第07讲 指数函数（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有低有高，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握指数函数的图像与性质，能够根据指数函数求定义域与值域
2.能掌握指数函数的图像特征
3.具备数形结合的思想意识，会利用函数图像解决比较大小最值等问题
4.会结合函数的奇偶性，解决指数函数的综合问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。
知识讲解
知识点一.指数函数的图象与性质
1.指数函数的定义：一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R.
2.指数函数的图象与性质
注意：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
知识点二.指数函数图象的特点
1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3.函数y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
注意 解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0考点一、指数函数的解析式
1.（2022·北京·高考真题）已知函数f(x)=11+2x，则对任意实数x，有（ ）
A．f(−x)+f(x)=0B．f(−x)−f(x)=0
C．f(−x)+f(x)=1D．f(−x)−f(x)=13
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】f−x+fx=11+2−x+11+2x=2x1+2x+11+2x=1，故A错误，C正确；
f−x−fx=11+2−x−11+2x=2x1+2x−11+2x=2x−12x+1=1−22x+1，不是常数，故BD错误；
故选：C．
2.（22-23高三上·江苏常州·阶段练习）若p：函数f(x)=m2−3m+3mx是指数函数，q:m2−3m+2=0，则q是p的（ ）条件
A．充要条件B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】根据命题p和指数函数的定义列方程解得m，根据命题q解得m，再根据必要不充分条件的定义判断即可.
【详解】命题p真，则m2−3m+3=1，解得m=1或2，又m≠1，∴m=2；q为真，则m=1或2，
∴q是p的必要不充分条件.
故选：C．
1.（21-22高三上·广东江门·阶段练习）若函数fx同时具有下列性质：①fx1+x2=fx1fx2；②当x∈0,+∞时，fx>1.请写出fx的一个解析式 .
【答案】fx=2x（答案不唯一）
【分析】由已知确定函数可为指数函数、增函数，随机写出一个即可.
【详解】因为fx1+x2=fx1fx2，故指数函数满足运算，又当x∈0,+∞时，fx>1，故指数函数底数应大于1，函数可为：fx=2x.
故答案为：fx=2x
2.（2020高三·全国·专题练习）函数y=(2a2−3a+2)ax是指数函数，则a的取值范围是
【答案】{12}
【解析】根据指数函数的定义要满足条件得到关于a的取值范围.
【详解】解：∵函数y=(2a2−3a+2)ax是指数函数，∴2a2−3a+2=1且a>0，a≠1，由2a2−3a+2=1解得a=1或a=12，∴a=12.所以a的取值范围为：{12}.
故答案为：{12}.
【点睛】本题考查指数函数定义的应用，属于基础题.
3.（22-23高三上·黑龙江七台河·期中）设函数fx=ax+b,x<02x,x≥0，且f(−2)=3，f(−1)=f(1)，则f(x)的解析式为 ．
【答案】fx=−x+1,x<02x,x≥0
【分析】根据f(−2)=3，f(−1)=f(1)求出a,b，可得函数解析式.
【详解】因为函数解析式为fx=ax+b,x<02x,x≥0，则f1=21=2，则f(−1)=f(1)=2，
由f(−2)=3,f(−1)=2可得，−2a+b=3−a+b=2，解得a=−1b=1，所以fx=−x+1,x<02x,x≥0.
考点二、指示函数求参问题
1.（2023·全国·高考真题）已知f(x)=xexeax−1是偶函数，则a=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为fx=xexeax−1为偶函数，则fx−f−x=xexeax−1−−xe−xe−ax−1=xex−ea−1xeax−1=0，
又因为x不恒为0，可得ex−ea−1x=0，即ex=ea−1x，
则x=a−1x，即1=a−1，解得a=2.
故选：D.
2.（江西·高考真题）已知函数f(x)={a⋅2x,x≥0,2−x,x<0(a∈R)，若f(f(−1))=1，则a=（ ）
A．14B．12C．1D．2
【答案】A
【分析】先求出f(−1)的值，再求f(f(−1))的值，然后列方程可求得答案
【详解】解：由题意得f(−1)=2−(−1)=2，
所以f(f(−1))=f(2)=a⋅22=4a=1，解得a=14.
故选：A
【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题
1.（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若f(x)=1−aex1+exsinx为偶函数，则a=（ ）
A．1B．0C．−1D．2
【答案】A
【分析】由已知fx为偶函数，可得fx=f−x，列方程求解即可.
【详解】由f(x)=1−aex1+exsinx，
得f(−x)=1−ae−x1+e−xsin(−x)，
因为fx为偶函数，所以f−x=fx，
即1−ae−x1+e−xsin(−x)=1−aex1+exsinx，
所以−1−ae−x1+e−x=a−ex1+ex=1−aex1+ex，解得a=1.
故选：A.
2.（2024·全国·模拟预测）设a>0且a≠1，若函数fx=4x−3xax是R上的奇函数，则a=（ ）．
A．66B．63C．33D．36
【答案】D
【分析】根据f(−1)=−f(1)求出a，然后代入验证即可.
【详解】由于函数fx=4x−3xax是R上的奇函数，
故f(−1)=−f(1)，则−112a=−a，即a2=112．
因为a>0，所以a=36．
当a=36时，fx=4x−3x36x，
则fx+f−x=4x−3x36x+4−x−3−x36−x
=4x−3x36x+3x−4x4x⋅3x23x=4x−3x36x−14x⋅3x23x
=4x−3x4x⋅3x4x⋅3x36x−23x=4x−3x4x⋅3x22x−x⋅3x−x+x2−2x⋅3x2=0
符合函数fx是R上的奇函数
故选：D．
3.（2024·贵州毕节·三模）已知函数f(x)=ex−aex+a是奇函数，若f(2023)>f(2024)，则实数a的值为（ ）
A．1B．−1C．±1D．0
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.
【详解】因为函数f(x)=ex−aex+a是奇函数，
所以f(−x)=e−x−ae−x+a=1−aex1+aex=−f(x)=−ex−aex+a=a−exex+a，
解得a=±1，
又f(x)=ex−aex+a=ex+a−2aex+a=1−2aex+a，
所以当a>0时，函数为增函数，当a<0时，函数为减函数，
因为f(2023)>f(2024)，
所以a<0，故a=−1.
