高考数学选填压轴题型第22讲概率中的应用问题专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学选填压轴题型第22讲概率中的应用问题专题练习(原卷版+解析)，共27页。
【方法综述】
概率与统计的问题在高考中的地位相对稳定，而由于概率与统计具有较强的现实应用背景，在近几年的高考中，概率与统计问题在高考中所占的地位有向压轴题变化的趋势。概率与统计的热点问题主要表现在一是：以数学文化和时代发展为背景设置概率统计问题 ，二是概率统计与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题。此类问题的解决，需要考生由较强的阅读理解能力，体现考生的数学建模、数据分析、数学运算及逻辑推理等核心素养。先就此类问题进行分析、归类，以帮助考生提升应试能力。
【解答策略】
类型一 以数学文化和时代发展为背景的概率问题
【例1】5．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为
A．B．C．D．
【来源】湖南省衡阳市第一中学2019-2020学年高三上学期7月第一次月考理科数学试题
【例2】（2020全国模拟）冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.
某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验n次.
方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.
若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）若，试求p关于k的函数关系式；
（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，
满足且（）都有成立.
（i）求证：数列等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值
【举一反三】
1．（2020·宁夏高考模拟（理））根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）
A．B．C．D．
2.（2020·河北高三期末（理））我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.
3．（2020•湖北模拟）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，
共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多
分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是
类型二 概率与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题
【例3】（2020•浙江模拟）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没
有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若0＜p＜，则
（ ）
A．E（X）＝B．E（X）＞C．D（X）＞D．D（X）＜
【例4】（2020 •开福区模拟）设一个正三棱柱ABC﹣DEF，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为P10，则P10为（ ）
A．B．
C．D．
【举一反三】
1．（2020 •越城区模拟）随机变量ξ有四个不同的取值，且其分布列如下：
则E（ξ）的最大值为（ ）
A．﹣1B．﹣C．D．1
2．（2020 •天心区模拟）已知函数f（x）＝，若，则方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五个不同根的概率为（ ）
A．B．C．D．
【强化训练】
1．（2020·安徽高考模拟（理））2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
2.设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（ ）
A. B. C. D.
3．（2020·湖北高考模拟（理））生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020•富阳区模拟）已知数列{an}满足a1＝0，且对任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，设an
的值为随机变量ξn，则（ ）
A．P（ξ3＝2）＝B．E（ξ3）＝1
C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2）D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）
5．（2019·四川成都七中高考模拟（理））如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列.已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率（ ）
A．B．C．D．
6．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为（），某次检验中可测频移范围为（）至（），该高铁以运行速度（至）经过时，可测量的概率为（ ）
A．B．C．D．
【来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期1月供题数学试题
7．新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省2020届高三下学期6月新高考进阶数学试题
8．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）
A．B．
C．D．
9．某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是
A．B．C．D．
10．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.
11．我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.
【来源】2020届河北省张家口市高三上学期期末教学质量监测数学（理）试题
12．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4 cm的圆面，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体落在铜钱内)，则油滴整体(油滴是直径为0.2 cm的球)正好落入孔中的概率是_____．(不作近似计算)
【来源】云南省峨山彝族自治县第一中学2021届高三三模数学（文）试题
13．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是____．
14．某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的款经典动漫角色玩偶中的一个.小明购买了个盲盒，则他能集齐个不同动漫角色的概率是______________.
【来源】安徽省马鞍山市2021届高三下学期第三次教学质量监测理科数学试题
15．某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的，，，四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：，，，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票的概率为___________.
【来源】江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题
16．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.
