高考数学核心考点专题训练专题7指数函数与对数函数(原卷版+解析)

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这是一份高考数学核心考点专题训练专题7指数函数与对数函数(原卷版+解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

已知函数y=lga(x+3)−1(其中a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上，则的值为( )
A. 89B. 79C. 59D. 29
已知2a=6b=10，则3，ab，a+b的大小关系是( )
A. ab如图，点O为坐标原点，点A(1,1)，若函数y=ax(a>0，且a≠1)及lgbx(b>0，且b≠1)的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足( )
A. aB. bC. b>a>1
D. a>b>1
已知定义在R上的偶函数fx在−∞,0上单调递增，则( )
A. f2−34B. f2−34C. flg146D. f(lg146)科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画一条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是( )(取lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)
A. 16B. 17C. 24D. 25
我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“|0>，|1>”2种叠加态，2个超导量子比特共有“|00>，|01>，|10>，|11>”4种叠加态，3个超导量子比特共有“|000>，|001>，|010>，|011>，|100>，|101>，|110>，|111>”8种叠加态，….只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有N种叠加态，则N是一个________位的数. (参考数据：lg2≈0.3010)( )
A. 18B. 19C. 62D. 63
给出下列四个命题：
①函数f(x)=2a2x−1−1的图象过定点(12,−1)；
②已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(x+1).若f(a)=−2，则实数a=−1或2；
③若lga12>1，则a的取值范围是(12,1)；
④对于函数f(x)=lnx，其定义域内任意x1≠x2，都满足f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2．
其中所有正确命题的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
已知m>1，n>1，且lnm−lnn=2n−m，下列结论正确的是( )
①(12)m<(12)n；②nm>n+1m+1；③lgn2021>lgn2021；④m−1n>n−1m．
A. ①④B. ②③C. ①②D. ②④
已知关于x的不等式lga x>4x(a>0且a≠1)的解集为x|0A. 22B. 12C. 14D. 2
已知lgm+lgn=0(m>0且m≠1，n>0且n≠1)，则函数f(x)=mx与函数g(x)=−lgnx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
下列说法中正确的有 (把你认为正确的序号全部写上)
(1)[(−2)2]−12=−12；
(2)已知lga34<1，则a>34；
(3)函数y=3x的图象与函数y=−3−x的图象关于原点对称；
(4)函数y=lg(−x2+x)的递增区间为−∞,12．
有浓度为90％的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10％，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771)________．
函数f(x)=ax+lga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为
如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数图象交于C，D两点，若BC//x轴，则四边形ABCD的面积为__________．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
(Ⅰ)已知−1≤lg12x≤1，求函数y=(14)x−1−4(12)x+2的最大值和最小值．
(Ⅱ)已知函数g(x)=(a+1)x−2+1(a>0)的图像恒过定点A，且点A又在函数f(x)=lg3(x+a) 的图像上．求不等式g(x)>6的解集．
设f(x)=ax(a>0，且a≠1)，其图象经过点12,10，又g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称．
(1)若f(2m)=4，f(n)=25，求2m+n的值；
(2)若g(x)在区间[10,c]上的值域为[m,n]，且n−m=32，求c的值．

(1)已知−1≤lg12x≤1，求函数y=14x−1−412x+2的最大值和最小值．
(2)已知函数gx=a+1x−2+1a>0的图像恒过定点A，且点A又在函数fx=lg3x+a的图像上．
①求不等式gx>6的解集；②若h(x)=3g(x)−114g(x)−34，求h(1−2)+h(11+2)的值．
专题7 指数函数与对数函数
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）
已知函数y=lga(x+3)−1(其中a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上，则的值为( )
A. 89B. 79C. 59D. 29
【答案】A
【解析】解：∵函数y=lga(x+3)−1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(−2,−1)，
将x=−2，y=−1代入y=3x+b得：3−2+b=−1，
∴b=−109，
∴f(x)=3x−109，
则f(lg94)=f(lg32)=3lg32−109
=2−109=89．
故选A．
已知2a=6b=10，则3，ab，a+b的大小关系是( )
A. ab【答案】D
【解析】解：因为：2a=6b=10，
所以2ab=10b，6ab=10a，
以上两式相乘可得2ab·6ab=10a·10b，