故选：B
4.（2024·全国·模拟预测）已知f(x)=m⋅2x+n⋅2−x,x≥0,21+x−21−x,x<0是定义在R上的偶函数，则m−n=（ ）
A．－4B．0C．2D．4
【答案】A
【分析】利用偶函数和0处函数值列方程求解即可.
【详解】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)=f(−1)，即2m+n2=−3，
又f(0)=21+0−21−0=0，所以f(0)=m+n=0，
联立2m+n2=−3m+n=0，解得m=−2，n=2，
经检验，m=−2，n=2满足要求，
故m−n=−4.
故选：A.
考点三、指数函数的定义域与不等式
1.（2022高三·全国·专题练习）设函数fx=4−2x，则函数fx2的定义域为（ ）
A．2,+∞B．4,+∞C．−∞,2D．−∞,4
【答案】D
【分析】求出fx的定义域后可求fx2的定义域，
【详解】因为fx=4−2x，所以4−2x≥0，故x≤2，
故fx的定义域为−∞,2，
令x2≤2，则x≤4，故fx2的定义域为−∞,4.
故选：D.
2.（23-24高三下·北京·阶段练习）函数fx=12x+10+12x−8的定义域为（ ）
A．−∞,−5∪−5,−3B．−∞,−3C．−∞,−5∪−5,−3D．−∞,−3
【答案】C
【分析】令2x+10≠012x−8≥0，运算求解即可得函数fx的定义域.
【详解】令2x+10≠012x−8≥0，解得x≤−3且x≠−5，
所以函数fx的定义域为−∞,−5∪−5,−3.
故选：C.
1.（21-22高三上·内蒙古乌海·阶段练习）已知函数fx的定义域为-2,2，则函数g(x)=f2x+1−2x的定义域为
【答案】−1,0
【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域求法，即可求解.
【详解】由条件可知，函数的定义域需满足−2≤2x≤21−2x≥0，解得：−1≤x≤0，
所以函数gx的定义域是−1,0.
故答案为：−1,0
2.（2024高三·全国·专题练习）设函数fx=2−x,x≤0,1,x>0,则满足f(x+1)A．(−∞,−1]B．(0,+∞)C．(−1,0)D．(−∞,0)
【答案】D
【分析】根据不等式的大小关系可以直接根据分段函数的单调性求解，亦可画出分段函数的图像，利用数形结合求解.
【详解】（分类讨论法）根据指数函数单调性，当x≤0时，f(x)单调递减；
而当x>0时，f(x)=1（为常数），
故分以下两种情况：x+1≤0 , 2x≤0 , x+1>2x , 或x+1>0 , 2x<0 . ，
解得x≤−1或−1≤x<0，
综上可得x<0.
（数形结合法）作出f(x)的图像，如图：
结合图像可知fx+1解得−1≤x<0或x<−1，
综上可得x<0.
故选：D
3.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=3x−2−32−x，则满足fx+f8−3x>0的x的取值范围是（ ）
A．−∞,4B．−∞,2C．2,+∞D．−2,2
【答案】B
【分析】设gx=3x−3−x，即可判断gx为奇函数，又fx=gx−2，可得fx图象的对称中心为2,0，则fx+f4−x=0，再判断fx的单调性，不等式fx+f8−3x>0，即f8−3x>f4−x，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】设gx=3x−3−x，x∈R，则g−x=3−x−3x=−gx，所以gx为奇函数．
又fx=3x−2−32−x=3x−2−3−x−2=gx−2，
则fx的图象是由gx的图象向右平移2个单位长度得到的，
所以fx图象的对称中心为2,0，所以fx+f4−x=0．
因为y=3x在R上单调递增，y=3−x在R上单调递减，
所以gx在R上单调递增，则fx在R上单调递增，
因为fx+f8−3x>0=fx+f4−x，
所以f8−3x>f4−x，所以8−3x>4−x，解得x<2，
故满足fx+f8−3x>0的x的取值范围为−∞,2．
故选：B
4.（2024高三·全国·专题练习）已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1)=2，且对任意0≤x1−1，则不等式f(2x−1)<4−2x的解集为（ ）
A．(−∞,0)B．(0,+∞)C．(−∞,1)D．(0,1)
【答案】C
【分析】首先由fx1−fx2x1−x2>−1得出f(x1)+x1【详解】由对任意0≤x1−1，可得f(x1)+x1令g(x)=f(x)+x，则函数g(x)=f(x)+x在[0,+∞)上单调递增，
又x∈R，g(−x)=−g(x)，所以g(x)为R上的奇函数，
所以g(x)在R上是增函数．
不等式f(2x−1)<4−2x，且f(1)=2，得f(2x−1)+(2x−1)<3=f(1)+1，
所以g(2x−1)所以2x−1<1，即x<1，
故选：C．
考点四、指数函数的值域
1.（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）函数f(x)=1−3x的值域是（ ）
A．(−∞,1)B．(−∞,1]C．[0,1)D．[0,1]
【答案】A
【分析】根据指数函数的性质，求得1−3x<1，即可得到fx的值域.
【详解】由指数函数的性质，可得3x>0，所以1−3x<1，即fx的值域是(−∞,1).
故选：A．
2.（2024·上海杨浦·二模）若函数gx=2x−1,x≤0,fx,x>0为奇函数，则函数y=fx，x∈0,+∞的值域为 .
【答案】0,1
【分析】由奇函数定义可得y=fx解析式，即可求得值域.
【详解】当x>0时，−x<0，因为g(x)为奇函数，则g(−x)=−g(x)=2−x−1=12x−1，所以g(x)=1−(12)x，所以f(x)=1−(12)x，x∈0,+∞时f(x)值域为0,1.
故答案为：0,1.
1.（23-24高三下·北京·开学考试）函数fx=1x+1,x>02x−1,x≤0的值域为 .
【答案】−1,0∪1,+∞
【分析】根据分段函数的性质以及反比例函数、指数函数的性质即可得到答案.
【详解】当x>0时，fx=1x+1>1，
当x≤0时，则−1<2x−1≤20−1，即−1<2x−1≤0，
综上fx的值域为−1,0∪1,+∞，
故答案为：−1,0∪1,+∞.
2.（2024·贵州·模拟预测）已知函数f(x)=2−x2+2x+3，则f(x)的最大值是 .
【答案】16
【分析】求出t=−x2+2x+3的范围，根据复合函数的单调性求解.
【详解】由f(x)=2−x2+2x+3，而t=−x2+2x+3=−(x−1)2+4≤4，
因为y=2t单调递增，所以y=2t≤24，则f(x)的最大值是16.