【来源】黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试试题
17．某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是______．
【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷 理科数学 （第二模拟）
18．（2020雁塔区校级模拟）为了解某次测验成绩，在全年级随机地抽查了100名学生的成绩，得到频率分布直方图（如图），由于某种原因使部分数据丢失，但知道后5组的学生人数成等比数列，设90分以下人数为38，最大频率为b，则b的值为 ．
19．（2020•宁波校级模拟）某保险公司新开设了一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，假若在一年内E发生的概率为p，为使公司受益的期望值不低于a的，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少为 元．
20．（2020·江苏高三（理））乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是,甲赢得比赛的概率是,则的最大值为_____.ξ
2sinαsinβ
3csαsinβ
3sinαcsβ
csαcsβ
P
t
第22讲 概率中的应用问题
【方法综述】
概率与统计的问题在高考中的地位相对稳定，而由于概率与统计具有较强的现实应用背景，在近几年的高考中，概率与统计问题在高考中所占的地位有向压轴题变化的趋势。概率与统计的热点问题主要表现在一是：以数学文化和时代发展为背景设置概率统计问题 ，二是概率统计与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题。此类问题的解决，需要考生由较强的阅读理解能力，体现考生的数学建模、数据分析、数学运算及逻辑推理等核心素养。先就此类问题进行分析、归类，以帮助考生提升应试能力。
【解答策略】
类型一 以数学文化和时代发展为背景的概率问题
【例1】5．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为
A．B．C．D．
【来源】湖南省衡阳市第一中学2019-2020学年高三上学期7月第一次月考理科数学试题
【答案】D
【解析】
提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，
根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行解析：
，对于区域，有5种颜色可选；
，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；
，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；
，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，
则区域有种选择，
则不同的涂色方案有种，
其中，区域涂色不相同的情况有：
，对于区域，有5种颜色可选；
，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；
，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；
，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，
则区域有种选择，
不同的涂色方案有种，
区域涂色不相同的概率为 ,故选D．
【点睛】
本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.
【例2】（2020全国模拟）冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.
某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验n次.
方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.
若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）若，试求p关于k的函数关系式；
（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，
满足且（）都有成立.
（i）求证：数列等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值
【答案】（1），（，且）.（2）（i）见解析（ii）最大值为4.
【解析】（1）解：由已知，，，得，
的所有可能取值为1，，
∴，.
∴.
若，则，，∴，∴.
∴p关于k的函数关系式为，（，且）.
（2）（i）∵证明：当时，，∴，令，则，
∵，∴下面证明对任意的正整数n，.
①当，2时，显然成立；
②假设对任意的时，，下面证明时，；
由题意，得，∴，
∴，，
∴，.
∴或（负值舍去）.∴成立.
∴由①②可知，为等比数列，.
（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.
设（），，∴当时，，即在上单调减.
又，，∴；，.∴.
∴k的最大值为4.
【举一反三】
1．（2020·宁夏高考模拟（理））根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家
基本事件总数：
甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：
甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：，本题正确选项：
2.（2020·河北高三期末（理））我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.
【答案】
【解析】将“甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务”这一事件可以分为两类：
第一类：甲抽到夏季六幅彩绘任务的事件数为：，
第二类：甲抽不到夏季六幅彩绘任务的事件数为：,
总的事件数为：，故所求概率为：.故答案为：.
