高考数学选填压轴题型第19讲解析几何中的定值与定点问题专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学选填压轴题型第19讲解析几何中的定值与定点问题专题练习(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了定值问题，定点问题等内容，欢迎下载使用。
解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；
（1）定值问题：[：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；
一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；
另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。
（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
二．解题策略
类型一 定值问题
【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（ ）
A．B．C．2pD．
【举一反三】
1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（ ）
A．2B．2C．1D．
2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（ ）
A．B．C．D．
3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝ ．
类型二 定点问题
【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意
一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且
l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）
【举一反三】
1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线，过点作该抛物线的切线，，切点为，，若直线恒过定点，则该定点为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（ ）
A． B． C． D．
3．（2020大理一模）已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为___________．
三．强化训练
1．（2020·黑龙江高三模拟）直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率，满足，则的横截距（ ）
A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．不是定值
2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线（，）
和函数（，）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·全国高三模拟）过轴上的点的直线与抛物线交于两点，若为定值，则实数的值为（ ）
A. B. C． D．
4．（2020•越城区高三期末）已知A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，则“•＝0”是“直线
AB恒过定点（4，0）”的（ ）
A．充分非必要条件B．充要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
5．（2020·湖北高考模拟）设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（ ）
A．定值B．定值
C．定值D．不确定，随点位置变化而变化
6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点是圆上任意一点，若为定值，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆： ，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线， 为切点，则直线经过定点（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O：，直线l：y=kx+b(k≠0)，l和圆O交于E，F两点，以Ox为始边，逆时针旋转到OE，OF为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：
①当k为常数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；
②当k为变数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；
③当k为变数，b为常数时，sin(α＋β)是定值．
其中正确命题的个数是( )
A．0B．1C．2D．3
9．（2020·浙江高三期末）斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（ ）
A．为定值B．为定值
C．点的轨迹为圆的一部分D．点的轨迹是圆的一部分
10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（ ）
A．B．C．D．
12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；
①双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值；
②双曲线的离心率分别是，则是定值；
③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是，则直线过定点；其中正确的命题有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
13．已知为坐标原点，点在双曲线（为正常数）上，过点作双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题
14．已知、是双曲线：的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点，使得，为坐标原点，且，则的值为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题
15．已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为
A．16B．12C．8D．随变化而变化
16．已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，，平分角，则与的面积之和为( )
A．1B．C．2D．3
【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题
17．已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（ ）
A．B．C．D．
18．已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴，轴分别交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题
19．已知椭圆的左右顶点分别为，过轴上点作一直线与椭圆交于两点（异于），若直线和的交点为，记直线和的斜率分别为，则（ ）
A．B．3C．D．2
【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题
20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为__________．
21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点，圆点是圆上任意一点，若为定值，则________.
22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．
23．在平面直角坐标系xOy中，椭圆上一点，点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作与直线OA平行的直线交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，=___________.
24．（2020·河北定州一中高三月考）为圆上任意一点，异于点的定点满足为常数，则点的坐标为______．
25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________
26．（2020·江苏高三月考）椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线 的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________．
27．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线相交于、两点，若以线段为直径的圆过定点，则______．
【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题
28．双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.
29．过双曲线的右焦点的直线交双曲线于、两点，交轴于点，若，，规定，则的定值为.类比双曲线这一结论，在椭圆中，的定值为________.
【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题
30．若M，P是椭圆两动点，点M关于x轴的对称点为N，若直线PM，PN分别与x轴相交于不同的两点A(m，0)，B(n，0)，则mn=_________.
