高考数学核心考点专题训练专题20平面向量的线性运算及其坐标表示(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题20平面向量的线性运算及其坐标表示(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

在ΔABC中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t(a|a|+b|b|),t∈R，则点P在 ( )
A. ∠AOB平分线所在的直线上B. 线段AB垂直平分线上
C. AB边所在直线上D. AB边的中线上
已知点A，B，C在圆O上，|OA+OB|=|OA−OB|,λOA−μOB=OC，则λ2+μ2=( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
如图，在△ABC中，AD⊥AB，，|AD|=2，且AC⋅AD=12，则2x+y=( )
A. 1B. −23C. −13D. −34
已知△ABC所在的平面内一点P(点P与点A，B，C不重合)，且AP=5PO+2OB+3OC，则△ACP与△BCP的面积之比为( )
A. 2︰1B. 3︰1C. 3︰2D. 4︰3
如图所示，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，对角线AC、BD交于点O，点E是线段AO的中点，点F是线段BC的中点，则AF=( )
A. 12DE−74CO B. 23DE−CO C. 23DE−23CO D. 12DE−54CO
将函数fx=4sin(π2−π2x)和直线g(x)=x−1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，⋅⋅⋅，An若P点坐标为0,3，则|PA1+PA2+⋯+PAn|=( )
A. 0B. 2C. 6D. 10
O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→ =OA→ +μ(ABAB+ACAC)，μ∈0,+∞，则P点的轨迹一定经过△ABC的( )
A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心
定理：点P是ΔABC内任一点，则其中SΔBPC, SΔAPC,SΔAPB分别是ΔBPC，ΔAPC，ΔAPB的面积).该定理的几何图形类似于奔驰车标，也被戏称为平面向量的“奔驰定理”.已知ΔABC内一点O，满足SΔBOC=1，SΔABC=7，且2OA+3OB+mOC=0，则m=( )
A. 9B. 5C. 2D. 7
已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设AD=λAB+μAC(λ,μ∈R)，则λμ=( )
A. 233B. 33C. 3D. 23
在等腰梯形中，AB//CD，AB=2，AD=1，∠DAB=π3，点F是线段AB上的一点，M为直线BC上的动点，若BC=3CE，AF=λAB，且AE⋅DF=−1，则MF⋅DM的最大值为( )
A. 14B. −6364C. −1D. −2364
在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆C:x−12+y2=1上的两点，且AB=2，点P2,1，则2PA−PB的取值范围是( )
A. 5−2,5+2B. 5−1,−5+1
C. 6−25,6+25D. 7−210,7+210
设|AB|=10，若平面上点P满足对任意的λ∈R.，恒有|2AP−λAB|⩾8，则一定正确的是( )
A. |PA|≥5B. |PA+PB|≥10
C. PA⋅PB≥−9D. ∠APB≤90∘
二、单空题（本大题共6小题，共30分）
如图，在△ABC中，已知AB=10，AC=5，，点M是边AB的中点，点N在直线AC上，且AC=3AN，直线CM与BN相交于点P，则线段AP的长为 ．
在梯形ABCD中，已知AB // CD，AB=2CD，DM=MC，CN=2NB，若AM=λAC+μAN，则λ+μ=_________．
如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，∠A=120°，E,F分别是边AB,AC上的点，且AE⇀=λAB⇀,AF⇀=μAC⇀，其中λ,μ∈0,1且λ+4μ=1，若线段EF,BC的中点分别为M,N，则MN⇀的最小值是____________．
如图，在△ ABC中，BD=13BC，点E在线段AD上移动(不含端点)，若AE=λAB+μAC，则λ2+1μ的取值范围是_____．
已知正方形ABCD的边长为1.当λii=1,2,3,4,5,6每个取遍±1时，λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD的最大值是_________．
如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE⋅DF=134，则线段BD的长为 ．
三、解答题（本大题共2小题，共30分）
19．设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使和共线．
20．平面内给定三个向量，，.
（1）求满足的实数m、n；
（2）若，求实数k；
（3）若向量满足，且，求的坐标.
专题20 平面向量的线性运算及其坐标表示
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
在ΔABC中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t(a|a|+b|b|),t∈R，则点P在 ( )
A. ∠AOB平分线所在的直线上B. 线段AB垂直平分线上
C. AB边所在直线上D. AB边的中线上
【答案】A
【解析】解：∵OA=a，OB=b，OP=p，
且p=t(a|a|+b|b|),t∈R，
∵ a | a | 和 b | b | 是△OAB中边OA、OB上的单位向量，
∴a|a|+b|b|在∠AOB平分线上，
∴ta|a|+b|b|在∠AOB平分线上，
∴则点P一定在∠AOB平分线上，
故选A．
已知点A，B，C在圆O上，|OA+OB|=|OA−OB|,λOA−μOB=OC，则λ2+μ2=( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
【答案】B
【解析】解：∵点A，B，C在圆O上，设圆O半径为r，则OA=OB=OC=r，
又|OA+OB|=|OA−OB|,
∴OA+OB2=OA−OB2，
于是2r2+2OA·OB=2r2−2OA·OB，
∴OA·OB=0，从而OA⊥OB．
因此，可以O为原点，直线OA，OB分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则圆O的方程为x2+y2=r2r>0，Ar,0，B0,r，设Cx,y，
于是由λOA−μOB=OC，得：λr,0−μ0,r=x,y，
∴rλ,−λμ=x,y，从而x=λr,y=−μr.
