第08讲 对数函数（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度综合，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握对数的图象与特征，能够灵活运用对数函数的性质
2.能利用对数函数的性质解决定义域与值域最值问题
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数解决奇偶性与对称性问题
4.能结合图像与性质解决综合型问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。
知识讲解
知识点一.对数的定义
1.一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝lgaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
2.底数的对数是1，即lgaa＝1,1的对数是0，即lga1＝0.
知识点二．对数函数的定义
1.形如y＝lgax(a>0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质
知识点三．对数函数图象的特点
1.对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限．
2.函数y＝lgax与y＝lg1ax(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．
3.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．
注意：
1．在运算性质lgaMn＝nlgaM中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M>0的条件下应为lgaMn＝nlga|M|.
2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．
3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及04．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
知识点四.指对函数性质的比较
考点一、对数函数的解析式
1.（23-24高三上·江苏·期末）满足fxy=fx+fy的函数fx可以为fx= .（写出一个即可）
【答案】lnx（答案不唯一）
【分析】对数函数均满足要求，考虑到定义域需要加绝对值
【详解】可令fx=lnx，满足要求.
故答案为：fx=lnx.（答案不唯一）
2.（22-23高三上·江苏泰州·期中）已知函数f(x)同时满足（1）f(mn)=f(m)+f(n)；（2）(m−n)[f(m)−f(n)]<0，其中m>0,n>0,m≠n，则符合条件的一个函数解析式f(x)＝ ．
【答案】lg12x（答案不唯一）
【分析】由已知函数性质，结合函数的单调性定义和对数函数的运算性质得f(x)=lgax且0【详解】由（2）知：f(x)在(0,+∞)上递减，
由（1），结合对数的运算性质知：lga(mn)=lgam+lgan，则f(x)=lgax，
综上，f(x)=lgax且0故答案为：lg12x（答案不唯一）
1.（2023高三上·全国·专题练习）已知fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=lgax+1(a>0，且a≠1)，则函数fx的解析式是 .
【答案】fx=lgax+1,x≥0lga−x+1,x<0
【分析】先利用函数奇偶性求出x<0时的解析式，进而可得函数fx的解析式.
【详解】当x<0时，−x>0，
由题意知f−x=lga−x+1，
又fx是定义在R上的偶函数，所以f−x=fx，
所以当x<0时，fx=lga−x+1，
所以函数fx的解析式为fx=lgax+1,x≥0lga−x+1,x<0.
故答案为：fx=lgax+1,x≥0lga−x+1,x<0.
2.（2024·河北沧州·模拟预测）直线x=4与函数fx=lgax(a>1),gx=lg12x分别交于A,B两点，且AB=3，则函数ℎx=fx+gx的解析式为（ ）
A．ℎx=−lg2xB．ℎx=−lg4x
C．ℎx=lg2xD．ℎx=lg4x
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性及|AB|=3得a=4，代入化解即可.
【详解】由题意可知，定义域为(0,+∞)，
函数f(x)在定义域内单调递增，函数g(x)在定义域内单调递减，
则AB=lga4−lg124=lga4+2，
所以lga4+2=3，
解得a=4，
所以ℎx=lg4x+lg12x=lg4x−lg2x=lg4x−2lg4x=−lg4x.
故选：B.
3.（2024·北京东城·一模）设函数fx=1lnx+1，则（ ）
A．fx+f1x=2B．fx−f1x=2
C．fxf1x=2D．fx=2f1x
【答案】A
【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解.
【详解】函数fx=1lnx+1的定义域为0,1∪1,+∞，
对于A，fx+f1x=1lnx+1+1ln1x+1=1lnx+1−lnx+2=2，故A正确；
对于B，fx−f1x=1lnx+1−1ln1x−1=1lnx−1−lnx−=2lnx，故B错误；
对于CD，当x=e时，fx=11+1=2,f1x=1−1+1=0，故CD错误.
故选：A.
4.（23-24高三上·北京·阶段练习）定义域为R的函数fx同时满足以下两条性质：
①存在x0∈R，使得fx0≠0；
②对于任意x∈R，有fx+1=2fx．
写出满足上述性质的一个增函数fx= ．
【答案】2x（答案不唯一）
【分析】取fx=2x，验证满足条件，得到答案.
【详解】fx=2x，f1=2≠0，满足存在x0∈R，使得fx0≠0；
fx+1=2x+1=2×2x=2fx，满足条件.
故答案为：2x.
考点二、对数函数的求值、求参问题
1.（2024·湖北·模拟预测）已知函数f(x)=2x+2−x,x≤2,f(x−1),x>2,则flg212=（ ）
A．103B．133C．356D．376
【答案】A
【分析】根据分段函数的形式，结合对数和指数运算公式，即可求解.
