高考数学核心考点专题训练专题23数列的通项公式与求和(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题23数列的通项公式与求和(原卷版+解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（ ）
A．86.2米B．83.6米C．84.8米D．85.8米
2．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（ ）
A．B．
C．D．
3．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为（ ）(参考数据：1.01512≈1.2)
A．0B．1200C．1030D．900
4．已知数列中的前项和为，对任意，，且恒成立，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
5．在数列中, 当时,其前项和为满足,设,数列的前项和为,则满足的最小正整数是
A．12B．11C．10D．9
6．已知数列的前项和为，且，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
7．公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
8．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
9．删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是
A．B．C．D．
10．设数列的前项和为，，且，若，则的最大值为
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．设数列满足，且对任意的，满足，,则_________
12．数列满足，且，.若，则实数__________．
13．1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为__________．
14．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正数列{an}满足Sn=（an），n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项的和，则[]=______．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
15．已知等比数列的前项和为成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
16．设数列的前n项和为，
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由．
（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由．
17．已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；② .记数列的前项积为 .
（1）若，求；
（2）是否存在，使得成等差数列？若存在，请写出一组;若不存在，请说明理由；
（3）若，求的最大值.
专题23 数列的通项公式与求和
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
1．据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（ ）
A．86.2米B．83.6米C．84.8米D．85.8米
【答案】A
【解析】解：由题意可知所求高度为
，
所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米，
故选：A
2．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为，
同理：孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为，
孩子在3周岁生日时存入的元产生的本利合计为，
孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为，
可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和，
此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：
故选：D
3．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为（ ）(参考数据：1.01512≈1.2)
A．0B．1200C．1030D．900
【答案】C
【解析】解：由题意知，按复利计算，设小闯同学每个月还款元，则小闯同学第一次还款元后，还欠本金及利息为元，
第二次还款元后，还欠本金及利息为，
第三次还款元后，还欠本金及利息为，
依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即
，
即，解得，
故元，
按照单利算利息，12月后，所结利息共元，
故元，
所以，
故选：C
4．已知数列中的前项和为，对任意，，且恒成立，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由有, 当时,,求得,当时,,化简得,当,,所以,当,,所以,因为恒成立,所以当当,,即,当,,,综上两种情况,有．
5．在数列中, 当时,其前项和为满足,设,数列的前项和为,则满足的最小正整数是
A．12B．11C．10D．9
【答案】C
【解析】由可得，即，所以数列是等差数列，首项为，公差为，则，解得，所以，数列的前n项和 ．由可得，即，令，可得函数在上单调递增，而，，若，则，则满足的最小正整数是．故选C．
6．已知数列的前项和为，且，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由数列的递推公式可得 ：，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
，
分组求和可得：，
题中的不等式即恒成立，
结合恒成立的条件可得实数的取值范围为
本题选择B选项.
7．公元前世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了米，此时乌龟便领先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米，当阿基里斯跑完下一个米时，乌龟先他米所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
【答案】D
【解析】根据题意，这是一个等比数列模型，
设，
所以，
解得，
所以.
故选：D.
8．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】设最上面一层放根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放根，
由等差数列前n项和公式得：，
∴，
∵,∴n为264 的因数，且为偶数，
把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.
故选：D
9．删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，这些数可以写为：，第个平方数与第个平方数之间有个正整数，而数列共有项，去掉个平方数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，即是原来数列的第项，即为，故选B.
10．设数列的前项和为，，且，若，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，
是以为公比的等比数列，
，
当n为偶数时，无解，当n为奇数时，，
，又，，即，
即，又n为奇数，故n的最大值为
故选A
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．设数列满足，且对任意的，满足，,则_________
【答案】
【解析】∵对任意的，满足，，
∴，
∴．
∴
．
答案：
12．数列满足，且，.若，则实数__________．
【答案】
【解析】由题意，数列满足且，，
令，可得，即，解得，
令，可得，即，解得，
同理可得 ，可得数列的周期为3，
又由，所以，所以，即，
又由，解得，
所以.
13．1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为__________．
【答案】2．
【解析】设第个图形中新出现的等边三角形的边长为，则当时，，
设第个图形中新增加的等边三角形的个数为，则当时，，
故，其中，
由累加法可得
，
时，也符合该式，故，
故对任意的恒成立，故即a的最小值为2.
故答案为：2.
14．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正数列{an}满足Sn=（an），n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项的和，则[]=______．
【答案】20
【解析】由题可知，当时，化简可得，当
所以数列是以首项和公差都是1的等差数列，即
又时，
记
一方面
另一方面
所以
即
故答案为20
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
15．已知等比数列的前项和为成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由成等差数列知，，
所以，即.
又，所以，所以，
所以等比数列的通项公式.
（2）由（1）知 ，
所以
所以数列的前 项和：
所以数列的前项和
16．设数列的前n项和为，
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由．
（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在
【解析】（1）n=1时，，
时，（n=1也符合）
，，即数列是等比数列．
（2）若则
可设，两边同除以得：
因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在．
（3）若则
可设，，， 不成立．
17．已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；② .记数列的前项积为 .
（1）若，求；
（2）是否存在，使得成等差数列？若存在，请写出一组;若不存在，请说明理由；
（3）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）.
【解析】（1），，

∴
（2）不存在，假设存在，设公差为
若，则，公差，矛盾；
若，则，公差，矛盾.
∴假设不成立，故不存在.
（3）由题意， 且
设，，
得，进一步得
显然的值从大到小依次为
（ⅰ）若，则，则不可能
（ⅱ）若，则或，
则或不可能
（ⅲ）若，则，则不可能
∴（当或取得）
从而，
∴.
∴

（当：取得）
又 ，∴