即12ab=10a+b，所以ab又因为2a=6b=10，
则a=lg210>lg28=3，b=lg610>lg66=1，
所以ab=lg210×lg610>3×1=3，
所以3故选D．
如图，点O为坐标原点，点A(1,1)，若函数y=ax(a>0，且a≠1)及lgbx(b>0，且b≠1)的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足( )
A. aB. bC. b>a>1
D. a>b>1
【答案】A
【解析】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0因为点O为坐标原点，点A(1,1)，
又M、N恰好是线段OA的两个三等分点，
∴M(13,13)，N(23,23)，
∴a13=13,a=127，lgb23=23，b=(23)32=827=269，
∵127<6627=269<1，
∴a故选：A．
已知定义在R上的偶函数fx在−∞,0上单调递增，则( )
A. f2−34B. f2−34C. flg146D. f(lg146)【答案】D
【解析】解：因为lg146=−lg46，lg415=−lg45，而函数y=lg4x是增函数，
所以lg46>lg45>1，
而由函数y=2x的图象得0<2−34<1，
因此lg46>lg45>1>2−34>0．
又因为定义在R上的偶函数f(x)在−∞,0上单调递增，
所以函数f(x)在0,+∞上单调递减，
因此flg46即flg146故选D．
科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画一条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是( )(取lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)
A. 16B. 17C. 24D. 25
【答案】B
【解析】解：设初始长度为a，各次构造后的折线长度构成一个数列{an}，
由题知a1=43a，an+1=43an，则{an}为等比数列，
∴an=a⋅(43)n，
假设构造n次后，折线的长度大于初始线段的100倍，
即ana=(43)n>100 ，
∴n>lg43100=lg100lg4−lg3，
lg100lg4−lg3=22×0.3010−0.4771≈16
∴n≥17
故至少需要通过构造的次数是17．
故选B．
我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“|0>，|1>”2种叠加态，2个超导量子比特共有“|00>，|01>，|10>，|11>”4种叠加态，3个超导量子比特共有“|000>，|001>，|010>，|011>，|100>，|101>，|110>，|111>”8种叠加态，….只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有N种叠加态，则N是一个________位的数. (参考数据：lg2≈0.3010)( )
A. 18B. 19C. 62D. 63
【答案】B
【解析】解：由题意得：62个超导量子比特共有N=262种叠加态，
N=262=10lg262=1062lg2
≈1018.662=100.662×1018，
又1=100<100.662<101=10，
所以N是一个19位的数．
故选B．
给出下列四个命题：
①函数f(x)=2a2x−1−1的图象过定点(12,−1)；
②已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(x+1).若f(a)=−2，则实数a=−1或2；
③若lga12>1，则a的取值范围是(12,1)；
④对于函数f(x)=lnx，其定义域内任意x1≠x2，都满足f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2．
其中所有正确命题的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】解：对于①函数f(x)=2a2x−1−1的图象，令2x−1=0，解得x=12，当x=12时，f(12)=1，
故函数的图像经过定点(12,1)，故①错误；
②已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，
当x≥0时，f(x)=x(x+1)．
当x<0时，−x>0，故f(−x)=(−x)(−x+1)，整理得：f(x)=x(1−x)，
故f(x)=x(x+1)(x≥0)x(1−x)(x<0)，
若f(a)=−2，显然a<0，
所以a(1−a)=−2，解得a=−1或2(舍去)，
则实数a=−1，故②错误；
③若lga12>1=lgaa，可得012，则a的取值范围是(12,1)，故③正确；
④对于函数f(x)=lnx，其定义域内任意x1≠x2，故函数为增函数，故利用函数的图像
都满足f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2．
故④正确．
故选B．
已知m>1，n>1，且lnm−lnn=2n−m，下列结论正确的是( )
①(12)m<(12)n；②nm>n+1m+1；③lgn2021>lgn2021；④m−1n>n−1m．
A. ①④B. ②③C. ①②D. ②④
【答案】A
【解析】解：由条件可得lnm+m=lnn+n+n>lnn+n，
易知函数f(x)=lnx+x在(0,+∞)上单调递增，所以
m>n，故(12)m<(12)n，nm又y=x+1x在(1,+∞)上单调递增，
所以m+1m>n+1n，即m−1n>n−1m，所以 ① ④正确．
故选A
已知关于x的不等式lga x>4x(a>0且a≠1)的解集为x|0A. 22B. 12C. 14D. 2
【答案】A
【解析】解：lgax>4x(a>0且a≠1)，显然y=4x和y=lgax的图象如图所示：
因为不等式的解集为
{x|0设点A为两个函数图象的交点，则A(12,2)，
所以lga12=2，即a=22．
故选A．
已知lgm+lgn=0(m>0且m≠1，n>0且n≠1)，则函数f(x)=mx与函数g(x)=−lgnx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解： ∵lgm+lgn=0，∴mn=1．
∵g(x)=−lgnx的定义域是(0,+∞)，排除A．
若m>1，则0若01，此时f(x)=mx是减函数，g(x)=−lgnx是减函数，排除C;
故B正确．
故选B．
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
