第一单元长方体和正方体·体积篇-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（含答案）苏教版 练习

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篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！101数学创作社2024年8月14日2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列第一单元长方体和正方体·体积篇【十八大考点】【第一篇】专题解读篇【第二篇】目录导航篇TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc3598" 【考点一】体积与容积单位的认识  PAGEREF _Toc3598 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc6427" 【考点二】体积与容积单位换算  PAGEREF _Toc6427 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc28629" 【考点三】长方体的体积  PAGEREF _Toc28629 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc5747" 【考点四】长方体的体积（容积）与生活实际应用  PAGEREF _Toc5747 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc10986" 【考点五】正方体的体积  PAGEREF _Toc10986 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc31363" 【考点六】正方体的体积（容积）与生活实际应用  PAGEREF _Toc31363 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc13037" 【考点七】体积的扩倍问题  PAGEREF _Toc13037 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc27005" 【考点八】折叠问题  PAGEREF _Toc27005 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc26136" 【考点九】等积变形问题其一：熔铸问题  PAGEREF _Toc26136 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc4181" 【考点十】等积变形问题其二：倒水问题  PAGEREF _Toc4181 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc28324" 【考点十一】等积变形问题其三：底面变化问题  PAGEREF _Toc28324 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc17681" 【考点十二】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其一  PAGEREF _Toc17681 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc5227" 【考点十三】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其二  PAGEREF _Toc5227 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc31335" 【考点十四】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其三  PAGEREF _Toc31335 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc10582" 【考点十五】排水法求不规则物体体积其一：基础性问题  PAGEREF _Toc10582 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc17154" 【考点十六】排水法求不规则物体体积其二：求水深  PAGEREF _Toc17154 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc10415" 【考点十七】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题  PAGEREF _Toc10415 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc2757" 【考点十八】不规则及组合立体图形的体积  PAGEREF _Toc2757 \h 23【第三篇】典型例题篇【考点一】体积与容积单位的认识。【方法点拨】1.容积及容积单位。容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。2.体积及体积单位。体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。3.由于测量方法的不同，体积一般大于容积。【典型例题】1．（体积单位）在括号里填上合适的单位。(1)一台冰箱所占的空间大约是1.2( )。(2)一本数学书封面的面积大约是280( )。2．（容积单位）在括号里填上“升”或“毫升”。一辆汽车油箱的容量是50( )   一瓶眼药水大约13( )一袋牛奶大约200( )          一个电饭煲容量是4( )【对应练习1】在括号里填上合适的单位。一块香皂的体积约是15( )；一个水杯的容积约是0.3( )。【对应练习2】一块橡皮的体积约10( )；一个矿泉水瓶容积是500( )。【对应练习3】在括号里填上合适的单位。一个文具盒的体积是200( )    冰箱的容积约为200( )【考点二】体积与容积单位换算。【方法点拨】1.体积与容积单位进率。1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。2.体积与容积单位换算。高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。【典型例题】在括号里填上合适的数。40dm3＝( )cm3        850L＝( )m36400mL＝( )L        0.26dm3＝( )L＝( )mL【对应练习1】在括号里填上合适的数。950毫升＝( )立方分米    24.07立方米＝( )立方米( )立方分米【对应练习2】在括号里填上适当的数。＝( )L             ＝( )1250mL＝( )          680mL＝( )L【对应练习3】在括号里填上适当的数。4600cm3＝( )dm3             30L＝( )mL5.7m3＝( )m3( )dm3        42.07dm3＝( )L＝( )mL【考点三】长方体的体积。【方法点拨】1.长方体的体积=长×宽×高，用字母表示V=abh。 2.长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h；3.宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h； 4.高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。【典型例题1】反求高。某工地运来9.6立方米的沙子，铺在一个长6米、宽2.5米的沙坑里，可以铺多厚？【典型例题2】求体积。一个长方体的底面积是1.5平方米，高是0.6米，体积是( )。【对应练习1】用铁丝焊一个如图所示的长方体框架，至少要用铁丝( )cm，这个框架的体积是( )。【对应练习2】一个长方体的长是6cm，宽是5cm，高是3cm。这个长方体的表面积是( )，体积是( )。【对应练习3】一个长方体的棱长之和是84cm，已知长方体的长是8cm，宽是6cm，这个长方体的表面积是( )，体积是( )。