高考数学选填压轴题型第21讲导数中的参数问题专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学选填压轴题型第21讲导数中的参数问题专题练习(原卷版+解析)，共48页。
导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。
【解答策略】
一．分离参数法
分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离.
1．形如或(其中符号确定)
该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.
例1．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题
【举一反三】
1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数与满足：存在实数t，使得，则称函数为的“友导”函数.已知函数为函数的“友导”函数，则k的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．形如或（其中是关于一次函数）
该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.
【例2】已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】
1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数，若刚好有两个正整数使得，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( )
A．(3，4)B．(4，5)C．(5，6)D．(6．7)
3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二．分类讨论法
分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论.
1.二次型根的分布或不等式解集讨论
该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.
【例3】（2020·全国高三专题）函数，关于的方程恰有四个不同实数根，则正数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【举一反三】
1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式 恒成立，则实数的取值范围是_______．
2．指数对数型解集或根的讨论
该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论.
即可解决.
【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f（x）＝aex﹣x﹣ae，若存在a∈（﹣1，1），使得关于x的不等式f（x）
﹣k≥0恒成立，则k的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）
【举一反三】
1．函数,则在的最大值（ ）
A. B. C. D.
2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数的图象在点处的切线为，若函数满足（其中为函数的定义域，当时，恒成立，则称为函数的“转折点”，已知函数在区间上存在一个“转折点”，则的取值范围是
A．B．C．D．
【强化训练】
1．（2020·重庆南开中学高三）已知函数，是的导函数，若关于的方程有两个不等的根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2019·重庆万州外国语学校天子湖校区高三开学考试（理））对于任意的正实数x ，y都有（2x)ln成立，则实数m的取值范围为
A．B．C．D．
3．当时， 恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4.（2020四川省成都外国语学校）已知函数 恰好有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·天津耀华中学高三月考）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6.（2020高三第一次全国大联考）若函数恰有三个零点，则的取值范围为( )
A．B．（）C．D．（）
7．（2020·重庆巴蜀中学高三期末）已知关于的不等式在，上恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
8．（2020·南昌县莲塘第一中学高三期末（理））已知函数，，对任意的，关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围为（ ）（其中为自然对数的底数）.
A．B．C．D．
9.（2020广州模拟）已知函数，对任意，，都有，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
10．（2020·重庆一中高三期末）定义在上且周期为4的函数满足：当时，，若在区间上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2020重庆市南开模拟）已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．（2020·广东高三（理））已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】安徽省芜湖市芜湖县一中2020届高三下学期仿真模拟理科数学试题
14．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
15．已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【来源】黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（五）数学（文）试题
16．若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是
A．B．C．D．
17．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
【来源】四川省雅安市2021届高三三摸数学（理）试题
18．在关于的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有一个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】四川省攀枝花市2021届高三一模考试数学（理）试题
19．若曲线在点处的切线与直线平行，且对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】安徽省安庆市2021届高三下学期二模文科数学试题
20．已知函数，若函数与有相同的最小值，则的最大值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
21．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】湖南省常德市2021届高三下学期一模数学试题
22．已知函数，，若的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】山西省太原市2021届高三二模数学（理）试题
23．已知函数，若仅有3个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
24．已知恰有一个极值点为1，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
25.（2020河北省沧州市模拟）直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是_____．
26．（2020·四川高三期末（理））已知当时，均有不等式成立，则实数a的取值范围为______．
27．（2020·广东金山中学高三期末（理））已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是____________．
28．（2020·江苏高三模拟）已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是______.
29．（2020·四川绵阳中学高三（理））若函数有且仅有1个零点，则实数m的取值范围为________．
30．（2020·吉林高三（理））已知函数有两个不同的极值点,且不等式恒成立,则的取值范围是__________．
第21讲 导数中的参数问题
【方法综述】
导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。
【解答策略】
一．分离参数法
分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离.
1．形如或(其中符号确定)
该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.
例1．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题
【答案】A
【解析】在上恒成立，
设，，
当时，；当时，；
在单调递增，在单调递减，
，.
故选：A.
【举一反三】
1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数与满足：存在实数t，使得，则称函数为的“友导”函数.已知函数为函数的“友导”函数，则k的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C
【解析】，由题意，为函数的“友导”函数，即方程有解，故，
记，则，
当时，，，故，故递增；
当时，，，故，故递减，
故，故由方程有解，得，所以的最小值为2.故选：C.
