第一单元长方体和正方体·思维素养篇·第一部分-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（含答案）苏教版 练习

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篇首寄语有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！101数学创作社2024年8月14日目 录TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc25895" 【课内精选一】长方体和正方体的棱长与棱长和问题  PAGEREF _Toc25895 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc218" 【课内精选二】正方体的表面展开图  PAGEREF _Toc218 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc380" 【课内精选三】小正方体数量问题  PAGEREF _Toc380 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc12717" 【课内精选四】长方体的表面积与生活实际应用  PAGEREF _Toc12717 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc21177" 【奥数拓展一】最短路径问题  PAGEREF _Toc21177 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc24890" 【奥数拓展二】棱长与生活实际综合应用问题  PAGEREF _Toc24890 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc15006" 【奥数拓展三】趣味展开图  PAGEREF _Toc15006 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc17225" 【奥数拓展四】染色问题  PAGEREF _Toc17225 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc8521" 【奥数拓展五】露在外面的面（堆砌的正方体）  PAGEREF _Toc8521 \h 152024-2025学年六年级数学上册典型例题系列第一单元长方体和正方体·思维素养篇·第一部分【从课内到奥数】【课内精选一】长方体和正方体的棱长与棱长和问题。一个长方体棱长的总和是60厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的长、宽、高。解析：设长方体的高是a厘米，那么宽是2a厘米，长是3a厘米.因为一个长体有四组相等的长、宽、高，所以，(a+2a+3a)×4=60，6a=15，a=2.5，2a=2×2.5=5，3a=3×2.5=7.5。答：长方体的长、宽、高分别是7.5厘米、5厘米、2.5厘米。【专项训练】1.一个长方体的棱长总和是96厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的长、宽、高。解析：设高是a厘米，宽是2a厘米，长是3a厘米，按题意有(a+2a+3a)×4=96，a=4，2a=8，3a=12，所以，长方体的长、宽、高分别是12厘米、8厘米、4厘米。2.一个正方体的棱长总和是88.8厘米，它的棱长是多少?解析：88.8÷12=7.4(厘米),所以，它的棱长是7.4厘米。3.一个长方体的棱长总和是103.2厘米，已知长是宽的1.2倍，宽是高的1.5倍，求这个长方体的长、宽、高。解析：设高是a厘米，宽是1.5a厘米，长是1.2×1.5a厘米，(a+1.5a+1.2×1.5a)×4=103.2，a=6，1.5a=9，9×1.2=10.8，所以，长方体的长、宽、高分别是10.8厘米、9厘米、6厘米。【课内精选二】正方体的表面展开图。在如图所示的20个展开图中，哪些可以恢复成完整的正方体?在序号上打“√”。解析：正方体的展开图有“1-4-1”、“2-3-1”、“2-2-2”、“3-3”型，对照着几种类型，图中只有(2)、(3)、(6)、(8)、(9)、(12)、(14)、(16)、(17)、(19)、(20)可以恢复成正方体。【专项训练】1．下面的图形中，（    ）是正方体的表面展开图。A． B． C． D．【答案】A【分析】正方体的展开图类型：（1）“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放；（2）“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便；（3）“2—2—2”型：两两相连各错一；（4）“3—3”型：三个两排一对齐；据此判断。【详解】A．符合“1—4—1”型，是正方体的展开图；B．不符合正方体的展开图类型，不是正方体的展开图；C．不符合正方体的展开图类型，不是正方体的展开图；D．不符合正方体的展开图类型，不是正方体的展开图。故答案为：A2．下面的折纸材料中，能围成正方体的是（    ）。A． B． C． D．【答案】D【分析】正方体展开图有：“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－2－2”型、“3－3”型，共11种正方体展开图；据此解答。【详解】A．不属于正方体展开图的四种类型，不能围成正方体；B．不属于正方体展开图的四种类型，不能围成正方体；C．