【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题
31．椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线 的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________．
第19讲 解析几何中的定值与定点问题
一．方法综述
解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；
（1）定值问题：[：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；
一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；
另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。
（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
二．解题策略
类型一 定值问题
【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（ ）
A．B．C．2pD．
【答案】D
【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），
所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），
所以，所以，
同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），
所以，整理得，
所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，
则则+＝．故选：D．
【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
【举一反三】
1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（ ）
A．2B．2C．1D．
【答案】C
【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），
抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），
圆心与焦点重合，半径为1，
又由直线过抛物线的焦点F，
则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，
即有|AB|•|CD|＝x1x2，
设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，
则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．
2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），
代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，
令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，
化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，
∴k1•k2＝，
取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，
代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，
令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，
化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），
∴k1•k2＝，
又k1•k2为定值，
∴＝，
解得λ＝．故选：C．
3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝ ．
【答案】2
【解析】∵椭圆的离心率为，
∴，则，得．
又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，
三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．
O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
则，，
两式作差得，，
则，即，
同理可得，．
∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．
类型二 定点问题
【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意
一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且
l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）
【答案】A
【解析】设A（m，m2），B（0，n），
∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）
又A，B同在一个以F为圆心的圆上，
∴|BF|＝|AF|
∴n﹣1＝＝m2+1
∴n＝m2+2
∴直线l的斜率k＝＝﹣
∵直线l′∥l，
∴直线l′的斜率为k，
设点D（a，a2），
∵y＝x2，∴y′＝x，
∴k＝a，∴a＝﹣，
∴a＝﹣
∴直线AD的斜率为＝＝＝，
∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），
整理可得y＝x+1，
故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．
【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
【举一反三】
1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线，过点作该抛物线的切线，，切点为，，若直线恒过定点，则该定点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设的坐标为，
，，
的方程为，
由，，可得，
切线都过点
，，
故可知过，两点的直线方程为，
当时，
直线恒过定点，故选
2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设是圆的切线，
是圆与以为直径的两圆的公共弦，
可得以为直径的圆的方程为， ①
又 ， ②
①-②得，
可得满足上式，即过定点，故选B.
3．（2020大理一模）已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为___________．
【答案】
【解析】 由，
同理．
，,
取，由对称性可知，直线MN经过轴上的定点.
【归纳总结】在平面直角坐标系xOy中，过椭圆上一定点A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，当为非零常数时，直线MN经过定点.
三．强化训练
1．（2020·黑龙江高三模拟）直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率，满足，则的横截距（ ）
A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．不是定值
【答案】A
【解析】设直线的方程为，由题意得，则得；
设A，B两点的坐标为，，则得，；
又因为，即，
所以 ，
则得，直线的方程为；
当时，，所以直线的横截距为定值.故选A.
2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线（，）
和函数（，）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据指数函数的性质，可得函数，恒过定点.
将点代入，可得.
由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以.
又由解得或，所以点在以和为端点的线段上运动，
当取点时，，取点时，，所以的取值范围是.
3．（2020·全国高三模拟）过轴上的点的直线与抛物线交于两点，若为定值，则实数的值为（ ）
A. B. C． D．
【答案】D
【解析】设直线的方程为，代入，得，
设，则.
，
同理，，
∴
，∵为定值，
是与无关的常数，∴．故选D．
4．（2020•越城区高三期末）已知A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，则“•＝0”是“直线
AB恒过定点（4，0）”的（ ）
A．充分非必要条件B．充要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
【答案】B
【解析】根据题意，A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），
若“•＝0”，则设直线AB方程为x＝my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4b＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b，
若•＝0，则•＝x1x2+y1y2＝（）+y1y2＝+y1y2＝b2﹣4b＝0，
解可得：b＝4或b＝0，又由b≠0，则b＝4，
则直线AB的方程为x＝my+4，即my＝x﹣4，则直线AB恒过定点（4，0），
“•＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的充分条件；
反之：若直线AB恒过定点（4，0），设直线AB的方程为x＝my+4，
将直线AB方程代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣16＝0，则有y1y2＝﹣16，
此时•＝x1x2+y1y2＝（）+y1y2＝+y1y2＝0，
故“•＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的必要条件；
综合可得：“•＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B．
5．（2020·湖北高考模拟）设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（ ）
A．定值B．定值
C．定值D．不确定，随点位置变化而变化
【答案】A
【解析】依题意如图，延长F1Q，交PF2于点T，
∵是∠F1PF2的角分线．TF1是的垂线，
∴是TF1的中垂线，∴|PF1|＝|PT|，
∵P为双曲线1上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，
∴|TF2|＝2a，
在三角形F1F2T中，QO是中位线，
∴|OQ|＝a．
故选：A．
6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点是圆上任意一点，若为定值，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，
直线与圆相切时，，，
当时，圆在直线上方，，当时，圆在直线下方，，
若为定值，则，因此．只有D满足．
故选：D.
7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆： ，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线， 为切点，则直线经过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设
则
即
因此、在直线上，直线方程为，
又，所以
即，直线经过定点，选A.