【考点四】长方体的体积（容积）与生活实际应用。【方法点拨】长方体的体积=长×宽×高，用字母表示V=abh。【典型例题】1．如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长10分米、宽8分米、高4分米，混凝土厚1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。2．杭州亚运会跳水比赛在杭州奥体中心游泳馆举行。杭州奥体中心游泳馆位于杭州市萧山区，与杭州奥体中心体育馆称“化蝶”双馆。在杭州亚运会上，中国跳水“梦之队”在这里包揽了全部十枚金牌。工作人员现在给一个长50米，宽30米的长方体游泳池注水，注水速度是每小时200立方米。要使水深达到1.8米。需要多长时间？【对应练习1】学校运动场有一个长6米、宽4米、深0.5米的长方体沙坑。（1）工人把7.2立方米的黄沙铺在沙坑里，可以铺多厚？（2）如果每立方米沙子180元，这个沙坑填满沙子，需要多少元？（3）请提出一个数学问题，并解答。【对应练习2】给一个新修的长55米、宽24米的长方体水池注水，注水速度为每小时200立方米，要注入深1.5米的水大约需要多长时间？【对应练习3】一个长方体油箱，从里面量长0.8m，宽0.24m，深0.5m，这个油箱能装油多少升？如果把这些油分装在500mL的瓶子里，能装满多少瓶？【考点五】正方体的体积。【方法点拨】正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。【典型例题】棱长5米的正方体，它的表面积是( )m2，体积是( )m3。【对应练习1】一块棱长10cm的正方体冰块，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。【对应练习2】一个棱长6厘米的正方体，它的棱长和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。【对应练习3】一个正方体包装箱的棱长是3dm，它的棱长总和是( )dm，制作这个包装箱至少需要( )dm2纸皮（拼接处不计），这个包装箱的体积是( )dm3。【考点六】正方体的体积（容积）与生活实际应用。【方法点拨】正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。【典型例题】一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？【对应练习1】一个正方体水槽，从里面量得棱长60厘米，往里面倒入198升水，水面离水槽口还有多少厘米？【对应练习2】纸盒厂生产一种正方体纸板箱，它的棱长和为72厘米，做这样一个纸板箱体积是多少立方厘米？【对应练习3】有一个棱长为6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为7.5千克，这个铁块重多少千克？【考点七】体积的扩倍问题。【方法点拨】长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。【典型例题】一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。【对应练习1】一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，它的表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。【对应练习2】一个正方体的棱长是4cm，现将棱长扩大为原来的3倍，它的表面积扩大为原来的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。【对应练习3】长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的表面积扩大( )倍，体积扩大( )倍。【考点八】折叠问题。【方法点拨】根据折叠图，求出长方体对应的长、宽、高，再求体积。【典型例题】一块长、宽的长方形铁皮（如下图），从四个角各切掉一个边长的正方形，然后做成盒子。（1）这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？（2）它的容积是多少？【对应练习1】在一张长 25 分米、宽 20 分米的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长是 5 分米的正方形，然后折成一个长方体无盖铁盒，这个铁盒的容积是多少？（铁皮厚度忽略不计）【对应练习2】一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为3cm的正方形，然后做成盒子．这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多少？ 【对应练习3】在如图所示的长方形铁皮四角分别剪去一个边长为的正方形后，正好可以折成一个无盖的铁盒，这个铁盒的表面积是多少？【考点九】等积变形问题其一：熔铸问题。【方法点拨】长方体和正方体之间经过熔铸、锻造，其形状发生了改变，但是体积是不变的。【【典型例题】一个正方体实心铁块的棱长总和是48分米，现将它熔铸成一个底面积是32平方分米的实心长方体铁块，熔铸成的实心长方体铁块的高是多少分米？【对应练习1】把一块棱长为10厘米的正方体钢坯，锻造成一个长2.5分米，宽2分米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（损耗不计）【对应练习2】因为需要，工厂把一个棱长为6分米的正方体钢坯锻造成了一个长18分米、宽4分米的长方体钢坯，这个新钢坯的高是多少分米？【对应练习3】把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计）【考点十】等积变形问题其二：倒水问题。【方法点拨】长方体和正方体中水的互相转移，其形状发生了改变，但是体积是不变的。【典型例题】一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水深多少？【对应练习1】一个棱长是12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为18分米，宽为10分米，高为12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计）【对应练习2】一个棱长是10厘米的正方体容器装满了水，把这些水倒入长25厘米，宽4厘米，高20厘米的长方体容器中，这时的水位是多少厘米？【对应练习3】在甲箱中装入水，水深为15厘米，若将这些水倒入乙箱中，水深为多少厘米？    【考点十一】等积变形问题其三：底面变化问题。【方法点拨】水在长方体中不同位置的放置，底面在改变，但体积始终不变。【典型例题】如下图所示，密闭的容器中装有5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面把容器竖起来，这时水深多少厘米？【对应练习1】有一个长方体容器，长40厘米，宽20厘米，高15厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？【对应练习2】一个长方体的容器（如图），里面的水深8厘米。把这个容器盖紧后竖放，现在的底面长10厘米、宽8厘米，这时里面的水深是多少厘米？【对应练习3】一个长方体的容器（如图），长是20厘米，宽是10厘米，高是8厘米。（1）求出它的表面积是多少？（2）当容器如左图放置时，里面的水深5厘米，再把这个容器盖紧后竖放（如右图），使长10厘米、宽8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？【考点十二】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其一。【方法点拨】长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。1.切片问题。（1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。（2）刀数×2=切面个数。2.拼接问题。（1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。