不属于正方体展开图的四种类型，不能围成正方体； D．属于正方体展开图的“1－4－1”型，能围成正方体；故答案为：D3．下面的图形中，不能围成正方体的是（    ）。A． B．C． D．【答案】C【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形；据此解答。【详解】A．属于“1－4－1”结构，能围成正方体，不符合题意；B．属于“2－2－2”结构，能围成正方体，不符合题意；C．虽然也是“3－3”结构，但不是这种结构，不能围成正方体，符合题意；D．属于“1－4－1”结构，能围成正方体，不符合题意。故答案为：C【课内精选三】小正方体数量问题。用棱长为1厘米的小正方体摆放成稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体?解析：8个。【专项训练】1.用棱长为1厘米的小正方体摆放成棱长是3厘米的大正方体，需要多少个小正方体?解析：27个。2.用棱长为1厘米的小正方体摆放成一个大正方体，可能需要( )个小正方体。A.4 B.16 C.50 D.64解析：D3.用棱长是2厘米的小正方体摆成长是8厘米、宽是4厘米、高是6厘米的长方体，需要多少个小正方体?解析：24个。【课内精选四】长方体的表面积与生活实际应用。公园的露天广场上有5根长方体的长柱子，底面长80厘米、宽40厘米，高3米，给这些柱子的表面涂上新的油漆，按每平方米用油漆0.5千克计算，漆这5根柱子一共需要油漆多少千克?解析：80厘米=0.8米，40厘米=0.4米0.8×0.4+0.8×3×2+0.4×3×2=7.52(平方米)7.52×5=37.6(平方米)，37.6×0.5=18.8(千克)答：漆这5根柱子一共需要油漆18.8千克。【专项训练】1.一个正方体食品盒，棱长为4分米，在它四周贴一圈商标纸(上下面不贴)，这圈商标纸面积是多少?解析：4×4×4=64(平方分米)所以，商标纸面积是64平方分米。2.一个长方体，底面积是42平方厘米，底面周长是26厘米，高是5厘米，求这个长方体的表面积。解析：42×2+26×5=84+130=214(平方厘米)所以，这个长方体的表面积是214平方厘米。3.李师傅根据下图所示的图纸做了一个无盖铁皮盒，他至少要用多少平方分米的铁皮?(单位：分米)解析：(8-4)÷2=2(分米)6×2×2+4×2×2+6×4=64(平方分米)【奥数拓展一】最短路径问题。有一只蜘蛛在正方体的一个顶点A，要爬到距它最远的另一个顶点B去，哪条路最短呢？请你为它找一条最短路线。解析：如图所示，我们知道：两点之间，线段最短。因此，最短路线不能沿着棱走，而应该从面上穿过去.如下图，我们画出正方体的平面展开图，连结点A和点B,AB就是最短路径。【专项训练】1.有一只蚂蚁在正方体的一个顶点A，要从正方体表面爬到距它最远的另一个顶点B去，想一想，最短路线一共有几条？解析：6条2.如图所示，一条小虫沿长6分米、宽4分米、高5分米的长方体的棱爬行，如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么，它最多爬多少分米?解析：(6+5)×4+4=48(分米),所以，它最多爬48分米。3.如图所示，有一个长2米、宽2米、高3米的长方体盒子，盒子的A角上停着一只蜘蛛，B角上有一只苍蝇被蜘蛛丝缠住了，蜘蛛觉察到了，就沿着长方体盒子的表面去捉苍蝇，它爬行的速度是每分钟4米。请你算一算，蜘蛛最少要经过多少分钟才能把苍蝇捉住?解析：将长方体盒子的前面和右面折放在同一平面，如图所示，由勾股定理可求得AB的距离，也就可求蜘蛛需要的最少时间了，所以，3×3+4×4=5×5，5÷4=1.25(分钟)。【奥数拓展二】棱长与生活实际综合应用问题。妈妈给奶奶买了一件生日礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎打结处需要50厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？【答案】290厘米【分析】观察图形可知，捆扎这个礼物一共需要丝带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。【详解】40×2＋30×2＋25×4＋50＝80＋60＋100＋50＝290（厘米）答：捆扎这个礼物一共需要290厘米丝带。【专项训练】1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？【答案】122厘米【分析】观察图形可知，捆扎这个包装盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋接头处的长度，据此解答。【详解】25×2＋15×2＋6×4＋18＝50＋30＋24＋18＝122（厘米）答：一共需要122厘米的彩带。2．如图是一个长为50厘米，宽为36厘米，高为24厘米的长方体礼盒，包装这个礼盒至少需要多长的丝带？（打结处用了20厘米长的丝带）【答案】288厘米【分析】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于两条长＋两条宽＋四条高＋打结用的长度，由此列式解答。【详解】50×2＋36×2＋24×4＋20＝100＋72＋96＋20＝172＋96＋20＝268＋20＝288（厘米）答：包装这个礼盒至少需要288厘米的丝带。3．如图所示，捆扎这个礼品盒（打结处有15厘米），需要多长的彩带？【答案】91厘米【分析】观察图形可知，捆扎这个礼品盒至少需要彩丝的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。【详解】12×2＋14×2＋6×4＋15＝24＋28＋24＋15＝91（厘米）答：捆扎这个礼品盒需要91厘米长的彩带。