2023-2024学年浙江省宁波市鄞州区十二校联考八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市鄞州区十二校联考八年级（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．（摘自百度百科）下列剪纸图片中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为3cm、6cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12cmB．13cm
C．12cm或15cmD．15cm
3．（3分）已知a＞b，在下列四个不等式中，不正确的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3B．﹣a+2＞﹣b+2C．2a＞2bD．1+4a＞1+4b
4．（3分）能说明“三角形的高线一定在三角形的内部（含边界）”是假命题的反例是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：其中不能使△ABC≌△AED的条件（ ）
A．AB＝AEB．BC＝EDC．∠C＝∠DD．∠B＝∠E
6．（3分）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（ ）
A．50°B．60°C．75°D．85°
7．（3分）如图，∠AOB＝30°，以点O为圆心，任意长为半径作弧分别交OB，OA于点C，D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，过E点作EF∥OB，EG⊥OB于点G，若OF＝2，则EG的长为（ ）
A．2.5B．2C．1.5D．1
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（ ）
A．3B．C．3.5D．
9．（3分）如图，O是正△ABC内一点，OA＝1，，OC＝2，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论不正确的是（ ）
A．点O与O'的距离为B．∠AOC＝150°
C．D．
10．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按如图②的方式放置在最大等边三角形内．若知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中（ ）
A．最大等边三角形与直角三角形面积的和
B．最大等边三角形的面积
C．较小两个等边三角形重叠部分的面积
D．直角三角形的面积
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（3分）命题“对顶角相等”的逆命题是 ．
12．（3分）若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，则a的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在正方形网格中，点A、B、P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝ °．
14．（3分）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为 cm2．
15．（3分）已知△ABC中有一个内角是30°，AB＝AC，AB边上的中垂线交直线BC于点D，连结AD，则∠DAC＝ ．
16．（3分）如图，图1是一个儿童滑梯，AE，DF，MN是滑梯的三根加固支架（如图2），且AE和DF都垂直地面BC，N是滑道DC的中点，小周测得FM＝2米，MN＝3米，MC＝6米，通过计算，他知道了滑道NC长为 米．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17．（6分）（1）解不等式5x+2≤4+3x；
（2）解不等式组：．
四、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（6分）在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，请在甲，乙，丙三个方格图中，分别按照要求画一个格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形）．
（1）请在图甲中作△DEF与△ABC全等．
（2）请在图乙中作格点三角形与△ABC全等，且所作的三角形有一条边经过MN的中点．
（3）请在图丙中作格点△PQR与△ABC不全等但面积相等．
19．（6分）（1）如图，在△ABC和△ADE中，点C在线段DE上，且AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE；
（2）在（1）的条件下，若∠E＝70°，求∠BAD的度数．
20．（8分）如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于点F．
（1）求证：△AEF≌△CDF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求DF的长．
21．（8分）随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：
（1）求A，B两种型号的净水器的销售单价；
（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台，求A种型号的净水器最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
22．（8分）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．
求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．
23．（10分）【阅读材料】证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质．如果两条线段不在同一个三角形中，且所在三角形明显不全等，此时就需要添加辅助线来构造全等三角形．
（1）【理解应用】如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且CD＞BD，连接AD，小明对△ABC进行了如下操作：在CD上取一点E，使得AE＝AD，连接AE，则可证明△ABD≌△ACE，请你补充小明操作过程的证明；
（2）【类比探究】如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC+∠ADC＝180°，求证：CD＝CB；
（3）【拓展应用】如图3，已知△ABC是边长为5cm的等边三角形，点E在CA的延长线上，且AE＝1.5cm，连接EB，在线段BC上取点F，连接EF，使得EB＝EF，求BF的长．
2023-2024学年浙江省宁波市鄞州区十二校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．（摘自百度百科）下列剪纸图片中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的剪纸图都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的剪纸图能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为3cm、6cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12cmB．13cm
C．12cm或15cmD．15cm
【分析】分类讨论：底边为3cm，底边为6cm，根据三角形的周长公式，可得答案．
【解答】解：底边为3cm，腰长为6cm，这个三角形的周长是3+6+6＝15cm，
底边为6cm，腰长为3cm，3+3＝6，不能以6cm为底构成三角形，
故该等腰三角形的周长是15cm．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，分类讨论是解题关键．
3．（3分）已知a＞b，在下列四个不等式中，不正确的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3B．﹣a+2＞﹣b+2C．2a＞2bD．1+4a＞1+4b