2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由 ，可得 在 恒成立，
即为a（1-lnx）≥-x2，
当 时， 2显然成立；
当 时，有 ，可得
设
由 时， ，则在递减，且 ，
可得 ；
当 时，有 ，可得 ，
设
由 时， 在 递减，
由时， 在 递增，
即有 在 处取得极小值，且为最小值 ，
可得 ，
综上可得 ．故选B．
3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
原不等式等价于：
令，则存在，使得成立
又
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减
，，即
当且仅当，即时取等号
，即，本题正确选项：
2．形如或（其中是关于一次函数）
该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.
【例2】已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，得，
设，求导
令，解得
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故当时，函数取得极大值，且
又时，；当时，，故；
作出函数大致图像，如图所示：
又，
因为存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，
由图可知：，即
故选：B.
【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
【举一反三】
1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数，若刚好有两个正整数使得，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令且，
因为刚好有两个正整数使得，即
作出的图象，如图所示，其中过定点，直线斜率为，
由图可知，时，
有且仅有两个点满足条件，
即有且仅有使得.
实数的取值范围是，故选：A
2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( )
A．(3，4)B．(4，5)C．(5，6)D．(6．7)
【答案】C
【解析】
由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，
令f（x）（x＞1），则f′（x）．
令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝10，
∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，
∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，
∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．
则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．
∴f（x）min＝f（x0）．
∵﹣4＝0，∴，
则∈（5，6）．
∴a所在的区间是（5，6）．故选：C
3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为，故，
因，所以即.
不等式有解可化为
即在有解.
令，则，
当时，，在上为增函数；
当时，，在上为减函数；
故，所以，故选C.
二．分类讨论法
分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论.
1.二次型根的分布或不等式解集讨论
该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.
【例3】（2020·全国高三专题）函数，关于的方程恰有四个不同实数根，则正数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论的根的情况，结合根的分布求解.
【详解】，令，得或，
当时，，函数在上单调递增，且;
当时，，函数在上单调递减;
当时，，函数在上单调递增.
所以极大值，极小值，作出大致图象：
令，则方程有两个不同的实数根，
且一个根在内，另一个根在内，
或者两个根都在内.
因为两根之和为正数，所以两个根不可能在内.
令，因为，所以只需，即，得，即的取值范围为.故选：D
【举一反三】
1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知当≤0时，方程只有一个解，所以>0．令，
，
令得，为函数的极小值点，
又关于的方程=在区间内有两个实数解，
所以，解得，故选A.
2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式 恒成立，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】∵，
∴．
∵函数有两个不同的极值点，，
∴，是方程的两个实数根，且，
∴，且，
解得．
由题意得．
令，
则，
∴在上单调递增，
∴．
又不等式 恒成立，
∴，
∴实数的取值范围是．
故答案为．
2．指数对数型解集或根的讨论
该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论.
即可解决.
【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f（x）＝aex﹣x﹣ae，若存在a∈（﹣1，1），使得关于x的不等式f（x）
﹣k≥0恒成立，则k的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）
【答案】A
【解析】不等式f（x）﹣k≥0恒成立，即k≤f（x）恒成立；
则问题化为存在a∈（﹣1，1），函数f（x）＝aex﹣x﹣ae有最小值，
又f′（x）＝aex﹣1，当a∈（﹣1，0]时，f′（x）≤0，f（x）是单调减函数，不存在最小值；
当a∈（0，1）时，令f′（x）＝0，得ex＝，解得x＝﹣lna，
即x＝﹣lna时，f（x）有最小值为f（﹣lna）＝1+lna﹣ae；
设g（a）＝1+lna﹣ae，其中a∈（0，1），则g′（a）＝﹣e，