【详解】flg212=flg212−1=flg26=flg26−1=flg23，
=2lg23+12lg23=3+13=103
故选：A
2.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知定义在R上的函数fx是奇函数，且当x≥0时，fx=lg2x+3+a，则f−3=（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【答案】B
【分析】定义在R上的函数fx是奇函数，所以f0=0，由此可得a的值，进而由f3可得f−3的值.
【详解】因为fx是定义在R上的奇函数，所以f0=lg23+a=0，
解得a=−lg23，则fx=lg2x+3−lg23，
f3=lg26−lg23=lg22=1，
所以f−3=−f3=−1.
故选：B.
1.（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足flg23=−flg32的是（ ）
A．f(x)=1+lnxB．fx=x+1x
C．fx=x−1xD．fx=1−x
【答案】C
【分析】令t=lg23>1，则1t=lg32，结合各选项代入验证，即可判断答案．
【详解】令t=lg23，t>1，则1t=lg32∈(0,1)，由flg23=−flg32可得f(t)=−f1t，
对于A，f(1t)=1+ln1t=1−lnt≠−f(t)，故A错误；
对于B，f(1t)=1t+t=f(t)，不满足f(t)=−f1t，B错误；
对于C，f1t=1t−t=−ft，即f(t)=−f(1t)，即f(lg23)=−f(lg32)，C正确；
对于D，f(1t)=1−1t≠−f(t)，即f(lg23)=−f(lg32)不成立，D错误．
故选：C．
2.（2024·山东济宁·三模）已知函数f(x)=12x，x≤0lg4x，x>0，则ff12= .
【答案】2
【分析】利用已知的分段函数，可先求f(12)=−12，再求ff12=f−12=2即可.
【详解】因为f(x)=12x，x≤0lg4x，x>0，，所以f(12)=lg412=−lg42=−12.
所以ff12=f−12=12−12=212=2.
故答案为：2.
3.（2024·河北·三模）已知函数fx=lgx，若fa=fba≠b，则当2a⋅3b取得最小值时，ab= ．
【答案】lg23
【分析】根据题意，由条件可得ab=1，令z=2a⋅3b，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由fa=fb得−lga=lg1a=lgb，即ab=1，令z=2a⋅3b，
则lnz=a⋅ln2+b⋅ln3≥2a⋅ln2⋅b⋅ln3=2ln2⋅ln3
当且仅当a⋅ln2=b⋅ln3，即ab=ln3ln2=lg23时，lnz取得最小值，此时z也取得最小值．
故答案为：lg23.
4.（2024·四川·模拟预测）已知函数fx=csx⋅lnx2+1−x+1，若fm=3，则f−m=（ ）
A．−1B．−3C．−5D．3
【答案】A
【分析】构造新函数，利用奇函数的性质即可求得f−m的值.
【详解】fx定义域为R，令gx=fx−1=csx⋅lnx2+1−x，
则g−x=csx⋅lnx2+1+x)=csx⋅ln1x2+1−x=−gx，
∴gx是R上的奇函数，
∴g−m+gm=f−m−1+fm−1=0，
即f−m=2−fm=2−3=−1，
故选：A．
考点三、对数函数的定义域与不等式
1. （2024·青海海南·二模）函数f(x)=lg10−x2x的定义域为（ ）
A．(−10,10)B．(−∞,−10)∪(10,+∞)
C．[−10,10]D．(−10,0)∪(0,10)
【答案】D
【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可.
【详解】∵函数f(x)=lg10−x2x，
∴10−x2>0x≠0，解得x∈(−10,0)∪(0,10)．
故选：D．
2. （23-24高三上·天津河东·阶段练习）函数fx=lgx−14−x的定义域为 ．
【答案】(1,4)
【分析】利用函数有意义，列出不等式求解即得.
【详解】函数fx=lgx−14−x有意义，则x−1>04−x>0，解得1所以函数fx=lgx−14−x的定义域为(1,4).
故答案为：(1,4)
1.（2022高三上·河南·专题练习）函数fx=ln4−xsinx⋅x−1的定义域为（ ）
A．(1,π2)∪(π2,4)B．(1,π)∪(π,4)C．[1,π2)∪(π2,4]D．[1,π)∪(π,4]
【答案】B
【分析】由对数的真数大于零，二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得结果.
【详解】要使fx有意义，需满足x−1>04−x>0sinx≠0，
解得1所以定义域为(1,π)∪(π,4).
故选：B．
2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx的定义域为−2,2，则函数Fx=fx+1lg|x|的定义域为（ ）
A．−3,1B．−3,0∪0,1
C．−1,0∪0,1∪1,3D．−3,−1∪−1,0∪0,1
【答案】D
【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，要使Fx有意义，
只需要−2≤x+1≤2x>0x≠1，解得−3≤x≤1x≠0x≠−1,且x≠1，
所以x∈−3,−1∪−1,0∪0,1，
所以函数Fx的定义域为−3,−1∪−1,0∪0,1.