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、不等式的两边都减去3，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、不等式的两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，再在不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，原变形不正确，故此选项符合题意；
C、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、不等式的两边都乘以4，不等号的方向不改变，再在不等式的两边都加上1，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）能说明“三角形的高线一定在三角形的内部（含边界）”是假命题的反例是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到三角形的高线在三角形的外部的选项即可．
【解答】解：能说明“三角形的高线一定在三角形的内部（含边界）”是假命题的反例是：
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解能判断一个命题是假命题的方法是举出反例，难度不大．
5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：其中不能使△ABC≌△AED的条件（ ）
A．AB＝AEB．BC＝EDC．∠C＝∠DD．∠B＝∠E
【分析】根据等式的性质可得∠CAB＝∠DAE，然后再结合判定两个三角形全等的一般方法SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
∴∠CAB＝∠DAE，
A、添加AB＝AE可利用SAS定理判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；
B、添加CB＝DE不能判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；
C、添加∠C＝∠D可利用ASA定理判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；
D、添加∠B＝∠E可利用AAS定理判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（3分）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（ ）
A．50°B．60°C．75°D．85°
【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°，
∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
7．（3分）如图，∠AOB＝30°，以点O为圆心，任意长为半径作弧分别交OB，OA于点C，D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，过E点作EF∥OB，EG⊥OB于点G，若OF＝2，则EG的长为（ ）
A．2.5B．2C．1.5D．1
【分析】过点E作EH⊥OA于点H，结合角平分线的定义以及平行线的性质可得∠EOF＝∠OEF＝15°，进而可得∠EFH＝∠EOF+∠OEF＝30°，OF＝EF＝2，则EH＝EF＝1，根据角平分线的性质可得EG＝EH，即可得出答案．
【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，
由题意可知，OE为∠AOB的角平分线，
∴∠BOE＝∠AOE＝∠AOB＝15°，EG＝EH，
∵EF∥OB，
∴∠BOE＝∠FEO，
∴∠EOF＝∠OEF＝15°，
∴∠EFH＝∠EOF+∠OEF＝30°，OF＝EF＝2，
在Rt△EFH中，∠EFH＝30°，
则EH＝EF＝1，
∴EG＝1．
故选：D．
【点评】本题考查尺规作图、角平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（ ）
A．3B．C．3.5D．
【分析】作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到PM+PN的最小值．
【解答】解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，
∴PN+PM＝PN+PM'，
当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，
此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，
∴M'N＝AM'＝×（7﹣1）＝3，
∴PM+PN的最小值为 3，
故选：A．
【点评】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．（3分）如图，O是正△ABC内一点，OA＝1，，OC＝2，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论不正确的是（ ）
A．点O与O'的距离为B．∠AOC＝150°
C．D．
【分析】由旋转得∠OBO′＝60°，O′B＝OB＝，O′A＝OC＝2，则△OBO′是正三角形，所以OO′＝OB＝，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，可判断A正确；由OA2+OO′2＝O′A2＝4，证明∠AOO′＝90°，因为OA＝O′A，所以∠OO′A＝30°，则∠BO′A＝90°，∠AOB＝150°，所以∠AOC＝120°，可判断B错误；作BE⊥AO交AO的延长线于点E，因为∠BOE＝180°﹣∠AOB＝30°，所以BE＝OB＝，可求得S△AOB＝，可判断C正确；因为S△AO′B＝O′A•O′B＝，所以S四边形AOBO′＝S△AO′B+S△AOB＝，可判断D正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴AB＝CB，
由旋转得△BO′A≌△BOC，∠OBO′＝60°，
∴O′B＝OB＝，O′A＝OC＝2，
∴△OBO′是正三角形，
∴OO′＝OB＝，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
故A正确；
∵OA2+OO′2＝12+（）2＝4，O′A2＝22＝4，
∴OA2+OO′2＝O′A2，
∴△AOO′是直角三角形，且∠AOO′＝90°，
∵OA＝O′A，
∴∠OO′A＝30°，
∴∠BO′A＝∠BOC＝60°+30°＝90°，∠AOB＝60°+90°＝150°，
∴∠AOC＝360°﹣90°﹣150°＝120°，
故B错误；
作BE⊥AO交AO的延长线于点E，则∠E＝90°，
∵∠BOE＝180°﹣∠AOB＝30°，
∴BE＝OB＝，
∴S△AOB＝OA•BE＝×1×＝，
故C正确；
∵S△AO′B＝O′A•O′B＝×2×＝，
∴S四边形AOBO′＝S△AO′B+S△AOB＝+＝，
故D正确，
故选：B．
【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理的逆定理、直角三角形中30°角的对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10．（3分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按如图②的方式放置在最大等边三角形内．若知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中（ ）
A．最大等边三角形与直角三角形面积的和
B．最大等边三角形的面积
C．较小两个等边三角形重叠部分的面积
D．直角三角形的面积
【分析】设三个等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，则有S1+S2＝S3，利用三角形面积的和与差可得结论．
【解答】解：如图，
以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，设它们的面积分别为S1、S2、S3，则有S1+S2＝S3，