【奥数拓展三】趣味展开图。在下面的正方体展开图中，只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时它才能吃到，下面图（    ）正方体中的动物不能吃到自己喜欢的食物。A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正方体展开图，结合正方体展开图找对面的规律：在通过正方体展开图形找相对面时，首先在同层中隔一面寻找，再在异层中，隔两面寻找，剩下的两面自然相对。选项A1对4，2对3，鱼对猫；选项B1对3，2对4，桃对猴；选项C1对胡萝卜，2对4，3对兔子；选项D1对3，2对4，羊对草。据此选择即可。【详解】根据正方体展开图，结合正方体展开图找对面的规律可知，正方体中的动物不能吃到自己喜欢食物的是。故答案为：C【专项训练】1．观察正方体展开图，试着折一折，再想一想，下面盖住的是（    ）点。A．1 B．4 C．6 D．5【答案】D【分析】根据题意可知，正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须隔一个正方形，展开的图形符合正方体展开图的“1－4－1”结构，则上下两个单独的正方形相对；据此折叠成正方体，1点相对5点，2点相对6点，3点相对4点；由于前面看是3点，则后面是4点，右边是2点，则左面是6点，那么上面1点，下面就应该是5点，据此解答。【详解】根据分析可知，下面盖住的是5点。故答案为：D2．如图的图形可以折成下面的（    ）。A． B． C．【答案】B【分析】此平面展开图属于正方体展开图的“1－4－1”型，找出每个数字相对的面，利用排除法，找出折成的正方体。【详解】折成正方体后，5号面与6号相对，排除A；2号面与4号面相对，排除C；2号、3号、5号面两两相邻，当5号面为正面时，2号面在右面，3号面在上面，B符合题意。故答案为：B3．下列展开图不能折成如图所示的立体图形的是（    ）。A．B．C．D．【答案】A【分析】通过观察可知，立体图形折叠后，每个直角三角形的斜边可接成一个等边三角形，且每个直角三角形的直角边没有重合，据此将每个选项折叠再判断即可。【详解】A．不能折叠成要求的立体图形；B．能够折叠成要求的立体图形；C．能折叠成要求的立体图形；D．能折叠成要求的立体图形。故答案为：A【点睛】本题考查了立体图形的展开图，锻炼了学生的空间想象能力。【奥数拓展四】染色问题。把一个长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块，如图1所示。(1)切开后有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色?(2)切开后有多少个小正方体木块没有染上红色(切面都是白色)?解析：（1）8；36；52；（2）24【专项训练】1.把一个长5厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块，如图所示，问：(1)切开后，有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色?(2)切开后，有多少个小正方体木块没有染上色?解析：三个面是红色的小正方体共有8个，两个面是红色的小正方体有12+4+8=24(个)，一个面是红色的小正方体有(3+6+2)×2=22(个)，切开后，没有染上红色的小正方体有(5-2)×(3-2)×(4-2)=6(个)或5×3×4-(8+24+22)=6(个)。2.如图所示，在大正方体的棱上挖掉一个小正方体后涂上颜色，再锯成大小相同的小正方体，其中3面涂色、2面涂色和1面涂色的小正方体分别有多少个?解析：10；35；523.有125个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为1平方厘米，其中63个表面涂上白色，还有62个表面涂上蓝色.将这125个正方体木块粘在一起，形成一个棱长为5厘米的大正方体木块，则这个大正方体木块的表面上，蓝色的面积最多是多少平方厘米?解析：由1×1×1的小正方体构成的5×5×5的大正方体，其角有8块，棱有3×12=36(块)，面有3×3×6=54(块)，现在一共有62块蓝色的，所以选择8块放在角上，36块放在棱上，还有18块放在面上，综上，大正方体木块的表面上蓝色的面积最多是8×3+36×2+18×1=114(平方厘米)。【奥数拓展五】露在外面的面（堆砌的正方体）。如图1所示，这个立体图形由20个棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成，求它的表面积。解析：(9+8+7)×2×(1×1)=48(平方厘米)答：它的表面积是48平方厘米。【专项训练】1.如图所示是由13个棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体，求它的表面积。解析：(7+7+7)×2×(1×1)=42(平方厘米)所以，它的表面积是42平方厘米。2.如图所示是一个用棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体。(1)这个物体的表面积是多少?(2)要把这个物体补成一个大正方体，这个大正方体的表面积至少是多少?解析：(1)(7+7+6)×2×(1×1)=40(平方厘米)所以，这个物体的表面积是40平方厘米。(2)(1×1)×9×6=54(平方厘米)所以，至少是54平方厘米。3.如图是由22个棱长为2厘米的小正方体组成的立体图形，那么此物体的表面积(含下底面)为多少平方厘米?解析：(9+8+9)×2×(2×2)=208(平方厘米)所以，此物体的表面积(含下底面)为208平方厘米。