故选：D.
3.（2024·北京通州·二模）已知函数fx=x12+lgx−2的定义域为 ．
【答案】xx>2
【分析】根据函数的定义域有意义，解不等式求解.
【详解】根据题意可得x≥0x−2>0,解得x>2
故定义域为xx>2.
故答案为：xx>2
4.（23-24高三下·上海·阶段练习）函数f(x)=lg(4x−2x−2)的定义域为 ．
【答案】(1,+∞)．
【分析】根据对数函数的性质得不等式，然后解指数不等式可得．
【详解】由题意4x−2x−2>0，即(2x−2)(2x+1)>0，
∴2x>2，x>1，∴定义域为(1,+∞)．
故答案为：(1,+∞)．
考点四、对数函数的值域问题
1.（23-24高三上·北京·期中）下列函数中，值域为1,+∞的是（ ）
A．y=1sinxB．y=x+1C．y=lgx+1D．y=2x+1
【答案】D
【分析】根据初等函数的性质逐一求出相应值域即可得答案.
【详解】因为−1≤sinx≤1，且sinx≠0，所以1sinx≤−1或1sinx≥1，A错误；
因为x≥0，所以x+1≥1，B错误；
因为x+1≥1，所以lgx+1≥lg1=0，C错误；
因为2x>0，所以2x+1>1，即y=2x+1的值域为1,+∞，D正确.
故选：D
2.（2024高三·全国·专题练习）函数fx=lnx+x,x∈1,e的值域为 ．
【答案】1,e+1
【分析】
利用函数的单调性可求函数的值域.
【详解】函数fx=lnx+x,x∈1,e为增函数，故其值域为1,e+1.
故答案为：1,e+1
1.（23-24高三上·上海黄浦·期中）函数y=lg3x+1lg93x在区间13,+∞上的最小值为 .
【答案】22−1
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】y=lg3x+1lg9(3x)=lg3x+21+lg3x，
因为x∈13,+∞，所以lg3x∈−1,+∞，故1+lg3x∈0,+∞，
故y=1+lg3x+21+lg3x−1≥21+lg3x⋅21+lg3x−1=22−1，
当且仅当1+lg3x=21+lg3x，即x=32−1时，等号成立.
故答案为：22−1.
2.（23-24高三上·河南·期中）已知函数f(x)=x2+4x+3,x<2ln(x−1)+1,x≥2，则fe+1= ，函数fx的值域为 .
【答案】 2 −1,+∞
【分析】根据分段函数解析式代入计算即可求得fe+1=2；利用二次函数单调性以及对数函数单调性分别求出对应函数值域即可求得fx的值域为−1,+∞.
【详解】易知e+1>2，所以fe+1=lne+1=2；
当x<2时，fx=x2+4x+3=x+22−1≥−1；
当x≥2时，fx=lnx−1+1，易知fx在2,+∞上是单调递增函数，
所以fx=lnx−1+1≥ln2−1+1=1，
综上可知fx的值域为−1,+∞.
故答案为：2；−1,+∞
3.（23-24高三上·重庆·期中）已知a>0，函数fx=lg2x,x≥ax−2x−3,x【答案】 0,+∞ 2,3
【分析】由a=2得到fx=lg2x,x≥2,x−2x−3,x<2.再分x<2和x≥2，分别利用反比例型函数和对数函数的性质求解；画出函数fx的图象，利用数形结合法求解.
【详解】解：当a=2时，fx=lg2x,x≥2,x−2x−3,x<2.
当x<2时，fx=x−2x−3=x−3+1x−3=1+1x−3∈0,1，
当x≥2时，fx=lg2x=lg2x∈1,+∞，
所以当a=2时，fx的值域为0,+∞．
画出fx每段的图象，如图所示：

由图象知：当a<2或a>3时，存在x1，x2x1≠x2，使得fx1=fx2，
当2≤a≤3时，不存在x1，x2x1≠x2，使得fx1=fx2．
故答案为：0,+∞，2,3
4.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数fx=lg2x−2lg2x+1值域为 .
【答案】−∞,−2
【分析】确定函数定义域为0,+∞，变换fx=lg21x+1x+2，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】函数fx=lg2x−2lg2x+1的定义域为0,+∞，
fx=lg2x−2lg2x+1=lg2xx+12=lg21x+1x+2≤lg212x⋅1x+2
=lg214=−2，
当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，故值域为−∞,−2.
故答案为：−∞,−2.
考点五、对数函数的定义域与值域求参问题
1.（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若函数f(x)=lg0.5(x2−ax+2a)(a>0)的值域为R，则f(a)的取值范围是（ ）
A．−∞,−3B．−∞,−4C．−4,+∞D．−3,+∞
【答案】B
【分析】利用对数函数的定义，结合二次函数性质求出a的范围，再利用对数函数性质求解即得.
