高考数学核心考点专题训练专题10利用导数研究函数的单调性(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题10利用导数研究函数的单调性(原卷版+解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
已知函数f(x)=e|2x|−4ax2，对任意x1，x2∈(−∞,0]且x1≠x2，都有 (x2−x1)(f(x2)−f(x1))0时，xf'(x)−f(x)f(x)g'(x)，且f(x)=axg(x)(a>0,且a≠1),f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103，若数列f(n)g(n)的前n项和大于363，则n的最小值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
设定义域为R的函数fx满足f'x>fx，则不等式ex−1fx0)在[1,+∞)上的最大值为33，则a的值为________．
已知函数f(x)=a−x2(0ex+1的解集为__________．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx+1．
(Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．











已知函数fx=ax+lnx，gx=ex−1−1．
(1)讨论函数y=fx的单调性;
(2)若不等式fx≤gx+a在x∈1,+∞上恒成立，求实数a的取值范围．









已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=12bx2−2x+2，a,b∈R．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)记函数ℎ(x)=f(x)+g(x)，当a=0时，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．
专题10 利用导数研究函数的单调性
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）
已知函数f(x)=e|2x|−4ax2，对任意x1，x2∈(−∞,0]且x1≠x2，都有 (x2−x1)(f(x2)−f(x1))0，函数ℎx是增函数，
所以当x=−12时，函数ℎx有最小值ℎ−12=2e，
因此4a≤2e，即a≤e2．
故选A．
f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf'(x)+f(x)0，g(x)在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递增，
当00时，xf'(x)−f(x)0，
∴函数g'(x)在(0,+∞)上为增函数，
①当k≤1时，g'(x)>g'(0)=1−k≥0，故函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，
∴g(x)>g(0)=0，即f(x)≥kx成立；
②当k>1时，g'(0)=1−k0，
所以ℎ(x)在0,e13内单调递增，在e13,+∞内单调递减，
所以实数b的最大值为ℎe13=32e23．
故选B．
已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+2，其导函数f'(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f'(x)ex在区间[0,2]上的最小值为( )
A. −3eB. −2eC. eD. 2e
【答案】B
【解析】f'(x)=x2+2mx+n，
要使导函数f'(x)为偶函数，则m=0，
故f(x)=13x3+nx+2，
则f(1)=13+n+2=−23，解得n=−3，
所以f'(x)=x2−3，
故g(x)=ex(x2−3)，g'(x)=ex(x2−3+2x)=ex(x−1)(x+3)，
当x∈[0,1)时，g'(x)1时，ℎ'(x)>0，函数为增函数，
当00时，g'(x)>0，则g(x)为增函数，
设ℎ(x)=m(x−12)与g(x)=xex相切时的切点为(a,aea)，切线斜率k=(a+1)ea，
则切线方程为y−aea=(a+1)ea(x−a)，
当切线过(12,0)时，−aea=(a+1)ea(12−a)，
即−a=12a+12−a2−a，即2a2−a−1=0，得a=1或a=−12(舍)，则切线斜率k=(1+1)e=2e，
要使g(x)与ℎ(x)在(0,+∞)上有两个不同的交点，则m>2e，
即实数m的取值范围是(2e,+∞)
故选：D．
已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f'(x)g(x)>f(x)g'(x)，且f(x)=axg(x)(a>0,且a≠1),f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103，若数列f(n)g(n)的前n项和大于363，则n的最小值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】解：∵f(x)=ax⋅g(x)(a>0且a≠1)，∴f(x)g(x)=ax，
又∵f'(x)g(x)>f(x)g'(x)，
∴(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)−f(x)g'(x)g2(x)>0，
∴f(x)g(x)=ax是增函数，
∴a>1，
∵f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103．
∴a+a−1=103，解得a=13或a=3，
综上得a=3．
∴数列{f(n)g(n)}是等比数列，fngn=3n．
∵数列{f(n)g(n)}的前n项和大于363，
∴3+32+33+…+3n=3(1−3n)1−3=12(3n+1−3)>363，
即3n+1>729，
∴n+1>6，解得n>5．
∴n的最小值为6．
故选C．
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
设定义域为R的函数fx满足f'x>fx，则不等式ex−1fx0，即函数F(x)在定义域R上单调递增，
∵ex−1f(x)ex−ex=0，
∴gx=ex·fx−ex为R上的增函数，
∵g0=e0·f0−e0=1，
∴不等式ex·f(x)>ex+1转化为gx>g0，
∴x>0．
则解集为0,+∞．
故答案为0,+∞．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx+1．
(Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．
【答案】解：(Ⅰ)由题意知函数的定义域为(0,+∞)，
f'(x)=x−(a+1)+ax，
∵x=3是f(x)的极值点，
∴f'(3)=3−(a+1)+a3=0，解得a=3，
当a=3时，f'(x)=(x−1)(x−3)x，
当x变化时，
故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增；
(Ⅱ)要使得f(x)≥1恒成立，即当x>0时，12x2−(a+1)x+alnx≥0恒成立，
设g(x)=12x2−(a+1)x+alnx，则g'(x)=x−(a+1)+ax=(x−1)(x−a)x，
(ⅰ)当a≤0时，由g'(x)0时，F'(1)=−a0时，f(x)的单调减区间是(0,a)，单调增区间是(a,+∞)；
(2)a=0时，，
∴ℎ'(x)=bx−2+1x=bx2−2x+1x ，
∵ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，
则ℎ'(x)=0在(0,1)上有唯一实数解，且两侧异号，
由ℎ'(x)=0，得bx2−2x+1=0；
令p(x)=bx2−2x+1，则p(x)在(0,1)上有且只有一个零点，
易知p(0)=1>0，
①当b=0，由p(x)=0，得x=12，满足题意;
②当b>0时，由Δ=4−4b>0p1=b−1