令g′（a）＝0，解得a＝，所以a∈（0，）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；
a∈（，1）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减；所以g（a）的最大值为g（）＝1+ln﹣•e＝﹣1；
所以存在a∈（0，1）时，使得关于x的不等式f（x）﹣k≥0恒成立，则k的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A．
【举一反三】
1．函数,则在的最大值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数的图象在点处的切线为，若函数满足（其中为函数的定义域，当时，恒成立，则称为函数的“转折点”，已知函数在区间上存在一个“转折点”，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可得，则在点处的切线的斜率，，所以函数的图象在点处的切线方程为：，
即切线，
令，
则，且
，且，
，
（1）当时，，则在区间上单调递增，所以当，，当，，则在区间上单调递减，，在上单调递增，
所以当时，，不满足题意，舍去，
（2）当时， （），则在区间上单调递增，所以当，，当，，则在区间上单调递减，，在上单调递增，，所以当时，，不满足题意，舍去，
（3）当，（），则在区间上单调递增，取，则，所以在区间上单调递增，，当时，恒成立，故为函数在区间上的一个“转折点”，满足题意。
（4）当，令，解得：，且,则在区间上单调递减，在上单调递增，取，故在上恒成立，则在区间上单调递增，当时，，则当，，则，所以为函数在区间上的一个“转折点”，满足题意。
（5）当，（），则在区间上单调递减，取，则，所以在区间上单调递减，，当时，恒成立，故为函数在区间上的一个“转折点”，满足题意。
（6）当时， （），则在区间上单调递减，所以当，，当，，则在区间上单调递增，，在上单调递减，
所以当时，，不满足题意，舍去，
综述所述：实数的取值范围为，故答案选B
【强化训练】
1．（2020·重庆南开中学高三）已知函数，是的导函数，若关于的方程有两个不等的根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数，则函数的定义域为，且，
所以方程化为，整理得，
令，则，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，，所以要使关于的方程有两个不等的根，则实数需满足，故选：C.
2．（2019·重庆万州外国语学校天子湖校区高三开学考试（理））对于任意的正实数x ，y都有（2x)ln成立，则实数m的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】 由，可得，
设，则可设，
则，所以，所以单调递减，
又，所以在单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以，故选D.
3．当时， 恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当x≥0时， ≥aln（x+1）恒成立，∴x≥0
则f′（x）= ，再设g（x）=（1+x）2ln（x+1）﹣x，
则g′（x）=（1+x）ln（x+1）+1+x﹣x=（1+x）ln（x+1）+1＞0恒成立，
∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0，∴f′（x）≥0
∴f′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0），
∵根据洛必达法则可得 ∵f（0）=1∴a≤1，故a的取值范围为（﹣∞，1]，故答案为A.
4.（2020四川省成都外国语学校）已知函数 恰好有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，令并化简得，，构造函数，，故当时，递增，当时，递减，.注意到时，，由此可知与有两个交点，需要满足，故，故选.
5．（2020·天津耀华中学高三月考）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵f（x）=ex（sinx+acsx）在上单调递增，
∴f′（x）=ex[（1-a）sinx+（1+a）csx]≥0在上恒成立，
∵ex＞0在上恒成立，
∴（1-a）sinx+（1+a）csx≥0在上恒成立，
∴a（sinx-csx）≤sinx+csx在上恒成立
∴ ，
设g（x）=
∴g′（x）在上恒成立，
∴g（x）在上单调递减，
∴g（x）＞=1，
∴a≤1，故选：A．
6.（2020高三第一次全国大联考）若函数恰有三个零点，则的取值范围为( )
A．B．（）C．D．（）
【答案】D
【解析】
当时，为减函数，令易得，所以只需有两个零点，令则问题可转化为函数的图象与的图象有两个交点.求导可得，令，即，可解得；令，即，可解得，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，由此可知当时，函数取得最小值，即．在同一坐标系中作出函数与的简图如图所示，
根据图可得故选D.
7．（2020·重庆巴蜀中学高三期末）已知关于的不等式在，上恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】令，则，由此根据，，分类讨论，结合导数性质能求出实数的取值范围．
【详解】解：关于的不等式在，上恒成立，
令，则，
，，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，恒成立，则在，上单调递减，
，符合题意，
当时，令，得，
则在上单调递增，
，不合题意，舍去．
综上，实数的取值范围为．
故选：．
8．（2020·南昌县莲塘第一中学高三期末（理））已知函数，，对任意的，关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围为（ ）（其中为自然对数的底数）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】设的值域为，通过求导数法，求出，
设的值域为，由已知可得，当
，只需函数在上的最大值，用导数法求的最大值，解关于的不等式，即可求出结论.