【详解】依题意，x2−ax+2a取遍所有正数，则Δ=a2−8a≥0，而a>0，解得a≥8，
所以f(a)=lg0.5(2a)≤lg0.516=−lg216=−4.
故选：B
2.（22-23高三·全国·对口高考）若函数y=lgx2−ax+9的定义域为R，则a的取值范围为 ；若函数y=lgx2−ax+9的值域为R，则a的取值范围为 .
【答案】 (−6,6) (−∞,−6]∪[6,+∞)
【分析】第一空，由题意可得x2−ax+9>0对于x∈R恒成立，结合判别式小于0即可求得答案；第二空，由题意可得x2−ax+9能取到所有正数，结合判别式大于等于0即可求得答案；
【详解】函数y=lgx2−ax+9的定义域为R，则x2−ax+9>0对于x∈R恒成立，
故Δ=(−a)2−4×9<0，解得−6若函数y=lgx2−ax+9的值域为R，即x2−ax+9能取到所有正数，
故Δ=(−a)2−4×9≥0，解得a≥6或a≤−6，即a∈(−∞,−6]∪[6,+∞)，
故答案为：(−6,6)；(−∞,−6]∪[6,+∞)
1.（23-24高三上·上海闵行·期中）已知fx=lg4x,x【答案】1,4
【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解即可.
【详解】由对数函数的定义和单调性可知a>0，且当x当x≥a时因为一元二次函数x−32的对称轴为x=3，
所以当0若函数y=fx的值域为R，则lg4a≥0解得1≤a≤3；
当a>3时，fx=x−32≥fa=a−32，
若函数y=fx的值域为R，则lg4a≥a−32，
令ga=lg4a−a−32 a>3，所以g'a=1aln4−2a−3=1−2aa−3ln4aln4，
令ℎa=1−2aa−3ln4=−2ln4a2+6ln4a+1，ℎa表示对称轴为a=3，开口向下的抛物线，
因为ℎ3=1>0，ℎ4=−8ln4+1<0，所以存在a0∈3,4使得ℎa=0，
所以当a∈3,a0时，g'a>0，ga单调递增，当a∈a0,+∞时，g'a<0，ga单调递减，
又因为g3=lg43>0，g4=lg44−1=0，所以由ga≥0解得3综上1≤a≤4，
故答案为：1,4
2.（2023·全国·模拟预测）若“∀x∈3,27，lg3x≤m”是真命题，则实数m的一个可能取值为 ．
【答案】3（答案不唯一）
【分析】由题意可得出∀x∈3,27，不等式lg3x≤m恒成立，求出y=lg3x的最大值即可得出答案.
【详解】由“∀x∈3,27，lg3x≤m”是真命题，
得∀x∈3,27，不等式lg3x≤m恒成立．
而∀x∈3,27，lg3x的最大值为lg327=3，最小值为lg33=1，
所以m的取值范围是m≥3，所以m的一个可能取值为3（答案不唯一）．
故答案为：3（答案不唯一）
3.（2023·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则在函数fx=lnx2+ax+b的值域为R的条件下，满足“函数gx=ax−b−xa+bx为偶函数”的概率为（ ）
A．217B．219C．317D．319
【答案】D
【分析】根据函数的值域为R可得a,b之间的关系，再根据gx为偶函数可得a=b，最后根据条件概率的概率公式可求题设中的概率.
【详解】设事件A为“fx=lnx2+ax+b的值域为R”，
设事件B为“函数gx=ax−b−xa+bx为偶函数，
掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，所得基本事件a,b有：
1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，
2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，
3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，
4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，
5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，
6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，
故基本事件的总数为36.
因为fx=lnx2+ax+b的值域为R，所以a2−4b≥0，故a2≥4b，
而gx=ax−b−xa+bx为偶函数，故g−x=−a−x−bxa+bx=ax−b−xa+bx，
所以ax−bx=−a−x+b−x，整理得到ax−bx1−1abx=0x≠0,1−1abx≠0，
所以ax=bx即a=b.
故A对应的基本事件a,b有：
2,1，
3,1,3,2，
4,1,4,2,4,3,4,4，
5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，
6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，
故共有基本事件的个数为19，
又AB对应的基本事件有4,4,5,5,6,6，
故PB|A=PBAPA=3361936=319，
故选：D.
考点六、对数函数过定点问题
1.（·山东·高考真题）函数y=lgax+3−1a>0,a≠1的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m、n>0，则1m+2n的最小值为 .
【答案】8
【分析】求出定点A−2,−1，可得出2m+n=1，将代数式1m+2n与2m+n相乘，展开后利用基本不等式可求得1m+2n的最小值.