故答案为：16
3.（2024·全国·模拟预测）函数fx=4x−12,x≤0lg2x+2,x>0的值域为 ．
【答案】0,12∪1,+∞
【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得.
【详解】当x≤0时，0当x>0时，f(x)=lg2(x+2)>1，
所以f(x)的值域为0,12∪1,+∞．
故答案为：0,12∪1,+∞.
4.（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数y=12−x2+2x+3的值域为 ，单调递增区间为 .
【答案】 14,1 1,3（开闭均可）
【分析】先求出函数的定义域，进而求出−x2+2x+3的范围，再根据指数函数的值域即可求出函数的值域，根据复合函数的单调性和指数函数的单调性求出函数的单调增区间即可.
【详解】令−x2+2x+3≥0，解得−1≤x≤3，
所以函数y=12−x2+2x+3的定义域为−1,3，
则−x2+2x+3=−x−12+4∈0,4，
所以−x2+2x+3∈0,2，
所以12−x2+2x+3∈14,1，
即函数y=12−x2+2x+3的值域为14,1；
令t=−x2+2x+3,x∈−1,3，
令u=−x2+2x+3，其在−1,1上是增函数，在1,3上是减函数，
而函数t=u在定义域内为增函数，
所以函数t=−x2+2x+3在−1,1上是增函数，在1,3上是减函数，
因为函数y=12t是减函数，
所以函数y=12−x2+2x+3的单调递增区间为1,3.
故答案为：14,1；1,3（开闭均可）.
考点五、由指数函数定义域与值域求参
1.（2022·海南·模拟预测）已知函数fx=2x−a的定义域为2,+∞，则a= ．
【答案】4
【分析】由已知可得不等式2x−a≥0的解集为2,+∞，可知x=2为方程2x−a=0的根，即可求得实数a的值.
【详解】由题意可知，不等式2x−a≥0的解集为2,+∞，则22−a=0，解得a=4，
当a=4时，由2x−4≥0，可得2x≥4=22，解得x≥2，合乎题意.
故答案为：4.
2.（2023·上海浦东新·模拟预测）设fx=x12x−a+12.若函数y=fx的定义域为−∞,1∪1,+∞，则关于x的不等式ax≥fa的解集为 .
【答案】1,+∞
【分析】由函数fx的定义域可求得实数a的值，可得出函数fx的解析式，求出fa的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式ax≥fa，即可得其解集.
【详解】若a≤0，对任意的x∈R，2x−a>0，则函数fx的定义域为R，不合乎题意，
所以，a>0，由2x−a≠0可得x≠lg2a，
因为函数y=fx的定义域为xx≠1，所以，lg2a=1，解得a=2，
所以，fx=x12x−2+12，则fa=f2=2122−2+12=2，
由ax≥fa可得2x≥2，解得x≥1.
因此，不等式ax≥fa的解集为1,+∞.
故答案为：1,+∞.
1.（2022高三·全国·专题练习）函数f(x)=x12x−a+12定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），则满足不等式ax≥f（a）的实数x的集合为 ．
【答案】{x|x≥1}
【分析】由题意可得a＝2，f(x)=x12x−2+12，f(a)=f(2)=2，由ax≥f（a），结合指数函数单调性可求x
【详解】解：由函数f(x)=x12x−a+12定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），可知a＝2
∴f(x)=x12x−2+12，f(a)=f(2)=2
由ax≥f（a）可得，2x≥2
∴x≥1
故答案为：{x|x≥1}
2.（23-24高三上·河南驻马店·期末）若函数fx=2x+m,x>0,x2+4x,x≤0有最小值，则m的取值范围是 .
【答案】−5,+∞
【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得；
【详解】函数y=2x+m在0,+∞上的值域为m+1,+∞，
y=x2+4x在−∞,0上的值域为−4,+∞，
则m+1≥−4，即m≥−5，
所以m的取值范围是−5,+∞.
故答案为：−5,+∞.
3.（2024·四川成都·二模）已知函数fx=2ax2−x+1的值域为M．若1,+∞⊆M，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,14B．0,14C．−∞,−14∪14,+∞D．14,+∞
【答案】B
【分析】
对实数a分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【详解】当a=0时，fx=2−x+1∈0,+∞，符合题意；
当a≠0时，因为函数fx=2ax2−x+1的值域为M满足1,+∞⊆M，
由指数函数的单调性可知，即二次函数y=ax2−x+1的最小值小于或等于零；
若a>0时，依题意有y=ax2−x+1的最小值4a−14a≤0，即0若a<0时，不符合题意；
综上：0≤a≤14，
故选：B.
考点六、指数函数过定点
1.（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数y=2ax−2−3（a>0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 .
【答案】2,−1
【分析】根据a0=1得出指数型函数恒过定点.
【详解】令x−2=0，得x=2，则y=2a0−3=−1.
所以函数y=2ax−2−3（a>0且a≠1）的图象恒过定点P2,−1.
故答案为：2,−1.
2.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数y=ax−1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点k,b，若m+n=b−k且m>0,n>0，则9m+1n的最小值为（ ）
A．9B．8C．92D．52
【答案】B
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】函数y=ax−1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点1,3，所以m+n=3−1=2，
29m+1n=m+n9m+1n=10+9nm+mn≥10+29=16，
∴29m+1n≥16,∴9m+1n≥8，
当且仅当9nm=mn，即n=12,m=32等号成立，
所以9m+1n的最小值为8.
故选：B.
1.（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数fx=ax−2+2（a>0且a≠1）的图像过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则cs11π2−αsin9π2+αsin2−π−α等于（ ）
A．−23B．23C．32D．−32
【答案】A
【分析】先化简所要求的式子，又由于f2=a2−2+2=a0+2=1+2=3，所以fx=ax−2+2过定点P2,3，进一步结合题意可以求出与α有关的三角函数值，最终代入求值即可.
【详解】cs11π2−αsin9π2+αsin2−π−α=cs6π−α+π2sin4π+α+π2−sinα+π2=cs−α+π2sinα+π2sin2π+α
又因为cs−α+π2=csα+π2=−sinα，sinα+π2=csα，sin2π+α=sin2α，
故原式=−sinα⋅csαsin2α=−1tanα;又fx=ax−2+2过定点P2,3,所以tanα=32，代入原式得原式=−1tanα=−23.
故选：A.