下列说法中正确的有 (把你认为正确的序号全部写上)
(1)[(−2)2]−12=−12；
(2)已知lga34<1，则a>34；
(3)函数y=3x的图象与函数y=−3−x的图象关于原点对称；
(4)函数y=lg(−x2+x)的递增区间为−∞,12．
【答案】(3)
【解析】(1)[(−2)2]−12=[22]−12=2−1=12，故(1)不正确．
(2)当a>1时，lga34<1，即lga3434，所以a>1．
当0综上，a>1或0(3)因为f(x)=3x，f(−x)=3−x，−f(−x)=−3−x，
所以y=3x与y=−3−x的图象关于原点对称，故(3)正确．
(4)f(x)=lg(−x2+x)的定义域为(0,1)，故(4)不正确．
有浓度为90％的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10％，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771)________．
【答案】21
【解析】解：每操作1次，浓度变为上一次的90％，
设至少操作x次才能使其浓度低于10％，
故0.9×0.9x<0.1，即0.9x+1<0.1，
则lg0.9x+1即x+1lg0.9即x+1>−1lg0.9=−1lg9−1=11−2lg3=11−2×0.4771≈21.834，
即x>20.834．
故x的最小值为21．
故答案为21．
函数f(x)=ax+lga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为
【答案】12
【解析】解：∵y=ax与y=lga(x+1)具有相同的单调性．
∴f(x)=ax+lga(x+1)在[0,1]上单调，
∴f(0)+f(1)=a，即a0+lga1+a1+lga2=a，
化简得1+lga2=0，解得a=12
故答案为：12
如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数图象交于C，D两点，若BC//x轴，则四边形ABCD的面积为__________．
【答案】
【解析】解：设点A、B的横坐标分别为x1、x2，由题设知，x1>1，x2>1．
则点A、B纵坐标分别为lg8x1、lg8x2，
根据题意设直线AB的方程为y=kx，
则lg8x1=kx1,lg8x2=kx2,
因为x1>1，x2>1，所以lg8x1>0,lg8x2>0，
所以，
点C、D坐标分别为(x1,lg2x1)，(x2,lg2x2)，
由于BC平行于x轴知lg2x1=lg8x2，即得lg2x1=13lg2x2，∴x2=x13，
代入x2lg8x1=x1lg8x2得x13lg8x1=3x1lg8x1．
由于x1>1知lg8x1≠0，∴x13=3x1，考虑x1>1，解得x1=3，
于是点A的坐标为(3,lg83)即A(3,16lg23)，
∴B(33,12lg23)，C(3,12lg23)，D(33,32lg23)，
∴梯形ABCD的面积为S=12(AC+BD)×BC
．
故答案为．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
(Ⅰ)已知−1≤lg12x≤1，求函数y=(14)x−1−4(12)x+2的最大值和最小值．
(Ⅱ)已知函数g(x)=(a+1)x−2+1(a>0)的图像恒过定点A，且点A又在函数f(x)=lg3(x+a) 的图像上．求不等式g(x)>6的解集．
【答案】(Ⅰ)解：由−1⩽lg12 x⩽1得12⩽x⩽2．
令t=(12)x，则14⩽t⩽22，
所以y=4t2−4t+2=4(t−12)2+1．
∴当t=12，即(12)x=12，x=1时，ymin=1；
当t=14，即(12)x=14，x=2时，ymax=54．
(Ⅱ)解：g(x)=(a+1)x−2+1(a>0)的图象恒过定点A(2,2)，
由lg3 (2+a)=2，解得：a=1．
所以g(x)=2x−2+1．
所以不等式g(x)>6变为：2x−2+1>6，解得：x>2+lg25．
所以不等式g(x)>6的解集为：2+lg25,+∞．
设f(x)=ax(a>0，且a≠1)，其图象经过点12,10，又g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称．
(1)若f(2m)=4，f(n)=25，求2m+n的值；
(2)若g(x)在区间[10,c]上的值域为[m,n]，且n−m=32，求c的值．
【答案】解：(1)因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点12,10，
所以10=a12，解得a=10，因此函数f(x)=10x．
又因为f(2m)=4，f(n)=25，所以102m=4，10n=25，
因此102m+n=100=102，所以2m+n=2．
(2)因为由(1)知：函数f(x)=10x，
而函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称，
所以函数g(x)=lgx，
因此函数g(x)在区间[10,c]上的值域为[lg10,lgc]．
又因为函数g(x)在区间[10,c]上的值域为[m,n]，所以m=lg10n=lgc．
又因为n−m=32，所以lgc−lg10=32，即lgc=2，
因此c=100．
(1)已知−1≤lg12x≤1，求函数y=14x−1−412x+2的最大值和最小值．
(2)已知函数gx=a+1x−2+1a>0的图像恒过定点A，且点A又在函数fx=lg3x+a的图像上．
①求不等式gx>6的解集；②若h(x)=3g(x)−114g(x)−34，求h(1−2)+h(11+2)的值．
【答案】(1)解：由−1⩽lg12 x⩽1得12⩽x⩽2．
令t=(12)x，则14⩽t⩽22，
所以y=4t2−4t+2=4(t−12)2+1．
∴当t=12，即(12)x=12，x=1时，ymin=1；
当t=14，即(12)x=14，x=2时，ymax=54．
(2)解：g(x)=(a+1)x−2+1(a>0)的图象恒过定点A(2,2)，
由lg3 (2+a)=2，解得：a=1．
所以g(x)=2x−2+1．
①不等式g(x)>6变为：2x−2+1>6，解得：x>2+lg25．
所以不等式g(x)>6的解集为：2+lg25,+∞；
②h(x)=3g(x)−114g(x)−34=32x−2+1−1142x−2+1−34=3·2x+12x+1，
h(x)+h(−x)=3·2x+12x+1+3·2−x+12−x+1=3·2x+12x+1+3+2x2x+1=4，
所以h(1−2)+h(11+2)=h(1−2)+h2−1=4．

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