【详解】对于函数y=lgax+3−1a>0,a≠1，令x+3=1，可得x=−2，则y=lga1−1=−1，
故函数y=lgax+3−1a>0,a≠1的图象恒过定点A−2,−1，
因为点A在直线mx+ny+1=0上，则−2m−n+1=0，可得2m+n=1，
因为m、n>0，所以，1m+2n=2m+n1m+2n=4+4mn+nm≥4+24mn⋅nm=8，
当且仅当n=2m时，等号成立，故1m+2n的最小值为8.
故答案为：8.
2.（23-24高三上·陕西·阶段练习）函数fx=lgax+1+2x(a>0，且a≠1)的图象过定点 .
【答案】0,1
【分析】根据lga1=0，令x+1=1即可求出定点.
【详解】令x+1=1，则x=0，此时a在0,1∪1,+∞上无论取何值，fx的值总为1，故函数fx的图象过定点0,1.
故答案为：0,1
1.（23-24高三上·陕西咸阳·期中）已知函数y=lga(x−1)+4(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，点P在幂函数y=f(x)的图象上，则lgf(2)+lgf(5)= .
【答案】2
【分析】令x−1=1可求得定点P的坐标，从而可求得y=f(x)的解析式，即可求解.
【详解】令x−1=1得y=4，则定点P2,4.
设幂函数f(x)=xα，将点P代入可得4=2α，则α=2，即f(x)=x2.
因此lgf(2)+lgf(5)=lg22+lg52=2lg2+2lg5=2lg2+lg5=2lg10=2.
故答案为：2.
2.（2023·江西赣州·一模）已知函数y=1+lga2−x(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，且点P在圆x2+y2+mx+m=0外，则符合条件的整数m的取值可以为 .（写出一个值即可）
【答案】5（不唯一，取m>4的整数即可）
【分析】先求定点P的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得m的取值.
【详解】因为函数y=1+lga2−x的图像恒过定点1,1，所以P1,1；
因为点P在圆x2+y2+mx+m=0外，
所以12+12+m+m>0且m2−4m>0，解得−14；
又m为整数，所以m的取值可以为5,6,7,⋯.
故答案为：5（不唯一，取m>4的整数即可）.
3.（2023·青海西宁·二模）已知函数y=lga3x−2+2（a>0且a≠1）的图像过定点A，若抛物线y2=2px也过点A，则抛物线的准线方程为 .
【答案】x=-1
【分析】先求出A点的坐标，再求出p即可.
【详解】因为函数y=lgax 经过定点1,0 ，所以函数y=lga3x−2+2 经过
定点A1,2，将它代入抛物线方程得22=2p×1 ，解得p=2，
所以其准线方程为x=−1；
故答案为：x=−1 .
4.（2023高三·全国·专题练习）已知数列an为等比数列，函数y=lga(2x−1)+2的图象过定点a1,a2，bn=lg2an，数列bn的前n项和为Sn，则S10的值为 ．
【答案】45
【分析】先求出函数过定点(1,2)，则等比数列an确定，由bn=lg2an，得出数列bn通项，再利用等差数列求和公式可得.
【详解】由已知y=lga(2x−1)+2，令x=1，得y=2.
所以函数y=lga2x−1+2的图象过定点(1,2)，
所以a1=1，a2=2，
由数列an为等比数列，则an=2n−1，
而bn=lg2an，于是bn=n−1，
所以数列bn是以0为首项，1为公差的等差数列，b1=0，b10=9，
则S10=0+92×10=45．
故答案为：45.
考点七、对数函数的单调性
1.（2022高三·全国·专题练习）函数fx=lg15−2x2+3x+2的单调递减区间为 ．
【答案】−12,34
【分析】求出函数的定义域，确定fx=lg15−2x2+3x+2由y=lg15u,u=−2x2+3x+2复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数fx=lg15−2x2+3x+2，
令u=−2x2+3x+2，则u=−2x2+3x+2>0,∴−12则fx=lg15−2x2+3x+2即由y=lg15u,u=−2x2+3x+2复合而成，
由于y=lg15u在(0,+∞)上单调递减，
故要求函数fx=lg15−2x2+3x+2的单调递减区间，
即求u=−2x2+3x+2,(−12而u=−2x2+3x+2的对称轴为x=34，
则u=−2x2+3x+2,(−12则函数fx=lg15−2x2+3x+2的单调递减区间为−12,34，
故答案为：−12,34
2. （2024·黑龙江·模拟预测）设函数f(x)=ln|x−a|在区间(2,3)上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,3]B．(−∞,2]C．[2,+∞)D．[3,+∞)
【答案】D
【分析】由复合函数的单调性分析得u=|x−a|在(2,3)上单调递减，根据u=|x−a|单调性即可得到答案.