2.（21-22高三上·上海奉贤·阶段练习）已知fx=ax−2+2(a>0,a≠1)过定点P，且P点在直线mx+ny=1(m>0,n>0)上，则1m+2n的最小值= ．
【答案】8+43/43+8
【分析】先求出定点，代入直线方程，最后利用基本不等式求解.
【详解】fx=ax−2+2(a>0,a≠1)经过定点2,3，代入直线得2m+3n=1，
1m+2n=1m+2n2m+3n=8+3nm+4mn≥8+23nm⋅4mn=8+43，
当且仅当3nm=4mn时等号成立
故答案为：8+43
故答案为：5.
考点七、指数函数的单调性
1.2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A．f(x)=−lnxB．f(x)=12x
C．f(x)=−1xD．f(x)=3|x−1|
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为y=lnx在0,+∞上单调递增，y=−x在0,+∞上单调递减，
所以fx=−lnx在0,+∞上单调递减，故A错误；
对于B，因为y=2x在0,+∞上单调递增，y=1x在0,+∞上单调递减，
所以fx=12x在0,+∞上单调递减，故B错误；
对于C，因为y=1x在0,+∞上单调递减，y=−x在0,+∞上单调递减，
所以fx=−1x在0,+∞上单调递增，故C正确；
对于D，因为f12=312−1=312=3，f1=31−1=30=1,f2=32−1=3，
显然fx=3x−1在0,+∞上不单调，D错误.
故选：C.
2.（2023·全国·高考真题）设函数fx=2xx−a在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−2B．−2,0
C．0,2D．2,+∞
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数y=2x在R上单调递增，而函数fx=2xx−a在区间0,1上单调递减，
则有函数y=x(x−a)=(x−a2)2−a24在区间0,1上单调递减，因此a2≥1，解得a≥2，
所以a的取值范围是2,+∞.
故选：D
1.（2024·河南信阳·模拟预测）下列函数中，在其定义域上单调递减的是（ ）
A．fx=lnxB．fx=−tanπC．fx=x3D．fx=e−x
【答案】D
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对数函数f(x)=lnx在其定义域(0,+∞)上单调递增，A选项不满足条件；
f(x)=−tanπ=0为常函数，在其定义域上没有单调性，B选项不满足条件；
f(x)=x3在其定义域(−∞,+∞)上单调递增，C选项不满足条件；
f(x)=e−x=1ex，在其定义域(−∞,+∞)上单调递减，D选项满足条件.
故选：D.
2.（2024·山西吕梁·二模）已知函数y=f4x−x2在区间1,2上单调递减，则函数fx的解析式可以为（ ）
A．fx=4x−x2B．fx=2x
C．fx=−sinxD．fx=x
【答案】A
【分析】根据复合函数单调性分析可知fx在区间3,4上单调递减，进而逐项分析判断即可.
【详解】因为t=4x−x2开口向下，对称轴为t=2，
可知内层函数t=4x−x2在区间1,2上单调递增，
当x=1，t=3；当x=2，t=4；
可知t=4x−x2∈3,4，
又因为函数y=f4x−x2在区间1,2上单调递减，
所以ft在区间3,4上单调递减，即fx在区间3,4上单调递减.
对于选项A：因为函数fx=4x−x2在区间3,4上单调递减，故A正确；
对于选项B：因为x∈3,4，则fx=2x=2x在区间3,4上单调递增，故B错误；
对于选项C：因为x∈3,4⊆π2,3π2，则fx=−sinx在区间3,4上单调递增，故C错误；
对于选项D：因为fx=x在区间3,4上单调递增，故D错误.
故选：A.
3.（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）若函数fx=13x−ax+2在区间−1,2上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．0,6B．−2,0C．6,+∞D．−∞,0
【答案】C
【分析】令gx=x−ax+2，结合指数型复合函数的单调性可知只需gx在区间−1,2上单调递减，结合二次函数的性质得到不等式，解得即可.
【详解】令gx=x−ax+2=x2+2−ax−2a，
因为y=13x在定义域R上单调递减，
要使函数fx=13x−ax+2在区间−1,2上单调递增，
则gx=x2+2−ax−2a在区间−1,2上单调递减，
所以a−22≥2，解得a≥6，
所以a的取值范围为6,+∞.
故选：C
4.（2024·广东广州·三模）函数fx=ax,x≤2ax2−13x+31,x>2，其中a>0且a≠1，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】根据题意，fx在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.
【详解】因为a>0且a≠1，若函数是单调函数，结合二次函数可知：fx在R上单调递增，
a>1132a≤2a2≤4a+5，解得134≤a≤5.
故答案为：4（答案不唯一）.
考点八、指数函数的图像
1.（2020·山东·高考真题）已知函数y=fx是偶函数，当x∈(0,+∞)时，y=ax0A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当x∈(0,+∞)时，y=ax0fx是偶函数，所以fx在−∞,0上递增.
注意到a0=1，
所以B选项符合.
故选：B
【变式8-1】2. （2023·天津·高考真题）已知函数fx的部分图象如下图所示，则fx的解析式可能为（ ）

A．5ex−5e−xx2+2B．5sinxx2+1
C．5ex+5e−xx2+2D．5csxx2+1
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,+∞)上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(−2)=f(2)<0，
由5sin(−x)(−x)2+1=−5sinxx2+1且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当x>0时5(ex−e−x)x2+2>0、5(ex+e−x)x2+2>0，即A、C中(0,+∞)上函数值为正，排除；
故选：D
1.（·四川·高考真题）函数y=12x+1的图象关于直线y=x对称的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】作出函数y=12x+1的图象，再结合对称性可得合适的选项.
【详解】函数y=12x+1的图象可视为将函数y=12x的图象向上平移1个单位，
所以，函数y=12x+1的图象如下图所示：
所以，函数y=12x+1的图象关于直线y=x对称的函数的图象如A选项中的图象.
故选：A.
2.（2024·河北保定·二模）函数f(x)=1−ex1+excs2x的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性判断即可.
【详解】设gx=1−ex1+ex，则g−x=1−e−x1+e−x=ex−11+ex=−gx，
所以gx为奇函数，
设ℎx= cs2x，可知ℎx为偶函数，
所以fx=1−ex1+excs2x为奇函数，则B，C错误，
易知f0=0，所以A正确，D错误．
故选：A.
