高考数学选填压轴题型第4讲多元问题的最值问题专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学选填压轴题型第4讲多元问题的最值问题专题练习(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了方法综述，解题策略，强化训练等内容，欢迎下载使用。

多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。
解决问题的常见方法有：导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等。
二、解题策略
类型一 导数法
例1．已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【举一反三】【2020·浙江学军中学高考模拟】）已知不等式对任意实数恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
类型二 消元法
例2．已知实数，，满足，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试理科数学（一卷）试卷
【举一反三】【2020重庆高考一模】若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是 ．
类型三 基本不等式法
例3．【2020宜昌高考模拟】已知变量满足，若目标函数取到最大值，则函数的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【举一反三】【2019湖南五市十校12月联考】已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【2020·陕西西北工业大学附属中学高考模拟】已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
类型四 换元法
例4．【2020浙江高考模拟】已知，则的最大值是__________．
【举一反三】【2020阜阳市三中调研】已知实数满足,则有（ ）
A．最小值和最大值1 B．最小值和最大值1
C．最小值和最大值 D．最小值1,无最大值
【2019山东济南期末考】已知函数，若对任意，不等式
恒成立，其中，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
三、强化训练
1．已知函数对，总有，使成立，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】天津市第一中学2021届高三下学期第四次月考数学试题
2．设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）
4．已知实数，不等式对任意恒成立，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．2
5．已知函数，当时设的最大值为，则当取到最小值时（ ）
A．0B．1C．2D．
【来源】浙江省宁波市华茂外国语学校2020届高三下学期3月高考模拟数学试题
6．已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．函数．若存在，使得，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
8．若存在实数，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数的定义域为，，若存在实数，，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．设定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【来源】河南省鹤壁市高级中学2020届高三下学期线上第四次模拟数学（文）试题
12．函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．
【来源】2020届四川省巴中市高三第一次诊断性数学（理）试题
第4讲 多元问题的最值问题
一、方法综述
多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。
解决问题的常见方法有：导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等。
二、解题策略
类型一 导数法
例1．已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】的定义域为，，∴为奇函数，又在上单调递增，
∴，∴，
又，则，，∴恒成立；
设，
则，当时，
∴在内单调递减，的最大值为从负数无限接近于，，
∴，，
故选：B.
【举一反三】【2020·浙江学军中学高考模拟】）已知不等式对任意实数恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】原不等式可以化为，
设f(x)=,
所以，所以只有a+4>0，才能有恒成立.
此时
,
设g(x)=，
所以所以故选A
类型二 消元法
例2．已知实数，，满足，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试理科数学（一卷）试卷
【答案】B
【解析】由，可得，，
由可得
所以，
由可得
即，解得，
所以
，
令，
，
由可得，
由可得或，
，，
，，
所以的最小值为，即的最小值为.
故选：B.
【举一反三】【2020重庆高考一模】若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是 ．
【答案】2﹣lg23
【解析】分析：由基本不等式得2a+2b≥，可求出2a+b的范围，
再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．
解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4，
令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=
因为t≥4，所以，即，所以
故答案为2﹣lg23
类型三 基本不等式法
例3．【2020宜昌高考模拟】已知变量满足，若目标函数取到最大值，则函数的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为（当且仅当时取等号）,所以.则,记,则在上单调递增,所以,应选D.
【易错点晴】本题以线性规划的知识为背景考查的是函数的最小值的求法问题.求解时充分利用题设中所提供的有效信息,对线性约束条件进行了巧妙合理的运用,使得本题巧妙获解.解答本题的关键是求出函数中的参数的值.本题的解答方法是巧妙运用待定系数法和不等式的可加性,将线性约束条件进行了合理的运用,避免了数形结合过程的烦恼,直接求出的最大值,确定了参数的值.
【举一反三】【2019湖南五市十校12月联考】已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正实数，，满足，得，当且仅当，即时，取最大值，又因为，所以此时，所以 ，故最大值为1
【解题秘籍】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，然后再利用基本不等式，要注意条件：一正二定三相等．
【2020·陕西西北工业大学附属中学高考模拟】已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若当时， 恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，
∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，
设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，
∵=﹣=﹣≥﹣，
当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．故选B．
类型四 换元法
例4．【2020浙江高考模拟】已知，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】∵
∴
令，则.