【详解】设u=|x−a|，易知函数y=lnu是增函数，
因为f(x)=ln|x−a|在区间(2,3)上单调递减，
所以由复合函数单调性可知，u=|x−a|在(2,3)上单调递减.
因为函数u=|x−a|在(−∞,a)上单调递减，
所以3≤a，即a∈[3,+∞).
故选：D.
1. （2024·江苏南通·模拟预测）已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a<0B．−1≤a<0C．−1【答案】B
【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足a<02a+2≥0即可，从而可求出实数a的取值范围.
【详解】令t=ax+2，则y=lnt，
因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，
且y=lnt在定义域内递增，
所以a<02a+2≥0，解得−1≤a<0，
故选：B
2.（·天津·高考真题）若函数fx=lgax3−ax（a>0且a≠1）在区间−12,0内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．14,1B．34,1C．94,+∞D．1,94
【答案】B
【分析】分a>1和0【详解】函数f(x)=lga(x3−ax)(a>0,a≠1)在区间 (−12,0) 内有意义，
则(−12)3+12a⩾0, ∴a⩾14，
设t=x3−ax,则 y=lgat，t'=3x2−a
( 1 ) 当 a>1时，y=lgat 是增函数，
要使函数f(x)=lga(x3−ax)(a>0,a≠1)在区间(−12,0)内单调递增，
需使 t=x3−ax 在区间(−12,0)内内单调递增，
则需使t'=3x2−a≥0，对任意x∈(−120)恒成立 , 即a≤3x2对任意x∈(−12,0)恒成立；
因为x∈(−12,0)时，0<3x2<34所以a<0与a>14矛盾，此时不成立.
( 2 ) 当0要使函数fx=lgax3−ax(a>0,a≠1)在区间(−12,0)内单调递增，
需使t=x3−ax在区间(−12,0)内内单调递减，
则需使t'=3x2−a≤0 对任意x∈(−12,0)恒成立，
即a≥3x2对任意x∈(−12,0)恒成立，
因为x∈(−12,0)时,0<3x2<34，
所以a⩾34，
又a<1，所以34⩽a<1.
综上，a的取值范围是34⩽a<1
故选：B
3.（2024·陕西铜川·三模）若函数y=3a−1x+2a,x<1,lgax,x≥1在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．0,13B．0,15C．15,13D．15,1
【答案】C
【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.
【详解】∵函数y=3a−1x+2a,x<1,lgax,x≥1在R上单调递减，
∴3a−1<0,0故选：C.
考点八、对数函数的图像
1.（2024·湖北·模拟预测）函数fx=ex−e1x−lnx2的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据x<0时f(x)的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.
【详解】fx=ex−e1x−lnx2=ex−e1x−2ln−x,x<0ex−e1x−2lnx,x>0，
因为当x<0时，y=ex,y=−e1x,y=−2ln−x都为增函数，
所以，y=ex−e1x−2ln−x在(−∞,0)上单调递增，故B，C错误；
又因为f−x=e−x−e−1x−lnx2≠−fx，
所以fx不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.
故选：A
2.（23-24高三下·四川绵阳·开学考试）函数y=lgxx的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性可排除B，利用函数值正负可排除A，再根据单调性排除D，得解.
【详解】令fx=lgxx，x∈−∞,0∪0,+∞，
因为f−x=lg−x−x=−lgxx=−fx，所以fx是奇函数，排除B，
又当x>1时，fx>0恒成立，排除A，
当x>0时，fx=lgxx，
∴f'x=x⋅1xln10−lgxx2=lneln10−lgxx2=lge−lgxx2，
∴00，函数fx单调递增，
当x>e时，f'x<0，即函数fx单调递减，故D不正确.
故选：C.
1. （22-23高三上·甘肃平凉·阶段练习）函数y=x2−1⋅lnx2+22x2+1的部分图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】判断函数的奇偶性和对称性，然后分析当0【详解】因为y=fx=x2−1⋅lnx2+22x2+1，定义域为R，
且f(−x)=f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D，
当0x2+2，故lnx2+22x2+1<0，
所以，当00，当x=1时，y=0，排除B，所以C正确．
故选：C
2.（2024·湖南邵阳·模拟预测）函数f(x)=ln(x2+1+x)x2+1+x的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由x<0，f(x)<0排除BC；利用导数探讨函数g(t)=lntt,t>1的性质排除D即可.
【详解】依题意，∀x∈R，x2+1+x>|x|+x≥0恒成立，即函数f(x)的定义域为R，
当x<0时，0当x>0时，令t=x2+1+x>1，则ln(x2+1+x)x2+1+x=lntt，
令g(t)=lntt,t>1，求导得g'(t)=1−lntt2，当10，当t>e时，g'(t)<0，
即函数g(t)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，g(t)max=g(e)=1e<1，0故选：A
3．（2024·四川成都·三模）函数f(x)=xcs2xln(x2+1)的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据x∈(0,π4)时的函数值为正排除余下两个中的一个即得.