（2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。3.高的变化引起的表面积变化。（1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。（2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。【典型例题】一根长1米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了6平方分米。这根木料的体积是多少立方分米？如果每立方分米木料重1.5千克，这根木料重多少千克？【对应练习1】城关小学数学兴趣小组的同学将四个大小相同的正方体粘成一个长方体（如图）后，表面积减少54平方厘米，求长方体的表面积和体积。【对应练习2】一根长12分米的木料，按下图横截成3段后表面积增加了100平方分米。原来这根木料的体积是多少立方分米？【考点十三】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其二。【方法点拨】长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。1.切片问题。（1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。（2）刀数×2=切面个数。2.拼接问题。（1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。（2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。3.高的变化引起的表面积变化。（1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。（2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。【典型例题】用4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多少？【对应练习1】把两个棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的体积、表面积分别是多少？【对应练习2】把2个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、6厘米的长方体，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？【考点十四】表面积增减变化的三种方式与体积的结合其三。【方法点拨】长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。1.切片问题。（1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。（2）刀数×2=切面个数。2.拼接问题。（1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。（2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。3.高的变化引起的表面积变化。（1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。（2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。【典型例题】1. 一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体。体积增加了多少立方厘米？2. 一个长方体，如果高减少3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？【对应练习1】一个正方体的高增加了3厘米，得到一个新的长方体，这个长方体的表面积比原正方体的表面积增加了72平方厘米。新长方体的体积是多少？【对应练习2】一个长方体，如果高增加3厘米，那么就变成一个正方体。这时表面积比原来增加84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？【考点十五】排水法求不规则物体体积其一：基础性问题。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积：排水法的公式：V物体 =V现在－V原来也可以 V物体 =S×(h现在- h原来) V物体 = S×h升高【典型例题】在一个底面长20厘米，宽15厘米的长方体水箱中，水面高度为10厘米，一块石头后水面上升到14厘米。这块石头的体积是多少？【对应练习1】一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽都是2分米，向容器中倒入6升水，再把一个土豆放入水中，这时量得容器中的水深18厘米，这个土豆的体积是多少？【对应练习2】一个正方体玻璃容器，从内部测量棱长是20厘米，向容器中倒入一定的水，水面高度恰好是15厘米。再向容器中放入一个形状不规则的铁块，铁块完全浸没于水中，发现水面高度变成了18厘米。求这个铁块的体积。【对应练习3】在一个长16厘米，宽16厘米，高10厘米的玻璃缸里放一个铁球后再注满水淹没它，然后取出铁球，这时水面下降了3厘米。铁球的体积是多少？【考点十六】排水法求不规则物体体积其二：求水深。【方法点拨】形状不规则的物体可以用排水法求体积：排水法的公式：V物体 =V现在－V原来也可以 V物体 =S×(h现在- h原来) V物体 = S×h升高【典型例题】一个长为25厘米，宽为18厘米的长方形玻璃缸，水深20厘米，水下有一个棱长为3厘米的正方体铁块，若取出铁块，现在水深多少厘米？【对应练习1】在一个长16分米、宽8分米、高7分米的长方体玻璃缸里放水，水深5分米。如果在里面浸没一块棱长是4分米的正方体铁块，水面上升多少分米？【对应练习2】一个长方体水族箱从里面量长，宽。如果每条金鱼的体积是，向水族箱中放入条金鱼(水没有溢出)后，水族箱中的水位上升了多少厘米？【考点十七】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题。【方法点拨】物体完全浸没在水中，如果物体的体积超过空白部分的体积，就会溢出，求溢出部分的体积需要用物体的体积减去空白部分的体积。【典型例题】科学实验课上，乐乐先往一个棱长为2分米的正方体玻璃容器中倒入7升的水，再往容器中放入一块长15厘米、宽10厘米，高8厘米的铁块。请问。放入铁块后，玻璃容器里的水会溢出吗？如果会，溢出的水有多少升？【对应练习1】一个长方体的玻璃水箱，长9分米，宽4分米，高5分米，水深3分米。如果放入一个棱长4分米的正方体铁块，水箱里的水会溢出来吗？为什么？【对应练习2】一个长方体玻璃缸（如图），水深6分米。如果投入一块边长5分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？【对应练习3】一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽7分米，高6分米，水深5.5分米。如果投入一块棱长为4分米的正方形铁块，缸里的水溢出多少升？【考点十八】不规则及组合立体图形的体积。【方法点拨】求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。【典型例题】工程队要浇筑一个建筑构件（如图），这个建筑构件的体积是多少？【对应练习1】如图所示，一个长方体物体的底面是正方形，中间是空心的正方形。求这个物体的体积。（请写出主要过程）【对应练习2】计算下面几何体的体积。【对应练习3】如图，在棱长是8dm的正方体的上面挖去一个棱长4dm的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积。【对应练习4】如图，求下面零件的体积。（单位：厘米）专题名称第一单元长方体和正方体·体积篇专题内容本专题包括体积和容积单位的认识及换算、长方体和正方体的体积及生活实际问题、等积变形问题、表面积的变化问题、排水法求不规则物体的体积等内容。总体评价讲解建议建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。考点数量十八个考点。