又x2+y2=r2，
∴λr2+−μr2=r2，
因此λ2+μ2=1．
故选B．
如图，在△ABC中，AD⊥AB，，|AD|=2，且AC⋅AD=12，则2x+y=( )
A. 1B. −23C. −13D. −34
【答案】C
【解析】解：因为BD=xAB+yAC，
所以AD−AB=xAB+yAC
则AD=(x+1)AB+yAC，AD⋅AD=AD⋅[(x+1)AB+yAC]
=(x+1)AD⋅AB+yAD⋅AC，
因为|AD|=2，且AC⋅AD=12，AD⊥AB，
所以4=12y，所以y=13，
又B，D，C共线，
则x+1+y=1，x=−13，
所以2x+y=−13．
故选C．
已知△ABC所在的平面内一点P(点P与点A，B，C不重合)，且AP=5PO+2OB+3OC，则△ACP与△BCP的面积之比为( )
A. 2︰1B. 3︰1C. 3︰2D. 4︰3
【答案】A
【解析】解：因为AP=5PO+2OB+3OC=2PB+3PC=2(AB−AP)+3(AC−AP)，
整理得AP=13AB+12AC，如图：
其中D为AC中点，AE=13AB，
则S△ACP=13S△ACB，S△ABP=12S△ACB，
S△BCP=S△ACB−13S△ACB−12S△ACB=16S△ACB，
故．
故选A．
如图所示，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，对角线AC、BD交于点O，点E是线段AO的中点，点F是线段BC的中点，则AF=( )
A. 12DE−74CO B. 23DE−CO C. 23DE−23CO D. 12DE−54CO
【答案】A
【解析】解：以AB，AD为基底，
CO=−12AC=−12AB−12AD，
DE=AE−AD=14AC−AD=14AD+AB−AD=14AB−34AD，
AF=AB+BF=AB+12AD．
设AF=xDE+yCO，
则AB+12AD=x14AB−34AD+y−12AB−12AD．
所以14x−12y=1,−34x−12y=12,解得x=12,y=−74.
即AF=12DE−74CO．
故选A．
将函数fx=4sin(π2−π2x)和直线g(x)=x−1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，⋅⋅⋅，An若P点坐标为0,3，则|PA1+PA2+⋯+PAn|=( )
A. 0B. 2C. 6D. 10
【答案】D
【解析】解：f(x)=4sinπ2−π2x=4csπ2x与g(x)=x−1的所有交点从左往右依次记为A1、A2、A3、A4和A5，
且A1和A5，A2和A4，都关于点A3对称，显然A3(1,0)，
∴PA3=1,−3，
如图所示：
则PA1+PA2+...+PA5=5PA3=5(1,−3)，
所以PA1+PA2+...+PAn=10．
故选：D．
O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→ =OA→ +μ(ABAB+ACAC)，μ∈0,+∞，则P点的轨迹一定经过△ABC的( )
A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心
【答案】B
【解析】解：∵AB|AB|、AC|AC|分别表示向量AB、AC方向上的单位向量，
∴AB|AB|+AC|AC|的方向与∠BAC的角平分线一致，
又∵OP=OA+μ(AB|AB|+AC|AC|)，
∴OP−OA=AP=μ(AB|AB|+AC|AC|)，
∴向量AP的方向与∠BAC的角平分线一致，
∴P点的轨迹一定经过△ABC的内心．
故选B．
定理：点P是ΔABC内任一点，则其中SΔBPC, SΔAPC,SΔAPB分别是ΔBPC，ΔAPC，ΔAPB的面积).该定理的几何图形类似于奔驰车标，也被戏称为平面向量的“奔驰定理”.已知ΔABC内一点O，满足SΔBOC=1，SΔABC=7，且2OA+3OB+mOC=0，则m=( )
A. 9B. 5C. 2D. 7
【答案】A
【解析】解：因为O是内一点，满足，，
所以若，则，
因此由“奔驰定理”知：OA+xOB+6−xOC=0，
即OA=−xOB+x−6OC．
又因为2OA+3OB+mOC=0，
所以2−xOB+x−6OC+3OB+mOC=0，
即3−2xOB+2x−12+mOC=0．
又因为OB与OC不共线，
所以3−2x=02x−12+m=0，解得m=9．
故选A．
已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设AD=λAB+μAC(λ,μ∈R)，则λμ=( )
A. 233B. 33C. 3D. 23
【答案】A
【解析】解：由题意可建立坐标系并作出如下图形：
∵∠BAC=90°，AB=1，AC=2，
∴A(0,0)，B(1,0)，C(0,2)，