【详解】函数f(x)=xcs2xln(x2+1)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)=−xcs2xln(x2+1)=−f(x)，
函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足；
当x∈(0,π4)时，cs2x>0,ln(x2+1)>0，则f(x)>0，C不满足，A满足.
故选：A
考点九、对数模型实际应用
1. （21-22高三上·江苏扬州·期末）2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为πx≈xlnx的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数个数为（ ）（素数即质数，lge≈0.43，计算结果取整数）
A．1079B．1075C．434D．2500
【答案】B
【分析】计算π10000的值，即可得解.
【详解】因为π10000=10000ln10000=100004ln10=2500lge≈2500×0.43=1075，
所以，估计10000以内的素数个数为1075.
故选：B.
2. （2021·宁夏银川·二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足C=Wlg2(1+SN)，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：lg2≈0.3010)
A．10%B．20%C．30%D．40%
【答案】B
【分析】先计算SN=1000和SN=4000时的最大数据传输速率C1和C2，再计算增大的百分比C2−C1C1即可.
【详解】当SN=1000时，C1=Wlg21001≈Wlg21000；
当SN=4000时，C2=Wlg24001≈Wlg24000.
所以增大的百分比为：C2−C1C1=C2C1−1=Wlg24000Wlg21000−1=lg4000lg1000−1=lg4+lg1000lg1000−1 =lg4lg1000=2lg23≈2×0.30103≈0.2=20%.
故选：B.
1.（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温25∘C下，某种绿茶用85∘C的水泡制，经过xmin后茶水的温度为y∘C，且y=k⋅0.9227x+25x≥0,k∈R.当茶水温度降至60∘C时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据：ln2≈0.69,ln3≈1.10,ln7≈1.95,ln0.9227≈−0.08）
A．6minB．7minC．8minD．9min
【答案】B
【分析】根据初始条件求得参数k，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间x．
【详解】由题意可知，当x=0时，y=85，则85=k+25，解得k=60，
所以y=60×0.9227x+25，
当y=60时，60=60×0.9227x+25，即0.9227x=712，
则x=lg0.9227712=ln712ln0.9227=ln7−ln12ln0.9227
=ln7−2ln2−ln3ln0.9227≈1.95−2×0.69−1.10−0.08≈7，
所以茶水泡制时间大的为7 min.
故选：B.
2.（2024·河南三门峡·模拟预测）研究表明，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为E1,2024年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为E2，则比值E1E2的整数部分为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】由对数运算性质可得lgE1E2，进而可得E1E2，结合54<1000<64可得结果.
【详解】由已知得lgE1=4.8+1.5×5.7,lgE2=4.8+1.5×5.2，所以lgE1E2=1.5×0.5=0.75，
所以E1E2=100.75=1034=41000，
因为54<1000<64，所以5<41000<6，
所以E1E2=41000∈5,6.
故选：B.
3.（2024·广东·一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：lg102≈2.0086，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010）
A．23B．100C．150D．232
【答案】B
【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可.
【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，n天后，甲、乙的“日能力值”分别(1+2%)n,(1−1%)n，
依题意，(1+2%)n(1−1%)n=20，即(10299)n=20，两边取对数得nlg10299=lg20，
因此n=1+lg2lg102−lg99≈1+−1.9956≈100，
所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.
故选：B
考点十、对数函数比较大小
1.（2020·全国·高考真题）若2x−2y<3−x−3−y，则（ ）
A．ln(y−x+1)>0B．ln(y−x+1)<0C．ln|x−y|>0D．ln|x−y|<0
【答案】A
【分析】将不等式变为2x−3−x<2y−3−y，根据ft=2t−3−t的单调性知x【详解】由2x−2y<3−x−3−y得：2x−3−x<2y−3−y，
令ft=2t−3−t，
∵y=2x为R上的增函数，y=3−x为R上的减函数，∴ft为R上的增函数，
∴x∵y−x>0，∴y−x+1>1，∴lny−x+1>0，则A正确，B错误；
∵x−y与1的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
2.（2024·湖北武汉·二模）设a=15,b=2lnsin110+cs110,c=65ln65，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a【答案】B
【分析】构造函数f(x)=x−sinx、g(x)=x−ln(x+1)和ℎ(x)=x−65ln(x+1)，其中x∈(0,1)，利用导数得到它们的单调性即可比较出三者大小关系.