3.（2024·天津·二模）已知函数y=fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（ ）．
A．fx=ex+1ex−1B．fx=ex−1ex+1C．fx=x23x4−1D．fx=x3x4−1
【答案】D
【分析】根据f0=0排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.
【详解】对于A， fx=ex+1ex−1在x=0处无意义，故A错误；
对于B：fx=ex−1ex+1的定义域为R，故B错误；
对于C：fx=x23x4−1的定义域为x|x≠±1，
且f−x=−x23−x4−1=x23x4−1=fx，则fx为偶函数，故C错误；
对于D，fx=x3x4−1满足图中要求，故D正确.
故选：D.
考点九、指数函数模型的实际应用
1.（2024·广东茂名·模拟预测）自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．Sigmid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，Tanh函数的解析式为tanhx=ex−e−xex+e−x，经过某次测试得知tanhx0=35，则当把变量减半时，tanhx02=（ ）
A．13B．3C．1D．13或3
【答案】A
【分析】根据题意，由tanhx0=35得到ex0=2求解.
【详解】解：∵tanhx=ex0−e−x0ex0+e−x0=35，
∴e2x0=4，ex0=2，ex0=−2（舍）．
∵tanhx02=ex02−e−x02ex02+e−x02=ex0−1ex0+1，
∴tanhx02=13．
故选：A
2.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1−30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.
【详解】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1−30%x<20即0.7x<13.
由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>lg0.713=lg13lg0.7=lg1−lg3lg7−1=−−1=
他至少经过4小时才能驾驶.
故选：D.
1.（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系．y=eax+b(a，b．为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃ 的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（ ）
A．14℃B．15℃C．13℃D．16℃
【答案】A
【分析】根据给定的函数模型建立方程组，再列出不等式即可求解.
【详解】依题意，e7a+b=288e21a+b=32，则e14a=19，即e7a=13，显然a<0，
设物流过程中果蔬的储藏温度为t℃，于是eat+b≥96=3⋅e21a+b=e−7a⋅e21a+b=e14a+b，
解得at+b≥14a+b，因此t≤14，
所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14℃.
故选：A
2.（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T=2πGM⋅a32，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ）
A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍
【答案】B
【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.
【详解】设火星的公转周期为T1，长半轴长为a1，火星的公转周期为T2，长半轴长为a2，
则，T1=8T2，且T1=2πGMa132 ①T2=2πGMa232 ②
①②得： T1T2=(a1a2)32=8，
所以，a1a2=4，即：a1=4a2.
故选：B．
3.（2024·新疆喀什·二模）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数f(x)=aex+be−x（其中a,b为非零常数，e=2.71828⋯）来表示，当f(x)取到最小值为2时，下列说法正确的是（ ）
A．此时x=lnaB．此时a+b的最小值为2
C．此时2a+2b的最小值为2D．此时lnalnb的最小值为0
【答案】B
【分析】根据给定条件，判断a>0,b>0，再利用基本不等式逐项判断即得.
【详解】函数f(x)=aex+be−x，a,b为非零常数，ex>0,e−x>0，由f(x)取到最小值为2，得a>0,b>0，
对于A，aex+be−x≥2aex⋅be−x=2ab=2，则ab=1，当且仅当aex=be−x，
即e2x=ba=1a2时取等号，此时ex=1a，x=−lna，A错误；
对于B，a+b≥2ab=2，当且仅当a=b=1取等号，B正确；
对于C，2a+2b≥22a⋅2b=22a+b≥4，当且仅当a=b=1取等号，C错误；
对于D，lnalnb≤(lna+lnb2)2=(12lnab)2=0，当且仅当a=b=1取等号，D错误.
故选：B
考点十、指数函数比较大小
1.（2023·全国·高考真题）已知函数fx=e−(x−1)2．记a=f22,b=f32,c=f62，则（ ）
A．b>c>aB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令g(x)=−(x−1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，
因为62−1−1−32=6+32−42，而(6+3)2−42=9+62−16=62−7>0，
所以62−1−1−32=6+32−42>0，即62−1>1−32
由二次函数性质知g(62)因为62−1−1−22=6+22−42，而(6+2)2−42=8+43−16=43−8=4(3−2)<0，
即62−1<1−22，所以g(62)>g(22)，
综上，g(22)又y=ex为增函数，故ac>a.
故选：A.
2.（2024·河北沧州·二模）若a=lg83,b=0.132,c=lnsin22024，则下列大小关系正确的是（ ）
A．bC．a【答案】B
【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及正弦函数的性质，分别求得a,b,c的取值范围，即可求解.
【详解】由对数函数单调性，可得lg88=12因为0<0.132=11032<11013<1813=12，所以0又因为0故选：B.
1.（2024·甘肃兰州·二模）故a=57−57，b=7535，c=lg3145，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．b【答案】D
【分析】由指数函数和对数函数的单调性得出即可.
【详解】a=57−57=7557>b=7535>1=lg3155>c=lg3145，
所以c故选：D
2.（2024·陕西西安·模拟预测）若e2a−eb>4a2−b2+1，则（ ）
A．4a2>b2B．4a2C．(14)a>(12)bD．(14)a<(12)b
【答案】D
【分析】等价变形不等式，放缩并构造函数，用导数探讨函数单调性，求得2a>b，再逐项分析判断即可.
【详解】不等式e2a−eb>4a2−b2+1⇔e2a−(2a)2>eb−b2+1>eb−b2，
令函数f(x)=ex−x2，求导得f'(x)=ex−2x，令g(x)=ex−2x，求导得g'(x)=ex−2，
当xln2时，g'(x)>0，函数g(x)在(−∞,ln2)上递减，在(ln2,+∞)上递增，
g(x)min=g(ln2)=eln2−2ln2=2(1−ln2)>0，即f'(x)>0，因此函数f(x)在R上递增，
原不等式等价于f(2a)>f(b)，于是2a>b，
对于AB，取2a=1,b=−1，有4a2=b2，AB错误；
对于CD，(12)2a<(12)b，即(14)a<(12)b，C错误，D正确.
故选：D
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
3.（2024·北京石景山·一模）设a=20.3，b=sinπ12，c=ln2，则（ ）
A．c【答案】B
【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助1，12进行比较判断选项.
【详解】a=20.3>20=1，b=sinπ12而e<2故选：B
考点十一、指数函数综合应用
1.（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R上的偶函数fx满足f(x)=f(2−x)，当x∈[0,1]时，fx=2x.函数gx=e−x−1−1【答案】4
【分析】在同一坐标系内作出fx与gx的图象，再利用图象的对称性即可求得fx与gx的图象所有交点的横坐标之和.