∴S1+S2+S阴影＝S3+S△EFG，
∴S阴影＝S△EFG，
即知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中较小两个等边三角形重叠部分的面积，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明和三角形的面积，直观识图是关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（3分）命题“对顶角相等”的逆命题是 相等的角为对顶角 ．
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为：相等的角为对顶角．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
12．（3分）若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，则a的取值范围是 a＜1 ．
【分析】先根据不等式的解集是x＞1得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，
∴a﹣1＜0，解得a＜1．
故答案为：a＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
13．（3分）如图，在正方形网格中，点A、B、P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝ 45 °．
【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得△PCB是等腰直角三角形，可得∠BPC＝45°，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：延长AP至C，连接BC，
CP＝CB＝＝，
BP＝＝，
∵（）2+（）2＝（）2，即CP2+CB2＝BP2，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴∠BPC＝45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠BPC＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是得到△PCB是等腰直角三角形．
14．（3分）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为 4 cm2．
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积＝S△ABC．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP＝∠EBP，
又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查面积及等积变换的知识点．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点．
15．（3分）已知△ABC中有一个内角是30°，AB＝AC，AB边上的中垂线交直线BC于点D，连结AD，则∠DAC＝ 90°或45° ．
【分析】分30°是底角和30°的角是顶角两种情况讨论，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：∠B＝30°是底角，如图1：
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°，
∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝30°+30°＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
∠BAC＝30°的角是顶角，如图2：
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，
∴∠BED＝∠AED＝90°﹣75°＝15°，
∴∠ADC＝15°+15°＝30°，
∴∠DAC＝75°﹣30°＝45°．
故∠DAC＝90°或45°．
故答案为：90°或45°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，注意分类思想的应用，难度不大．
16．（3分）如图，图1是一个儿童滑梯，AE，DF，MN是滑梯的三根加固支架（如图2），且AE和DF都垂直地面BC，N是滑道DC的中点，小周测得FM＝2米，MN＝3米，MC＝6米，通过计算，他知道了滑道NC长为 米．
【分析】连接FN，过N作NG⊥CF于G，由直角三角形斜边上的中线性质得FN＝DC＝CN，再由等腰三角形的性质得FG＝CG＝CF＝4米，然后由勾股定理得NG＝米，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接FN，过N作NG⊥CF于G，
∵FM＝2米，MC＝6米，
∴CF＝FM+MC＝8（米），
∵DF⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∵N是滑道DC的中点，
∴FN＝DC＝CN，
∵NG⊥CF，
∴FG＝CG＝CF＝4（米），
∴MG＝FG﹣FM＝4﹣2＝2（米），
在Rt△MNG中，由勾股定理得：NG＝＝＝（米），
在Rt△CNG中，由勾股定理得：NC＝＝＝（米），
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学知识，属于中考常考题型．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17．（6分）（1）解不等式5x+2≤4+3x；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）5x+2≤4+3x，
5x﹣3x≤4﹣2，
2x≤2，
x≤1；
（2），
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
四、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（6分）在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，请在甲，乙，丙三个方格图中，分别按照要求画一个格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形）．
（1）请在图甲中作△DEF与△ABC全等．
（2）请在图乙中作格点三角形与△ABC全等，且所作的三角形有一条边经过MN的中点．
（3）请在图丙中作格点△PQR与△ABC不全等但面积相等．
【分析】（1）根据全等三角形的判定作出图形即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）利用等高模型作出图形即可．
【解答】解：（1）如图甲中，△DEF即为所求；
（2）如图乙中，△DEF即为所求；
（3）如图丙中，△PQR即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于直径常考题型．
19．（6分）（1）如图，在△ABC和△ADE中，点C在线段DE上，且AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE；
（2）在（1）的条件下，若∠E＝70°，求∠BAD的度数．
【分析】（1）根据ASA可证明△ABC≌△ADE；
（2）由全等三角形的性质得出AC＝AE，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E＝70°，
∴∠BAD＝∠CAE＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质证明△ABC≌△ADE是解本题的关键．
20．（8分）如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于点F．
（1）求证：△AEF≌△CDF；