设D点坐标为(a,b)，∵∠DAB=60°，∴b=3a，
∴Da,3a，AD=a,3a，
∵AD=λAB+μAC(λ,μ∈R)，
∴a,3a=λ1,0+μ0,2=λ,2μ，
∴a=λ3a=2μ，解得λμ=233，
故选A．
在等腰梯形中，AB//CD，AB=2，AD=1，∠DAB=π3，点F是线段AB上的一点，M为直线BC上的动点，若BC=3CE，AF=λAB，且AE⋅DF=−1，则MF⋅DM的最大值为( )
A. 14B. −6364C. −1D. −2364
【答案】B
【解析】解：因为AB//CD，AB=2，AD=1，，BC=3CE,AF=λAB，
则AD=BC=1，由AE⋅DF=−1，
得到(BE−BA)·(AF−AD)=(43BC+AB)·(λAB−AD)
，
解得λ=14，
设AB的中点为O，CD的中点为H，
以AB的中点O为坐标原点，AB为x轴，OH为y轴建立直角坐标系，
则B(1,0)，C(12,32)，D(−12,32)，F(−12,0)，
直线BC的方程为y=32−012−1(x−1)即y=−3x+3，
设M(x,−3x+3)，所以MF·DM=(−12−x,3x−3)·(x+12,−3x+32)
=−14−x2−x−3x2+92x−32=−4x2+72x−74，
当x=−722×(−4)=716时MF⋅DM取最大值，
最大值为−4×(716)2+72×716−74=−6364，
故选B．
在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆C:x−12+y2=1上的两点，且AB=2，点P2,1，则2PA−PB的取值范围是( )
A. 5−2,5+2B. 5−1,−5+1
C. 6−25,6+25D. 7−210,7+210
【答案】A
【解析】解：AB=2，取AB中点为M，CM=22，且CM⊥AB，
延长MA至Q，使得MQ=3MA=322，
所以2PA−PB=PA+PA−PB=PM+MA+BA=PM+3MA=PM+MQ=PQ，
因为QC=MC2+MQ2=5，
所以Q的轨迹是以C为圆心，5为半径的圆，
因为PC=(2−1)2+(1−0)2=2，
所以PQ∈5−2,5+2．
故选：A．
设|AB|=10，若平面上点P满足对任意的λ∈R.，恒有|2AP−λAB|⩾8，则一定正确的是( )
A. |PA|≥5B. |PA+PB|≥10
C. PA⋅PB≥−9D. ∠APB≤90∘
【答案】C
【解析】解：由2AP−λAB≥8，得到AP−λ2AB≥4可知点P到直线AB的距离为4，
∴PA≥4，所以选项A不正确，
设线段AB的中点为M，则|PM|min=4，
∴PA+PB=2PM≥8，所以选项B不正确，
当|PM|min=4时，∠APB>90°，∴选项D不正确，PA·PB=PM−AM·PM+AM=PM2−MA2≥16−25=−9∴PA·PB≥−9，故选C．
二、单空题（本大题共6小题，共30分）
如图，在△ABC中，已知AB=10，AC=5，，点M是边AB的中点，点N在直线AC上，且AC=3AN，直线CM与BN相交于点P，则线段AP的长为 ．
【答案】21
【解析】解：因为B，P，N三点共线，
所以存在实数x满足AP=xAB+(1−x)AN=xAB+1−x3AC，
因为C，P，M三点共线，
所以存在实数y满足AP=yAM+(1−y)AC=y2AB+(1−y)AC，
又AB，AC不共线，则x=y21−x3=1−y⇒x=25y=45,
所以AP=25AB+15AC，
所以AP2=125(4AB2+4AB·AC+AC2)
=125×(4×102+4×10×5×12+52)=21，
所以AP=21，
故答案为21．
在梯形ABCD中，已知AB // CD，AB=2CD，DM=MC，CN=2NB，若AM=λAC+μAN，则λ+μ=_________．
【答案】34
【解析】如图示：∵梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，DM=MC，CN=2NB．∴AM=AC+CM=AC+14BA=AC+14(BN+NA)=AC+14(12NC+NA)=AC+18NC+14NA=AC+18AC−18AN−14AN
=98AC−38AN．又∵AM=λAC+μAN，∴λ=98，μ=−38．故λ+μ=98+(−38)=34．故答案为34
如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，∠A=120°，E,F分别是边AB,AC上的点，且AE⇀=λAB⇀,AF⇀=μAC⇀，其中λ,μ∈0,1且λ+4μ=1，若线段EF,BC的中点分别为M,N，则MN⇀的最小值是____________．
【答案】77
【解析】解：连接AM、AN，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1,A=120°,∴AB·AC=|AB|·|AC|cs120°=−12