∵∴，∴
又∵在上为单调递增,∴
∴的最大值是，故答案为.
【点睛】解答本题的关键是将等式化简到，再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用对勾函数的单调性求出该函数的最值，从而使得问题获解.形如的函数称为对勾函数，其单调增区间为，；单调减区间为，.
【举一反三】【2020阜阳市三中调研】已知实数满足,则有（ ）
A．最小值和最大值1 B．最小值和最大值1
C．最小值和最大值 D．最小值1,无最大值
【答案】B
【解析】由,可设 ,则=,故选B
【2019山东济南期末考】已知函数，若对任意，不等式
恒成立，其中，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函数的图象，由图像可知：函数在R上单调递减，，
即，由函数在R上单调递减，可得：，
变量分离可得：，令，则，又，
∴，∴，故选B．
三、强化训练
1．已知函数对，总有，使成立，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】天津市第一中学2021届高三下学期第四次月考数学试题
【答案】B
【解析】由题意可知：，成立，即，
又对，，所以，
又可看作与在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，
由，，可取，所以的直线方程为，
设与平行且与相切于，所以，所以，所以切线为，
当与平行且与两条直线的距离相等时，即恰好在的中间，
此时与在纵坐标的竖直距离中取得最大值中的最小值，
此时，则 ，
又因为，所以，所以，此时或或，所以的范围是，
故选：B.
2．设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，
若对任意的，均有即为，
由于,当时，为单调递增函数，
又∵函数为偶函数，
∴等价于，即（∵）,
由区间的定义可知,若，于是,即，
由于的最大值为，故显然不可能恒成立；
,即,∴,即,
故的最大值为,
故选：B.
3．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）
【答案】B
【解析】因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，所以将换为，可得，所以函数在上是增函数，
所以，所以f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，等价于，即对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，
令，则，即，解得或，故选：B
4．已知实数，不等式对任意恒成立，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】令，原不等式整理得，
即，
∴，即，
两边除以得：，
所以
，
因为，故，故为增函数.
又，因此在上递减，上递增，
又，，且，
故.
则.
故选：B.
5．已知函数，当时设的最大值为，则当取到最小值时（ ）
A．0B．1C．2D．
【来源】浙江省宁波市华茂外国语学校2020届高三下学期3月高考模拟数学试题
【答案】A
【解析】，当时设的最大值，在端点处或最低点处取得
，最小值为2
，最小值为
，最小值为4.5
，最小值
综上可得，取到最小值时0.
故选：A
6．已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】①当时，在上单调递增，
所以，因此满足题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减
因此⑴当时，在上单调递增，所以
，
或或
⑵当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以；
综上，的取值范围为，
故选：D
7．函数．若存在，使得，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，因此，可化为，即存在，使成立，由于的对称轴为，所以，当单调递增，因此只要，即，解得，又因，所以，当时，，，满足题意，综上，．
故选：．
8．若存在实数，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对任意，不等式恒成立，
等价于不等式恒成立，
等价于恒成立，
等价于恒成立，
等价于函数的图象和函数的图象分别位于直线的两侧
在直角坐标系内画出函数和函数的图象如图所示，
由解得,
所以两个函数图象的横坐标较小的交点坐标为，
由图易得当时，取得最大值，令，解得，
所以的取值范围为，
故选：B
9．已知函数的定义域为，，若存在实数，，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的定义域为，由，解得，
的定义域为，
，
令，，，则,
当时为增函数 ,，，
存在实数, 使得，
即，解得
故选：D
10．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为由恒成立，分别作出及的图象，由图知，当时，不符合题意，只须考虑的情形，当与图象相切于时，由导数几何意义，此时，故.
故选：D
11．设定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【来源】河南省鹤壁市高级中学2020届高三下学期线上第四次模拟数学（文）试题
【答案】B
【解析】由已知，当时，恒成立，
可得当时，，
恒成立；
当时，，
.
画出函数草图，令，
化简得，解得，，
由图可知，当时，不等式恒成立.
故选：B.
12．函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．
【来源】2020届四川省巴中市高三第一次诊断性数学（理）试题
【答案】B
【解析】∵，①
∴，又函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，
∴，②
由①②得，，
不等式为，（*），
设，这是一个增函数，当时，，
（*）变为，，
若存在，使不等式成立，则为：
存在，使成立，
由于，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是．
∴．
故选：B.