3．（2020•湖北模拟）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，
共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多
分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是
【答案】
【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式得出首项与公差m的关系，列举得出所有的分配方案，从而得出结论．
解：由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成等差为m的等差数列，
设“男”分的橘子个数为a1，其前n项和为Sn，则S5＝5a1+＝80，
即a1+2m＝16，且a1，m均为正整数，
若a1＝2，则m＝7，此时a5＝30，
若a1＝4，m＝6，此时a5＝28，
若a1＝6，m＝5，此时a5＝26，
若a1＝8，m＝4，此时a5＝24，
若a1＝10，m＝3，此时a5＝22，
若a1＝12，m＝2，此时a5＝20，
若a1＝14，m＝1，此时a5＝18，
∴“公”恰好分得30个橘子的概率为．
类型二 概率与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题
【例3】（2020•浙江模拟）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没
有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若0＜p＜，则
（ ）
A．E（X）＝B．E（X）＞C．D（X）＞D．D（X）＜
【答案】
【解析】X的可能取值为2，3，
P（X＝2）＝p2+（1﹣p）2＝2p2﹣2p+1，
P（X＝3）＝＝2p﹣2p2，
E（X）＝2×（2p2﹣2p+1）+3（2p﹣2p2）＝﹣2p2+2p+2，
E（X2）＝4×（2P2﹣2p+1）+9×（2p﹣2p2）＝﹣10p2+10p+4，
D（X）＝E（X2）﹣E2（X）＝﹣10p2+10p+4﹣（﹣2p2+2p+2）2＝﹣4p4+8p3﹣6p2+2p，
因为E（X）以p＝为对称轴，开口向下，
所以E（X）在p∈（0，）时，E（X）单调递增，
所以E（X）≤＝，排除A，B．
D′（X）＝﹣16p3+24p2﹣12p+2，
D″（X）＝﹣12（2p﹣1）2≤0，
所以D′（X）在p∈（0，1）上单调递减，
又当p＝时，D′（X）＝＞0，
所以当p∈（0，1）时，D′（X）＞0，
所以p∈（0，1）时D（X）单调递增，
所以D（X）＜﹣4×＝．故选：D．
【例4】（2020 •开福区模拟）设一个正三棱柱ABC﹣DEF，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为P10，则P10为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】设蚂蚁爬n次仍在上底面的概率为Pn，那么它前一步只有两种情况：
A：如果本来就在上底面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率是Pn﹣1；
B：如果是上一步在下底面，则第n﹣1步不再上底面的概率是1﹣Pn﹣1，如果爬上来，其概率应是（1﹣Pn﹣1）．
A，B事件互斥，因此，Pn＝Pn﹣1+（1﹣Pn﹣1）；
整理得，Pn＝Pn﹣1+；即Pn﹣＝（Pn﹣1﹣）；
构造等比数列{Pn﹣}，公比为，首项为P1﹣＝﹣＝，
可得Pn＝（）n+．
因此第10次仍然在上底面的概率P10＝（）10+．故选：D．
【举一反三】
1．（2020 •越城区模拟）随机变量ξ有四个不同的取值，且其分布列如下：
则E（ξ）的最大值为（ ）
A．﹣1B．﹣C．D．1
【答案】C
【解析】【分析】依题意，t＝1﹣×＝，所以E（ξ）＝（2sinαsinβ+3csαsinβ+3sinαcsβ）+csαcsβ＝（csαsinβ+sinαcsβ）+（sinαsinβ+csαcsβ）＝sin（α+β）+cs（α﹣β），根据α，β的情况讨论即可得到E（ξ）的最大值．
解：依题意，t＝1﹣×＝，
所以E（ξ）＝（2sinαsinβ+3csαsinβ+3sinαcsβ）+csαcsβ
＝（csαsinβ+sinαcsβ）+（sinαsinβ+csαcsβ）
＝sin（α+β）+cs（α﹣β），
所以当α+β＝，α﹣β＝2kπ，（k∈z）时，即（k∈Z）时，
E（ξ）取得最大值＝1．故选：D．
2．（2020 •天心区模拟）已知函数f（x）＝，若，则方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五个不同根的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，结合图象求得由方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五个不同的实数根时f（x）的取值范围；再构造函数，利用二次函数的图象与性质求出关于a、b的不等式组表示的平面区域，计算平面区域面积比即可．
解：画出函数f（x）＝的图象，如图1所示；
令f（x）＝t，由方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五个不同的实数根，
即方程t2﹣at+b＝0有两个不同的实数根t1、t2，
由f（x）的图象知，t1＜0，且0＜t2＜1；
设g（t）＝t2﹣at+b，
由二次函数g（t）的图象与性质可得，
又不等式组表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，
且满足条件的区域如阴影部分，其面积2﹣＝，如图2所示；
则所求的概率值为P＝＝．故选：B．
【强化训练】
1．（2020·安徽高考模拟（理））2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】名同学去旅游的所有情况有：种
恰有一个地方未被选中共有：种情况
恰有一个地方未被选中的概率：本题正确选项：
2.设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设事件为“从所给数中任取一个”，则，所求事件为事件，
要计算所包含的基本事件个数，则需要确定的关系，从恒成立的不等式入手，恒成立，
只需，而，当时，，
所以当时，，
所以，得到关系后即可选出符合条件的：
共8个，当时， ，
所以符合条件，综上可得，所以
3．（2020·湖北高考模拟（理））生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种情况，由间接法得到满足条件的情况有
当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种，
由间接法得到满足条件的情况有
共有：种情况，不考虑限制因素，总数有种，
故满足条件的事件的概率为： ，故答案为：C.