∵AM是△AEF的中线，
∴AM=12(AE+AF)=12(λAB+μAC)，
同理，可得AN=12(AB+AC)，
由此可得MN=AN−AM=12(1−λ)AB+12(1−μ)AC∴MN2=[12(1−λ)AB+12(1−μ)AC]2=14(1−λ)2AB2+12(1−λ)(1−μ)AB⋅AC+14(1−μ)2AC2=14(1−λ)2−14(1−λ)(1−μ)+14(1−μ)2，
∵λ+4μ=1，可得1−λ=4μ，∴代入上式得MN2=14×(4μ)2−14×4μ(1−μ)+(1−μ)2=214μ2−32μ+14=214(μ−17)2+17∵λ，μ∈(0,1)，∴当μ=17时，MN2的最小值为17，此时|MN|的最小值为77．
故答案为：77．

如图，在△ ABC中，BD=13BC，点E在线段AD上移动(不含端点)，若AE=λAB+μAC，则λ2+1μ的取值范围是_____．
【答案】(103,+∞)
【解析】解：因为点E在线段AD上移动(不含端点)，
所以设AE=kAD0又因为BD=13BC，
所以BD=13BC=13AC−AB，
因此AE=kAD=k⋅AB+BD=k⋅AB+13AC−13AB=k⋅(23AB+13AC)=2k3AB+k3AC．
又因为AE=λAB+μAC，
所以λ=2k3μ=k3，因此λ2+1μ=k3+3k．
设fk=k3+3k=13k+9k0而由对勾函数的单调性知：函数y=k+9k在0,1上单调递减，
所以函数fk=k3+3k在0,1上单调递减，
因此fk>f1=103，
所以λ2+1μ的取值范围是(103,+∞).
故答案为(103,+∞).
已知正方形ABCD的边长为1.当λii=1,2,3,4,5,6每个取遍±1时，λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD的最大值是_________．
【答案】25
【解析】解：如图，
正方形ABCD的边长为1，可得AB+AD=AC，BD=AD−AB，AB⋅AD=0，|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|=|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5 (AB+AD)+λ6 (AD−AB)|=|(λ1−λ3+λ5−λ6)AB+(λ2−λ4+λ5+λ6)AD|=(λ1−λ3+λ5−λ6)2+(λ2−λ4+λ5+λ6)2，
由于λi(i=1,2，3，4，5，6)取遍±1，
∵|λ1−λ3+λ5−λ6|，|λ2−λ4+λ5+λ6|的最大值都为4，
但是①当λ5+λ6=2或−2时，λ5−λ6=0，
|λ2−λ4+λ5+λ6|可取最大值4，|λ1−λ3+λ5−λ6|最大值只能取2；
②当λ5+λ6=0时，λ5−λ6=2或−2，
|λ1−λ3+λ5−λ6|可取最大值4，|λ2−λ4+λ5+λ6|最大值只能取2．
可得所求最大值为42+22=25．
故答案为：25．
如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE⋅DF=134，则线段BD的长为 ．
【答案】32
【解析】解：以A为坐标原点，AB为x轴，过A点的AB的垂线为y轴建立坐标系，如下图：
由题意得A(0,0)，B(4,0)，C(1,3)，E(2,0)，F(12,32)，
设D(x,y)(1≤x≤4,0≤y≤3)，
则DE=(2−x,−y)，DF=(12−x,32−y)，BC=(−3,3)，BD=(x−4,y)，
则DE⋅DF=2−x12−x−y32−y=134，①，
又B、D、C三点共线，则有BC与BD共线，
∴−3y=3x−4，②，
由①②联立解得x=134y=34或x=14y=534(舍去)，
∴BD=(−34,34)，
∴BD=−342+342=32，
故答案为32．
三、解答题（本大题共2小题，共30分）
19．设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使和共线．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：，，，


，共线，
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（2）和共线，
∴存在实数λ，使，
即，.
，是两个不共线的非零向量，

，.
20．平面内给定三个向量，，.
（1）求满足的实数m、n；
（2）若，求实数k；
（3）若向量满足，且，求的坐标.
【答案】（1），；（2）；（3）或.
【解析】（1）由题意得，
于是得，解得，
所以，；
（2）依题意，，，因，
于是得，解得，
所以实数；
（3）设，则，又，，
依题意得：，解得或，
所以的坐标为或.