【详解】,,
令，当时，，
当时，，当时取得极大值为，
也是最大值，，
设的值域为，则，
设的值域为，
对任意的，关于的方程在上有实数根，
所以.当，所以只需，
，
令或（舍去），
当时，在上是增函数，

解得，，
当时，在上单调递增，
在上单调递减，，
，令，在单调递增，
而， 于是，解得.
综上，.故选:C.
9.（2020广州模拟）已知函数，对任意，，都有，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由题意可知函数是上的单调递减函数，
且当时，，
据此可得：，即恒成立，
令，则，
据此可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函数的最小值为，
则，
据此可得：实数a的取值范围是．
故选：A．
10．（2020·重庆一中高三期末）定义在上且周期为4的函数满足：当时，，若在区间上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】画出函数在区间上的函数,再分析的交点个数即可.
【详解】由题, 的零点个数即的函数图像交点个数.
画出的图像,同时恒过定点,且函数周期为4.
故..
故临界条件分别为过和与相切.
取值分别为,,.
当与相切时,设切点为,又,故.
,故.故.故选：B
11．（2020重庆市南开模拟）已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题得，取特值代入上面的不等式得a≥3，
所以，（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）
所以，所以所以.
(2)在x∈上，，恒有，
所以在x∈上恒成立，又在x∈上，的最小值为5，所以.
(3)在x∈时，x≥，
恒有.
综上.
故选:C
12．（2020·广东高三（理））已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，函数无零点，舍去.
当且时，
为开口向下，对称轴为的二次函数，
，.
则时，函数与轴只有一个交点.
当且时，.
函数在上单调递增，.
则时，函数与轴无交点.
则当时，函数有一个零点.与题意不符，舍去.
当且时.
为开口向上，对称轴为的二次函数.
，.
函数在最多有两个零点
当且时.
.
当时单调递增，当时单调递减，
函数在最多有两个零点
若使得函数有四个零点，则需.
即，解得.
故选：C
13．若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】安徽省芜湖市芜湖县一中2020届高三下学期仿真模拟理科数学试题
【答案】A
【解析】因为，所以，则可化为，
整理得，因为，所以，
令，则函数在上递减，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则在上恒成立，
则在上递减，所以，
故只需满足：.
故选：A.
14．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由函数，
且f(x)在区间上单调递减，
∴在区间上,f′(x)=−sin2x+3a(csx−sinx)+2a−1≤0恒成立，
∵设，
∴当x∈时,,t∈[−1,1]，即−1≤csx−sinx≤1，
令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]，
原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立，
令g(t)=t2+3at+2a−2，
只需满足或或，
解得或或，
综上，可得实数a的取值范围是，
故选：A.
15．已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【来源】黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（五）数学（文）试题
【答案】C
【解析】由题意，函数，
可得，
又由函数在上有两个极值点，
则，即在上有两解，
即在在上有不等于2的解，
令，则，
所以函数在为单调递增函数，
所以且，
又由在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
又由函数在为单调递增函数，所以，
综上所述，可得实数的取值范围是，即，故选C.
16．若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由函数，得.
若函数在区间上单调递增,则在区间上恒成立.即在区间上恒成立.
即,时，，所以在区间上恒成立.
又，所以.
故选C.
17．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
【来源】四川省雅安市2021届高三三摸数学（理）试题
【答案】A
【解析】不等式，所以，即为，
即有，可令，则成立，
由和互为反函数，可得图象关于直线对称，
可得有解，
则，即，
可得，导数为，
可得时，函数递减，时，函数递增，
则时，取得最大值，
可得即有，所以，
可得，
即的最大值为．
故选：A
18．在关于的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有一个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】四川省攀枝花市2021届高三一模考试数学（理）试题
【答案】B
【解析】等价于，
令，
故的图象在图象的上方有且只有一个横坐标大于且为整数的点.
又，
当时，，当时，，当时，，
故在为减函数，在为增函数，在为减函数，
而恒成立，的图象为过的动直线，
故、的图象如图所示：
其中，，，
当时，，故，
因为的图象在图象的上方有且只有一个横坐标大于且为整数的点，
故.
当时，的图象在图象的上方有无穷多个横坐标大于且为整数的点，
此时不合题意，舍.
故选：B.