（2）若AB＝4，BC＝8，求DF的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到∠E＝∠B，AB＝AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF＝CF，EF＝DF，根据勾股定理得到DF＝3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，
∴∠E＝∠B，AB＝AE，
∴AE＝CD，∠E＝∠D，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵AB＝4，BC＝8，
∴CE＝BC＝8，AE＝CD＝AB＝4，
∵△AEF≌△CDF，
∴AF＝CF，EF＝DF，
在Rt△CDF中，DF2+CD2＝CF2，即DF2+42＝（8﹣DF）2，
解得DF＝3，
【点评】本题主要考查图形的折叠，第一问解题关键是利用在折叠过程中对应边和对应角相等，第二问的解题关键是借助直角三角形中勾股定理求解．
21．（8分）随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：
（1）求A，B两种型号的净水器的销售单价；
（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台，求A种型号的净水器最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设A、B两种型号净水器的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的净水器收入18000元，4台A型号10台B型号的净水器收入31000元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号净水器a台，则采购B种型号净水器（30﹣a）台，根据金额不多余54000元，列不等式求解；
（3）设利润为12800元，列方程求出a的值，符合（2）的条件，可知能实现目标．
【解答】解：（1）设A、B两种净水器的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：．
答：A、B两种净水器的销售单价分别为2500元、2100元．
（2）设采购A种型号净水器a台，则采购B种净水器（30﹣a）台．
依题意得：2000a+1700（30﹣a）≤54000，
解得：a≤10．
故超市最多采购A种型号净水器10台时，采购金额不多于54000元．
（3）依题意得：（2500﹣2000）a+（2100﹣1700）（30﹣a）＝12800，
解得：a＝8，
答：采购A种型号净水器8台，采购B种型号净水器22台，公司能实现利润12800元的目标．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
22．（8分）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．
求证：CD为△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．
【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，根据“等角三角形”的定义证明；
（3）分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【解答】解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；
（2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°
∵CD为角平分线，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，
∴CD＝DA，
∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，
∠B＝∠B，
∴CD为△ABC的等角分割线；
（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，
当△ACD是等腰三角形，如图，3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，
∠BCD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝69°+42°＝111°，
当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，
∴∠ACB＝92°，
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，
设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180°﹣2x，
则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由题意得，180°﹣2x+42°＝x，
解得，x＝74°，
∴∠ACD＝180°﹣2x＝32°，
∴∠ACB＝106°，
当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在，
∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°．
【点评】本题“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
23．（10分）【阅读材料】证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质．如果两条线段不在同一个三角形中，且所在三角形明显不全等，此时就需要添加辅助线来构造全等三角形．
（1）【理解应用】如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且CD＞BD，连接AD，小明对△ABC进行了如下操作：在CD上取一点E，使得AE＝AD，连接AE，则可证明△ABD≌△ACE，请你补充小明操作过程的证明；
（2）【类比探究】如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC+∠ADC＝180°，求证：CD＝CB；
（3）【拓展应用】如图3，已知△ABC是边长为5cm的等边三角形，点E在CA的延长线上，且AE＝1.5cm，连接EB，在线段BC上取点F，连接EF，使得EB＝EF，求BF的长．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由“SAS”可证△ADC≌△AEC，可得CD＝CE，∠ADC＝∠AEC，可证∠ABC＝∠CEB，可得CB＝CE，即可求解；
（3）由“AAS”可证△ABE≌△MEF，可得AE＝MF，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠ABC＝∠ACB，∠EDA＝∠DEA，
∴∠BDA＝∠CEA．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）证明：如图2，在AB上截使AD＝AE，连接CE，
∵AC平分∠DAB，
∴∠EAC＝∠DAC．
在△ADC和△AEC中，
，
∴△ADC≌△AEC（SAS），
∴EC＝DC，∠ADC＝∠AEC．
∵∠ABC+∠ADC＝180°＝∠CEB+∠AEC，
∴∠ABC＝∠CEB，
∴CB＝CE，
∴CD＝CB；
（3）解：∵EF＝EB，
∴∠EBF＝∠EFB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠EBF＝∠EBA+60°，∠EFB＝∠FEC+60°，
∴∠EBA＝∠FEC，
如图3，在AC上取一点M，连接FM，使FM＝CF．
∵∠ACB＝60°，
∴△CFM是等边三角形，
∴∠CMF＝60°，
∴∠BAE＝∠EMF＝120°．
在△ABE和△MEF中，
∴△ABE≌△MEF（AAS），
∴AE＝MF，
∵FM＝CF，
∴CF＝AE＝1.5cm，
∵BC＝5cm，
∴BF＝BC﹣CF＝3.5cm．
∴BF的长为3.5cm．
【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
18000元
第二周
4台
10台
31000元
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
18000元
第二周
4台
10台
31000元