4．（2020•富阳区模拟）已知数列{an}满足a1＝0，且对任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，设an
的值为随机变量ξn，则（ ）
A．P（ξ3＝2）＝B．E（ξ3）＝1
C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2）D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）
【答案】D
【解析】依题意a2＝1或a2＝﹣1，且P（a2＝1）＝P（a2＝﹣1）＝，
ξ3＝a3的可能取值为a2+1＝2，a2﹣1＝0，a2+1＝0，a2﹣1＝﹣2，
P（ξ3＝2）＝×＝，
P（ξ3＝0）＝2×＝，
P（ξ3＝﹣2）＝＝，
E（ξ3）＝2×+0×+（﹣2）×＝0，由此排除A和B；
ξ4＝a4的可能取值为a3+1＝3，a3﹣1＝1，a3+1＝﹣1，a3﹣1＝﹣3，
P（ξ4＝3）＝P（ξ3＝2）＝，
P（ξ4＝1）＝＝，
P（ξ4＝﹣1）＝＝，
P（ξ4＝﹣3）＝P（ξ3＝﹣2）＝．．
ξ5＝a5的可能取值为4，2，0，﹣2，﹣4．
P（ξ5＝0）＝＝，
P（ξ5＝2）＝＝，
所以P（ξ5＝0）＞P（ξ5＝2），排除C．
因为P（ξ5＝0）＝，P（ξ3＝0）＝，所以P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0），故选：D．
5．（2019·四川成都七中高考模拟（理））如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列.已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，事件共有=120个基本事件，事件“局部等差”数列共有以下24个基本事件，
（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个， 含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.
含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.
含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2个，
含4，3，2的同理也有2个.
含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，
含5，3，1的也有上述4个，共24个，
=.故选C.
6．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为（），某次检验中可测频移范围为（）至（），该高铁以运行速度（至）经过时，可测量的概率为（ ）
A．B．C．D．
【来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期1月供题数学试题
【答案】A
【解析】根据题意及图形可得：
当时，，
当时，，
该高铁以运行速度（至）经过时频移范围为至，其区间长度为，
因为某次检验中可测频移范围为（）至（）其区间长度为，所以可测量的概率为.
故选：A.
7．新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省2020届高三下学期6月新高考进阶数学试题
【答案】C
【解析】5个快递送到5个地方有种方法，全送错的方法数：
先分步：第一步快递送错有4种方法，第二步考虑所送位置对应的快递，假设送到丙地，第二步考虑快递，对分类，第一类送到甲地，则剩下要均送错有2种可能（丁戊乙，戊乙丁），第二类送到乙丁戊中的一个地方，有3种可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送错有3种可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴总的方法数为，所求概率为．
故选：C．
8．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，基本事件总数为：种
事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：
烟、糖、糖、糖：种
糖、烟、糖、糖： 种
糖、糖、烟、糖：种
包含的基本事件个数为：54，
所以，其概率为
故选：D
9．某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为三辆车皆不相邻的情况有，所以三辆车皆不相邻的概率为,
因此至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是选C.
10．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.
【答案】
【解析】根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.
所以该验证码的中间数字是7的概率为.
11．我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.
【来源】2020届河北省张家口市高三上学期期末教学质量监测数学（理）试题
【答案】
【解析】将“甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务”这一事件可以分为两类：
第一类：甲抽到夏季六幅彩绘任务的事件数为：，
第二类：甲抽不到夏季六幅彩绘任务的事件数为：,
总的事件数为：，故所求概率为：.
