边与边CB相交于点F，连接，请判断（2）中的结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据全等三角形的性质及等量代换得出，再由勾股定理即可得出结果；
（3）连接，延长交于点，连接，同（2）中方法一致，证明，再由全等三角形的性质及矩形的性质进行等量代换，最后由勾股定理即可证明．
【详解】（1）证明：在正方形和正方形中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）成立，理由如下：
连接，延长交于点，连接，

∵是矩形的对角线交点，
∴点是的中点．
∴，
∵在矩形中，，，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
在中，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
【答案】（1）
（2），
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式；
（2）设出M点的坐标，利用 即可进行解答；
（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．
【小问1详解】
解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：；
【小问2详解】
解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，
∴点的坐标为：，
∴
∵，
当时，有最大值为：．
答：时，有最大值．
【小问3详解】
解：设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，且，
∴的横坐标等于的横坐标．
又∵直线的解析式为，则．
由，得，
解得，，．（不合题意，舍去）
如图，当为对角线时，知与应该重合，．
四边形为平行四边形则，横坐标为4，
代入得出为．
由此可得或或或．
【点睛】本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，理解相关知识是解答关键．
x
3
4
y
m
0
m
60
61
62
94
73
73
85
85
87
72
63
64
70
66
74
65
67
75
76
71
94
93
84
91
76
82
83
83
92
84
80
80
82
92
91
86
77
86
88
72
70
71
93
90
81
90
74
78
81
75
组别
成绩分组
频数
16
16
刹车后行驶的时间
0
1
2
3
刹车后行驶的距离y
0
27
48
63