8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O：，直线l：y=kx+b(k≠0)，l和圆O交于E，F两点，以Ox为始边，逆时针旋转到OE，OF为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题：
①当k为常数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；
②当k为变数，b为变数时，sin(α＋β)是定值；
③当k为变数，b为常数时，sin(α＋β)是定值．
其中正确命题的个数是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】设点，，由三角函数的定义得
将直线的方程与的方程联立
得，
由韦达定理得
所以
因此，当是常数时，是常数，故选B(特值法可秒杀)
9．（2020·浙江高三期末）斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（ ）
A．为定值B．为定值
C．点的轨迹为圆的一部分D．点的轨迹是圆的一部分
【答案】C
【解析】设抛物线上两点坐标分别为，则两式做差得，，
整理得为定值，所以A正确.
因为焦点，所以直线AB方程为.由得，则
.
为定值.故B正确.
点的轨迹是以OF为直径的圆的一部分，故D正确.
本题选择C选项.
10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
由消去y整理得，
设，则．
过点分别作直线的垂线，垂足分别为，
则．
对于A，
，不为定值，故A不正确．
对于B，，不为定值，故B不正确．
对于C，，为定值，故C正确．
对于D，，不为定值，故D不正确．选C．
11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，再设动点，动点到定点的“L­距离”之和等于，由题意可得：，即，
当时，方程化为；
当时，方程化为；
当时，方程化为；
当时，方程化为；
当时，方程化为；
当时，方程化为；
结合题目中给出四个选项可知，选项A中的图象符合要求，故选A．
12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；
①双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值；
②双曲线的离心率分别是，则是定值；
③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是，则直线过定点；其中正确的命题有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】A
【解析】①双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，设为（m，n），
两条渐近线方程为y=±x，可得两个距离的乘积为•=，
由b2m2﹣a2n2=a2b2，可得两个距离乘积是定值；
②双曲线=1与（a＞0，b＞0）的离心率分别是e1，e2，即有e12=，e22=，可得为定值1；
③过抛物线x2=2py（p＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A，B，可设A（s，），B（t，），由OA⊥OB可得st+=0，即有st=﹣4p2，
kAB==，可得直线AB的方程为y﹣=（x﹣s），即为y=x+2p，
则直线AB过定点（0，2p）．三个命题都正确．故选A．
13．已知为坐标原点，点在双曲线（为正常数）上，过点作双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题
【答案】A
【解析】设，即有，双曲线的渐近线为，可得 ，由勾股定理可得 ，
可得 ．
故选：A．
14．已知、是双曲线：的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点，使得，为坐标原点，且，则的值为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题
【答案】C
【解析】，，∴，，，
设点，
，
∴，，
则，，
∴，∴，
故选：C.
15．已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为
A．16B．12C．8D．随变化而变化
【答案】A
【解析】由双曲线方程知，，双曲线的渐近线方程为
直线的倾斜角为，所以，又直线过焦点，如图
所以直线与双曲线的交点都在左支上.
由双曲线的定义得，…………(1)，
…………(2)
由(1)+(2)得，.
故选：A
16．已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，，平分角，则与的面积之和为( )
A．1B．C．2D．3
【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题
【答案】C
【解析】如图，椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，作一圆与线段F1P，F1F2的延长线都相切，并且与线段PF2也相切，切点分别为D，A，B，
，
，
所以(c为椭圆半焦距)，从而点A为椭圆长轴端点，即圆心M的轨迹是直线x=a(除点A外).
因点M(2,1)在的平分线上，且椭圆右端点A(2,0)，所以点M是上述圆心轨迹上的点，即点M到直线F1P，PF2，F1F2的距离都相等，且均为1，
与的面积之和为.
故选：C
17．已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设直线的方程为，，则由
整理得，
所以，
，
因为，，，
所以
解得或，
当时，直线的方程为，直线过点而，而不在同一直线上，不合题意；
当时，直线的方程为，直线过，符合题意.
故选：D.
18．已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴，轴分别交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题
【答案】D
【解析】设，则
切线的方程为，切线的方程为，
因为点在切线上，
所以，，
所以直线的方程为，
所以，
因为点在椭圆上，
所以，
所以，
故选：D
19．已知椭圆的左右顶点分别为，过轴上点作一直线与椭圆交于两点（异于），若直线和的交点为，记直线和的斜率分别为，则（ ）
A．B．3C．D．2
【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题
【答案】A
【解析】设，，，设直线的方程：
由和三点共线可知 ，
解得：
，，（*）
联立 ，得，
，
，
代入（*）得，
， ，.