【详解】函数y=e−x是偶函数，图象对称轴为x=0，则函数y=e−x−1的图象有对称轴x=1，
所以函数gx=e−x−1−1g1=1，x∈1,3时gx=e−x−1=1ex−1，在1,3上单调递减且gx>0，
定义在R上的偶函数fx满足f(x)=f(2−x)，
则函数fx有对称轴x=0,x=1，又当x∈[0,1]时，fx=2x，
在同一坐标系在(−1,3)内作出fx与gx的图象，
由图象可得，fx与gx的图象有4个交点，
又fx与gx的图象均有对称轴x=1，
则两函数所有交点的横坐标之和为4.
故选：B
2.（23-24高三上·四川·期末）已知fx为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x−1−1,02，若函数gx=fx−k恰有5个零点，则k的取值范围是（ ）
A．−2,−1∪1,2B．−2,2C．−1,0∪0,1D．−1,1
【答案】D
【分析】根据条件及函数性质，作出fx的大致图象，利用图象即可求出结果.
【详解】依题意作出fx的大致图象，如图所示，

令gx=fx−k=0，得fx=k，
当0又x>2时，f(x)=2x+2x−9，易知f(x)=2x+2x−9在区间(2,+∞)上单调递增，
又22+2×2−9=−1，所以x>2时，f(x)>−1，又f(x)为奇函数，
所以由图可知，当k∈−1,1时，直线y=k与fx的图象有5个公共点，从而gx有5个零点，
故选：D.
1.（2024·广东深圳·一模）已知函数fx是定义域为R的偶函数，在区间0,+∞上单调递增，且对任意x1,x2，均有fx1x2=fx1fx2成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A．y=lnxB．y=x3C．y=2xD．y=x
【答案】D
【分析】由指数、对数运算性质结合函数单调性、奇偶性定义逐一判断每个选项即可求解.
【详解】对于A，fx1x2=lnx1x2=lnx1+lnx2=fx1+fx2，故A错误；
对于B，f−1=−1=−f1，故y=x3不是偶函数，故B错误；
对于C，fx1fx2=2x12x2=2x1+x2=fx1+x2，故C错误；
对于D，fx1x2=x1x2=x1x2=fx1fx2，
又y=fx=x定义域为全体实数，它关于原点对称，且f−x=−x=x=fx，
即函数fx是定义域为R的偶函数，
当x>0时，fx=x单调递增，满足题意.
故选：D.
2.（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，且a=lg52，b=−ln3，c=2−0.3则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
A．f(c)>f(a)>f(b)B．f(b)>f(c)>f(a)
C．f(a)>f(b)>f(c)D．f(c)>f(b)>f(a)
【答案】B
【分析】先比较a,b,c的大小关系，再根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【详解】因为0−b=ln3>1，
因为2−1<2−0.3<20，所以12c>a，
偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，故f(−b)>f(c)>f(a)，即f(b)>f(c)>f(a)
故选：B.
3.（2024·山东潍坊·二模）已知函数fx=12x,x≥0,−x2+2x,x<0,则fx图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】C
【分析】作出fx的图象，再作出函数y=12x,x≥0,关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可.
【详解】作出fx的图象，再作出函数y=12x,x≥0,关于原点对称的图象如图所示.
因为函数y=12x,x≥0,关于原点对称的图象与y=−x2+2x,x<0,图象有三个交点，故fx图象上关于原点对称的点有3对.

故选：C
4.（2024·全国·模拟预测）设函数fx=axlna+1+axln1+a，若fx<0在−∞,0上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．0,5−12B．0,5−12C．0,5+12D．0,5+12
【答案】B
【分析】首先将不等式fx<0等价变形，再将不等式恒成立，转化为最值问题，得到−lnaln1+a≥1，即可求解.
【详解】易知a>0，故a+1>1，ln1+a>0，fx<0在−∞,0上恒成立，
等价于不等式1+axln1+a<−axlna即1+aax<−lnaln1+a在x∈−∞,0上恒成立，
故1+aa0=1≤−lnaln1+a，（点拨：当a>0时，函数y=1+aax在−∞,0上单调递增，
则y<1+aa0=1，所以1+aa0=1≤−lnaln1+a），
故lna+1≤−lna，即aa+1≤1，又a>0，故0故实数a的取值范围是0,5−12．
故选：B
考点十二、指数函数的奇偶性与对称性
1.（2024·内蒙古赤峰·一模）已知fx是定义在R上的偶函数，且周期T=6.若当x∈−3,0时，f(x)=4−x，则f2024=（ ）
A．4B．16C．116D．14
【答案】B
【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可.
【详解】因为f2024=f6×337+2=f2=f−2=42=16.
故选：B.
2.（2024·陕西西安·二模）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，且当0【答案】−3
【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.
【详解】由已知可得fx+2+fx=0，所以fx+4+fx+2=0，
所以fx+4=fx，即T=4是函数fx的一个周期，
所以f211=f3=−f1=−31−ln1=−3.
故答案为：−3
1.（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数fx为指数函数，gx为幂函数，若ℎx=fx+gx，且ℎ1=3，则f−1= ．
【答案】12/0.5
【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求出fx=2x，直接代入求解.
【详解】因为fx为指数函数，gx为幂函数，
所以可设fx=ax（a>0，且a≠1），gx=xα（α是常数）.
∵ℎx=fx+gx，ℎ1=3，
∴a1+1α=3，∴a=2，
∴fx=2x，
∴f−1=2−1=12．
故答案为：12.
2.（2024·贵州毕节·二模）已知奇函数fx与偶函数gx满足fx+gx=ex，则下列结论正确的是（ ）
A．f20242−g20242=1B．f2024=f1012g1012
C．g2024=f10122+g10122D．f2024−g2024=e−2024
【答案】C
【分析】由题可得 fx+gx=ex，fx−gx=−e−x，进而可得fx=12ex−e−x,gx=12ex+e−x，分选项计算即可.
【详解】因为f(x)为奇函数，gx为偶函数，所以f(−x)=−f(x)， g(−x)=g(x) ，
因为fx+gx=ex 所以f−x+g−x=−fx+gx=e−x ，
即fx−gx=−e−x，所以fx=12ex−e−x,gx=12ex+e−x
对于A， f20242−g20242
=f2024+g2024f2024−g2024=−1 ，故A错误；
对于B， f2024=12e2024−e−2024 ≠f1012g1012=14e2024−e−2024，故B错误；
对于C， g2024=12e2024+e−2024 =f10122+g10122 ，故C正确；
对于 D， f2024−g2024=−e−2024 ，故D错误.