19．若曲线在点处的切线与直线平行，且对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】安徽省安庆市2021届高三下学期二模文科数学试题
【答案】C
【解析】，定义域为，又，
∴，可得．
∴，且，故在内单减．
不妨设，则，由
∴，即恒成立．
令，则在内单减，即．
∴()，而当且仅当时等号成立，
∴．
故选：C．
20．已知函数，若函数与有相同的最小值，则的最大值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】根据题意，求导可得，，
∵（ ），
∴在上单调递增，
又∵当时，
∴当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
故有，即得，
所以根据题意，若使，需使的值域中包含，
即得，
故的最大值为2.
故选：B.
21．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】湖南省常德市2021届高三下学期一模数学试题
【答案】A
【解析】当时，，，
当时，，单调递减，当时，单调递增，
作出的图象如图：
令，则函数恰有5个零点，
即方程恰有5个根，
即有两个不等实根，且一个根属于，一个根属于内.
令，
则，解得.
∴实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
22．已知函数，，若的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】山西省太原市2021届高三二模数学（理）试题
【答案】C
【解析】关于轴对称的解析式为，
因为的图像与的图像在上恰有两对关于轴对称的点，
所以在上有两个不等实根，
所以，
所以，即，
所以，
令，，则恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
所以原问题等价于与在上有两个交点，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得最小值，
当时，，
函数在上的图像如图所示，
所以要使与在上有两个交点，只要，
因为，所以，
即实数的取值范围是，
故选：C
23．已知函数，若仅有3个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题得，，当时，；当时，，
则当时，取得最大值，且当时，恒成立.
因为，
若，则或，无法满足仅有3个整数解；
若，则或.
若此时仅有3个整数解，又，
所以这3个整数解只可能是2，3，4，又，，且，
所以，则.
故选：D.
24．已知恰有一个极值点为1，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，函数的定义域为，
对函数求导得，
恰有一个极值点为1，
在上无解，即在上无解，
令，则，
函数在单调递增，
当时，，
.
故选：D.
二、填空题
25.（2020河北省沧州市模拟）直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
因为直线与曲线有两个公共点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与函数有两不同交点，因为，所以由得；由得或；因此函数在和上单调递减，在上单调递增，作出函数的简图大致如下：
因为；又与函数有两不同交点，所以由图像可得，只需.故答案为
26．（2020·四川高三期末（理））已知当时，均有不等式成立，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】时，不等式为，不恒成立；
时，，令，，由得，
当时，，递增，时，，递减，
∴时，，要使命题成立，则，；
时，函数是增函数，在唯一零点，
，，即增函数，，但当时，，所以有唯一零点，要使不等式恒成立，只有，
∴，，
综上的取值范围是．
故答案为：．
27．（2020·广东金山中学高三期末（理））已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】注意到在上递减，且关于对称.画出和的图像如下图所示，直线过定点.由于，所以是的零点.
由图像可知，当时，与只有一个公共点.
当时：
由化简得，由于时，，所以当时，，不在区间内，所以此时与没有公共点.当时，，在区间内，所以此时与有一个公共点.
当，且时，由图可知，要使与有个公共点，的取值范围应介于和过点的切线（虚线）的斜率之间.设切点为，，所以，解得，切线的斜率为.所以当时，符合题意.
当，且时，由图可知，要使与有个公共点，的取值范围应不大于过点的切线的斜率.，.所以当时符合题意.
综上所述，的取值范围是.
28．（2020·江苏高三模拟）已知关于的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】不等式有且仅有三个整数解，即；
即
设函数，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
， ， ， ，，
要使得，有三个整数解，则
，即
故答案为：
29．（2020·四川绵阳中学高三（理））若函数有且仅有1个零点，则实数m的取值范围为________．
【答案】或
【解析】，
当时，时，，时，，所以有极小值，由题意，令可得；
当时，，显然成立；
当时，，为增函数，且有，显然成立；
当时，时，，时，，时，，所以有极大值，显然成立；
当时，时，，时，，时，，所以有极小值，有极大值，
，若函数有且仅有1个零点，
则需要，即，
易知当时，恒成立.
综上可得或，故答案为：或.
30．（2020·吉林高三（理））已知函数有两个不同的极值点,且不等式恒成立,则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】,因为函数有两个不同的极值点,所以方程有两个不相等的正实数根,于是有：,解得.
,
设,
,故在上单调递增,故,所以.因此
的取值范围是，故答案为：