故选：A
20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为__________．
【答案】.
【解析】设直线的方程为代入抛物线，消去得,
设，，则，，
∴
，
∴（舍去）或,
故直线过定点．
21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点，圆点是圆上任意一点，若为定值，则________.
【答案】0
【解析】设，，则，
整理得，
又是圆上的任意一点，故，
圆的一般方程为，因此，
，解得.
22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____．
【答案】
【解析】设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则
∵∠APB的大小恒为定值，
∴t＝，∴|OP|=．故答案为
23．在平面直角坐标系xOy中，椭圆上一点，点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作与直线OA平行的直线交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，=___________.
【答案】0
【解析】取特殊点B，则BC的方程为，由得C
所以.
24．（2020·河北定州一中高三月考）为圆上任意一点，异于点的定点满足为常数，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】设，则，可得，①
，②
由①②得，
可得，解得，
点坐标为，故答案为.
25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________
【答案】
【解析】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），
即x=2x1-x2，y=2y1-y2，
∵点M，N在双曲线上，所以，，
故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），
设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=2，
∴y1y2-2 x1x2=0，
∴2x2-y2=20，
所以P在双曲线2x2-y2=20上；
设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，
由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为
26．（2020·江苏高三月考）椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线 的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________．
【答案】
【解析】当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx+m，
由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
又A（﹣2，0），由题知kAB•kAC==﹣，
则（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，
则x1•x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）
=（1+4k2）x1x2+（2+4km）（x1+x2）+4m2+4
=+（2+4km）+4m2+4=0
则m2﹣km﹣2k2=0，
∴（m﹣2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=﹣k．
当m=2k时，直线BC的方程为y=kx+2k=k（x+2）．
此时直线BC过定点（﹣2，0），显然不适合题意．
当m=﹣k时，直线BC的方程为y=kx﹣k=k（x﹣1），此时直线BC过定点（1，0）．
当直线BC的斜率不存在时，若直线BC过定点（1，0），B、C点的坐标分别为（1，），（1，﹣），满足kAB•kAC=﹣．
综上，直线BC过定点（1，0）．
故答案为：（1，0）．
27．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线相交于、两点，若以线段为直径的圆过定点，则______．
【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题
【答案】3
【解析】点的坐标为，双曲线的方程可化为，
①当直线的斜率不存在时，点、的坐标分别为、，
此时以线段为直径的圆的方程为；
②当直线的斜率存在时，设点、的坐标分别为，，
记双曲线的左顶点的坐标为，直线的方程为，
联立方程，
消去后整理为，
,即时，
有，
，
，
，，
．
故以线段为直径的圆过定点，．
28．双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.
【答案】
【解析】设
，
交圆于点，所以
易知:
即.
故答案为：
29．过双曲线的右焦点的直线交双曲线于、两点，交轴于点，若，，规定，则的定值为.类比双曲线这一结论，在椭圆中，的定值为________.
【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题
【答案】
【解析】如图，设椭圆的右焦点为，过点的直线为，代入椭圆的方程得：，
设，，则，，
过点分别作轴的垂线，垂足为，则，，
所以
将，代入化简得：.
故答案为：.
30．若M，P是椭圆两动点，点M关于x轴的对称点为N，若直线PM，PN分别与x轴相交于不同的两点A(m，0)，B(n，0)，则mn=_________.
【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题
【答案】4
【解析】
设，则，，则，
所以
直线的方程为，令可得
同理有
直线的方程为，令可得
则
31．椭圆：的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线 的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________．
【答案】
【解析】当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx+m，
由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
又A（﹣2，0），由题知kAB•kAC==﹣，
则（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，
则x1•x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）
=（1+4k2）x1x2+（2+4km）（x1+x2）+4m2+4
=+（2+4km）+4m2+4=0
则m2﹣km﹣2k2=0，
∴（m﹣2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=﹣k．
当m=2k时，直线BC的方程为y=kx+2k=k（x+2）．
此时直线BC过定点（﹣2，0），显然不适合题意．
当m=﹣k时，直线BC的方程为y=kx﹣k=k（x﹣1），此时直线BC过定点（1，0）．
当直线BC的斜率不存在时，若直线BC过定点（1，0），B、C点的坐标分别为（1，），（1，﹣），满足kAB•kAC=﹣．
综上，直线BC过定点（1，0）．
故答案为（1，0）．