故答案为：.
12．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4 cm的圆面，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体落在铜钱内)，则油滴整体(油滴是直径为0.2 cm的球)正好落入孔中的概率是_____．(不作近似计算)
【来源】云南省峨山彝族自治县第一中学2021届高三三模数学（文）试题
【答案】
【解析】随机向铜钱上滴一滴油，且油滴整体落在铜钱内，则油滴球心在以圆面圆心为圆心，半径为2－0.1＝1.9的圆内，即
若油滴整体正好落入孔中，则油滴在与正方形孔边沿距离为0.1的正方形内，
即，所以概率是 .
13．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：
当，其出现的概率为，
当，其出现的概率为，
当，其出现的概率为，
当其出现的概率为，
∵甲获胜的概率为，即的概率为，
则满足整理得.
14．某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的款经典动漫角色玩偶中的一个.小明购买了个盲盒，则他能集齐个不同动漫角色的概率是______________.
【来源】安徽省马鞍山市2021届高三下学期第三次教学质量监测理科数学试题
【答案】
【解析】个盲盒中，每个盲盒中放入的动漫角色有种选择，共有种不同的情况，当集齐个不同动漫角色时，其中有一种动漫角色有个，另外两种动漫角色各个，共有种，因此，所求概率为.
15．某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的，，，四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：，，，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票的概率为___________.
【来源】江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题
【答案】
【解析】由题意可知，每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票有如下两种情况：①若得3票，其概率为；②若得2票，其概率为，所以最终仅一人获得最高得票的概率为..
16．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.
【来源】黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试试题
【答案】
【解析】将三药分别记为，，，三方分别记为，，，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有(种)，两名患者可选择的药方共有(种)，所以.
故答案为：.
17．某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是______．
【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷 理科数学 （第二模拟）
【答案】0.968
【解析】设甲、乙、丙三名教师某天使用1号录播教室上课分别为事件，，，则，，，则所求事件的概率
．
故答案为：．
18．（2020雁塔区校级模拟）为了解某次测验成绩，在全年级随机地抽查了100名学生的成绩，得到频率分布直方图（如图），由于某种原因使部分数据丢失，但知道后5组的学生人数成等比数列，设90分以下人数为38，最大频率为b，则b的值为 ．
【答案】0.32
【解析】由抽查了100名学生的成绩，90分以下人数为38，则90分以上人数为100﹣38＝62人，为后五组的累积频数
由于后5组的学生人数成等比数列，设第四组的频数为a，公比为q（0＜q＜1），则
S5＝＝a（q4+q3+q2+q+1）
由各组人数均为整数，故＜62，故q＝，a＝32，则b＝＝0.32，故答案为：0.32
19．（2020•宁波校级模拟）某保险公司新开设了一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，假若在一年内E发生的概率为p，为使公司受益的期望值不低于a的，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少为 元．
【答案】（p+0.1）a
【解析】用随机变量ξ表示此项业务的收益额，x表求顾客缴纳的保险金，则ξ的所有可能取值为x，x﹣a，
且P（ξ＝x）＝1﹣p，P（ξ＝x﹣a）＝p，
∴Eξ＝x（1﹣p）+（x﹣a）p＝x﹣ap，
∵公司受益的期望值不低于a的，
∴x﹣ap≥，
∴x≥（p+0.1）a（元）．故答案为：（p+0.1）a．
20．（2020·江苏高三（理））乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是,甲赢得比赛的概率是,则的最大值为_____.
【答案】
【解析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： （甲净胜二局）， （前二局甲一胜一负，第三局甲胜）．
因为 与 互斥，所以甲胜概率为 则 设
即答案为.，注意到，则函数在和 单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极大值，也是最大值，最大值为 即答案为.
ξ
2sinαsinβ
3csαsinβ
3sinαcsβ
csαcsβ
P
t