故选：C.
3.（2024·山东烟台·一模）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f2−x=fx，当0≤x≤1时，fx=2x−1，则flg212=（ ）
A．−13B．−14C．13D．12
【答案】A
【分析】根据给定条件，探讨函数f(x)的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.
【详解】在R上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，则f(x)=−f(x−2)，
于是f(x)=−f(x−2)=−[−f(x−4)]=f(x−4)，即函数f(x)的周期为4，
而8<12<16，则3所以f(lg212)=f(lg212−4)=f(lg234)=−f(lg243)=−(2lg243−1)=−13.
故选：A
4.（2024高三下·全国·专题练习）已知f(x)=4⋅2010x+22010x+1+xcsx(−1≤x≤1)，设函数f(x)的最大值是M，最小值是N，则（ ）
A．M+N=8B．M−N=8
C．M+N=6D．M−N=6
【答案】C
【分析】将f(x)看成两个函数的和，函数g(x)=4⋅2010x+22010x+1在R上单调递增，函数y=xcsx为奇函数，从而函数f(x)的最大值与最小值之和为函数g(x)的最大值和最小值之和，结合单调性利用指数运算化简求值即可.
【详解】因为g(x)=4⋅2010x+22010x+1=4⋅(2010x+1)−22010x+1=4−22010x+1，
由复合函数单调性的判断方法，知此函数g(x)在R上为增函数
又−xcs−x=−xcsx，所以y=xcsx为R上的奇函数，故其最大值加最小值为0，
所以M+N=g(1)+g(−1) =8−(22010−1+1+220101+1)=8−(2×20102010+1+22010+1)=8−(2×20112011)=6.
故选：C
1．（2024·山东青岛·二模）函数fx=ax−a(a>0，a≠1)的零点为（ ）
A．0B．1C．1,0D．a
【答案】B
【分析】令fx=ax−a=0，解出x即可.
【详解】因为fx=ax−a(a>0，a≠1)，
令fx=ax−a=0，解得x=1，
即函数的零点为1.
故选：B.
2．（2024·江西·模拟预测）函数fx=3x2−2x的一个单调递减区间为（ ）
A．−∞,0B．−1,0C．0,1D．1,+∞
【答案】C
【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】令t=x2−2x，则y=3t，
由复合函数的单调性可知：
fx的单调递减区间为函数t=x2−2x的单调递减区间，
又函数t(−x)=(−x)2−2−x=t(x)，
即函数t(x)为偶函数，
结合图象，如图所示，
可知函数t=x2−2x的单调递减区间为−∞,−1和0,1，
即fx的单调递减区间为−∞,−1和0,1．
故选：C．
3．（2024·福建南平·模拟预测）函数fx=2x2csx2x+2−x的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除CD，计算fπ即可排除B.
【详解】因为f−x=2−x2cs−x2−x+2x= 2x2csx2x+2−x=fx，所以fx为偶函数，
故C，D项错误；
又fπ=2π2csπ2π+2−π=−2π22π+2−π<0，故B项错误．
故选：A．
4．（2024·广东茂名·一模）Gmpertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：fx=kab−x（其中k>0,b>0，a为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a=e.若x=1表示该新产品今年的年产量，估计明年x=2的产量将是今年的e倍，那么b的值为（e为自然数对数的底数）（ ）
A．5−12B．5+12C．5−1D．5+1
【答案】A
【分析】由a=e，得到fx=k⋅eb−x，分别代入x=1、x=2，得到f1和f2的值，进而得到keb−2keb−1=eb−2−b−1=e，求解即可.
【详解】由a=e，得到fx=k⋅eb−x，
∴当x=1时，f1=k⋅eb−1；
当x=2时，f2=keb−2.
依题意，明年x=2的产量将是今年的e倍，得：keb−2keb−1=eb−2−b−1=e，
∴1b2−1b=1，即b2+b−1=0，解得b=−1±52.
∵b>0，∴b=5−12.
故选：A.
5．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知a>0且a≠1,b>0，且b≠1，若函数f(x)=ax12x+bx为偶函数，则（ ）
A．ab2=2B．a2b=2
C．ab=2D．ab=2
【答案】B
【分析】函数为偶函数，有f(−x)=f(x)，代入函数解析式，化简得a2bx=2x恒成立，则有a2b=2．
【详解】由题意可知，f(−x)=f(x)，即a−x2x+b−x=ax2−x+bx，
所以(2b)x+1(ab)x=ax1+(2b)x2x，因为(2b)x +1≠0，所以a2bx=2x恒成立，所以a2b=2．
故选：B.
6．（2024·广西河池·模拟预测）已知a>0且a≠1，则“b=−1”是“函数fx=axb+bax为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由“函数fx=axb+bax为偶函数”，可得b=±1，结合充分条件与必要条件的性质即可判断.
【详解】若函数fx=axb+bax为偶函数，由定义域为R，则有fx=f−x，
即axb+bax=a−xb+ba−x，即axb+bax=1b⋅ax+b⋅ax对任意的x恒成立，
即有b=1b，故b=±1，
由“b=−1”是“b=±1”的充分不必要条件，
故“b=−1”是“函数fx=axb+bax为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2024·四川成都·三模）已知函数fx=3x,x≥13−x,x<1，则flg32的值为
【答案】12/0.5
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由函数fx=3x,x≥13−x,x<1，因为0故答案为：12.
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数f(x)=1+lgx(x∈[110,100])，则函数F(x)=2[f(x)]2−f(x2)的值域为（ ）
A．[12,16]B．1,8C．2,16D．1,16
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出f(x)的值域，再借助二次函数求出[f(x)]2−f(x2)的值域，最后利用指数函数单调性求解即得.
【详解】函数f(x)=1+lgx在[110,100]上单调递增，f(x)∈[0,3]，
令t=[f(x)]2−f(x2)=[f(x)]2−1−2lgx=[f(x)]2−2f(x)+1=[f(x)−1]2∈[0,4]，
而函数y=2t在[0,4]上单调递增，则1≤2t≤16，
所以函数F(x)=2[f(x)]2−f(x2)的值域为1,16.
故选：D
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列an的通项公式为an=en2+μn，则“μ≥−21”是“∀n∈N*,an≥a10”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意结合复合函数单调性可得y=ex2+μx的单调性，结合数列单调性与函数单调性之间的关系可得−21≤μ≤−19，再根据包含关系分析充分、必要条件.
【详解】二次函数y=x2+μx图象的开口向上，对称轴是直线x=−μ2，
且y=ex在定义域R内单调递增，
当x<−μ2时，y=x2+μx单调递减，y=ex2+μx单调递减；
当x>−μ2时，y=x2+μx单调递增，y=ex2+μx单调递增；
因为an=en2+μn中的自变量n为正整数，且∀n∈N*,an≥a10，
则192≤−μ2≤212，解得−21≤μ≤−19，
显然−21,−19是−21,+∞的真子集，
所以“μ≥−21”是“∀n∈N*,an≥a10”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2024·北京西城·三模）已知函数f(x)=2x，若∀x1,x2∈R，且x1A．f(x1)C．f(x1x2)=f(x1)+f(x2)D．f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性判断A，根据基本不等式判断B，根据指数的运算判断C D.
【详解】由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递增，
又x1因为2x1>0，2x2>0，
所以f(x1)+f(x2)2=2x1+2x22≥2x1⋅2x2=2x1+x22=fx1+x22，
又x1fx1+x22，故B正确；
f(x1x2)=2x1x2，f(x1)+f(x2)=2x1+2x2，
∀x1,x2∈R，x1f(x1+x2)=2x1+x2，f(x1)f(x2)=2x1⋅2x2=2x1+x2=f(x1+x2)，故D正确.
故选：C.
4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数fx=exx−1−x−1的所有零点之和为（ ）
A．0B．-1C．3D．2
【答案】A
【分析】令fx=0，即exx−1−x−1=0，构造函数y=ex与函数y=x+1x−1，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为x1,x2，得fx1=f−x1=0，进而得到x2=−x1，即x1+x2=0
【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程fx=0的实数根，令fx=0，
则exx−1−x−1=0，显然x≠1，所以ex=x+1x−1，
构造函数y=ex与函数y=x+1x−1，则方程ex=x+1x−1的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数fx=exx−1−x−1有两个零点，
设为x1,x2，所以ex1=x1+1x1−1，ex2=x2+1x2−1，
即fx1=ex1x1−1−x1−1=0,fx2=ex2x2−1−x2−1=0，
另外发现，将−x1代入，可得f−x1=e−x1−x1−1−−x1−1=−x1+1ex1+x1−1=−(x1+1)ex1+x1+1ex1=0，
所以−x1也是函数fx的零点，说明x2=−x1，即x1+x2=0.
故选:A.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=4ex+1+sinx，则f(−2020)+f(−2019)+⋯+f(−1)+f(0)+f(1)+⋯+f(2020)= .
【答案】8082
【分析】令g(x)=4ex+1,ℎx=sinx，结合ℎx=sinx为奇函数，g(−x)+g(x)=4求出答案.
【详解】令g(x)=4ex+1,ℎx=sinx，则fx=g(x)+ℎx，
由于ℎx=sinx为奇函数，
故ℎ(−2020)+ℎ(2020)=ℎ(−2019)+ℎ2019=⋯=ℎ(−1)+ℎ(1)=ℎ(0)=0，
其中g(−x)+g(x)=4e−x+1+4ex+1=4(ex+e−x+2)ex+e−x+2=4，g0=2，
∴f(−2020)+f(−2019)+⋯+f(−1)+f(0)+f(1)+⋯+f(2020)
=g(−2020)+g(−2019)+⋯+g(−1)+g(0)+g(2)+⋯+g(2020)
=2020×4+2
=8082
故答案为：8082
6．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意x∈1,3，a≤2x+2−x”为假命题，则实数a的取值范围是
【答案】a>52
【分析】根据题意，问题转化为存在x∈1,3，a>2x+2−x为真命题，即a>2x+2−xmin，求出y=2x+2−x的最小值得解.
【详解】若命题任意“x∈1,3，a≤2x+2−x”为假命题，
则命题存在x∈1,3，a>2x+2−x为真命题，
因为1≤x≤3时，2≤2x≤8，
令t=2x，则2≤t≤8，
则y=t+1t在2,8上单调递增，
所以52≤y≤658，
所以a>52.
故答案为：a>52.
7．（2024·北京通州·三模）已知a=2−1.1，b=lg1413，c=lg23，则三者大小关系为 （按从小到大顺序）
【答案】a【分析】根据指数函数和对数函数的性质确定出a,b,c的范围，即可求解.
【详解】因为a=2−1.1<2−1=12，
b=lg1413=lg43>lg42=12，且b=lg1413=lg43<1，
c=lg23>lg22=1，
故a故答案为：a1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 d=S−1lnN是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
A．3N2=2N1B．2N2=3N1
C．N22=N13 D．N23=N12
【答案】D
【分析】根据题意分析可得S−1lnN1=2.1,S−1lnN2=3.15，消去S即可求解.
【详解】由题意得S−1lnN1=2.1,S−1lnN2=3.15，则2.1lnN1=3.15lnN2，即2lnN1=3lnN2，所以N23=N12.
故选：D.
2．（·天津·高考真题）已知lg12bA．2b>2a>2cB．2a>2b>2cC．2c>2b>2aD．2c>2a>2b
【答案】A
【解析】根据对数函数的单调性可得b>a>c>0，再根据指数函数的单调性即可求解.
【详解】y=lg12x为单调递减函数，
若lg12ba>c>0，
又y=2x为单调递增函数，
所以2b>2a>2c.
故选：A
3．（2019·全国·高考真题）已知a=lg20.2,b=20.2,c=0.20.3，则
A．a【答案】B
【分析】运用中间量0比较a , c，运用中间量1比较b , c
【详解】a=lg20.220=1, 0<0.20.3<0.20=1,则0【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
4．（·天津·高考真题）已知a=21.2，b=(12)−0.8，c=2lg52，则a, b, c的大小关系为
A．cC．b【答案】A
【详解】试题分析：因为b=(12)−0.8=20.8，所以由指数函数的性质可得1考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.
【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.
5年考情
考题示例
考点分析
2023年天津卷，第4题,5分
函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的图象(含正、弦、正切)根据函数图象选择解析式
y＝ax
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，01
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数