【详解】由已知可得b=2lnsin110+cs110=lnsin110+cs1102=ln(1+sin15)，
设f(x)=x−sinx，x∈(0,1)，则f'(x)=1−csx>0，
所以f(x)=x−sinx在(0,1)上单调递增，
所以f15>f(0)=0，即15>sin15，所以b=ln1+sin15设g(x)=x−ln(x+1)，x∈(0,1)，则g'(x)=1−1x+1=xx+1>0，
所以g(x)=x−ln(x+1)在(0,1)上单调递增，
所以g15>g(0)=0，即15>ln1+15>ln1+sin15，
综上a>b，
设ℎ(x)=x−65ln(x+1)，x∈(0,1)，则ℎ'(x)=1−65x+5=5x−1x+1，
当x∈0,15时，ℎ'(x)<0，当x∈15,1时，ℎ'(x)>0，
所以ℎ(x)=x−65ln(x+1)在0,15上单调递减，在15,1上单调递增，
所以ℎ15<ℎ(0)=0，即15<65ln1+15=65ln65，所以a所以b故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先对b进行合理变形得b=ln(1+sin15)，再通过构造函数f(x)=x−sinx、g(x)=x−ln(x+1)和ℎ(x)=x−65ln(x+1)，利用它们的单调性即可比较三者大小关系.
1.（2024·湖北黄冈·二模）已知a,b,c,d分别满足下列关系：16a=15,b=lg1716,lg1516c=1716,d=tan32，则a,b,c,d的大小关系为（ ）
A．aC．a【答案】B
【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得a【详解】由16a=15,可得a=lg1615,
a−b=lg1615−lg1716=ln15ln16−ln16ln17 =ln15⋅ln17−(ln16)2ln16⋅ln17,
因ln15⋅ln17又ln16⋅ln17>0，故a−b<0,即a因lg1516c=1716,，则c=15161716<1516,由ca<1516lg1615=1516⋅ln16ln15=ln1616÷ln1515，
由函数y=lnxx，y'=1−lnxx2，因x>e时，y'<0，
即函数y=lnxx在(e,+∞)上单调递减，则有0由b=lg1716<1，而d=tan32>tanπ4=1，即b综上，则有c故选：B.
【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法，
（1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断；
（2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较；
（3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断.
2.（2024·山东聊城·三模）设a=lg49,b=lg25,c=31−lg34，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．b>a>cB．b>c>aC．a>b>cD．c>b>a
【答案】A
【分析】根据对数运算性质及对数函数单调性比较大小即可.
【详解】因为函数y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，
故b=lg25>lg23=lg49=a>lg22=1，
又c=31−lg34=3lg33−lg34=3lg334=34<1，
所以b>a>1>c.
故选：A
考点十一、对数函数综合应用
1.（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知函数fx=3sin3x+cs3x,gx=2lgx+1，则函数ℎx=fx−gx的零点个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】准确分析函数性质，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象即可得解.
【详解】fx=3sin3x+cs2x=2sin3x+π6，所以fx的最大值为2，
当fx取最大值时，有3x+π6=π2+2kπ,k∈Z，即x=π9+2kπ3,k∈Z，
由gx=2lgx+1≤2⇒−1令−1当x趋于−1时，ℎx=fx−gx趋于正无穷，
而ℎ−2π9=f−2π9−g−2π9=−2−2lg1−2π9<−2−2lg110=0，
所以ℎx=fx−gx在−1,−2π9上存在一个零点，
根据上述分析，在同一平面直角坐标系中画出fx的图象与gx的图象如图所示，

由图可知，ℎx=fx−gx在−1,−2π9上存在一个零点，
ℎx=fx−gx在−2π9+2kπ3,4π9+2kπ3,k∈0,1,2,3,4上存在2×5=10个零点，
综上所述，fx的图象与gx的图象共有11个交点.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：关键是对区间进行适当划分，从而研究函数在各个区间上的性质，由此即可顺利得解.
2.（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 fx=ex,x≤0,lnx,x>0, gx=x−3,方程fgx=−3−gx有两个不同的根，分别是x1,x2,则 x1+x2=（ ）
A．0B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】方程fgx=−3−gx有两个不同的根等价于函数y=fgx与y=−x的图象有两个交点，作出函数fgx与y=−x的图象，根据数形结合计算即可得出结果.
【详解】由题意得：gx=x−3为R上的增函数，且g3=0,
当x≤3时，gx≤0，fgx=ex−3，
当x>3时，gx>0，fgx=lnx−3，
方程fgx=−3−gx=−x有两个不同的根等价于函数y=fgx与y=−x的图象有两个交点，
作出函数fgx与y=−x的图象如下图所示：
由图可知y=ex−3与y=lnx−3图象关于y=x−3对称，
则A,B两点关于y=x−3对称，中点C在y=x−3图象上，
由y=−xy=x−3，解得：C32,−32.
所以x1+x2=2×32=3.
故选：B
1.（2024·陕西西安·模拟预测）“0A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过对数函数和指数函数在指定范围内有交点即可.
【详解】因为方程22x=lgax在x∈(0,12]上有实数根，
设f(x)=4x，g(x)=lgax，
当a>1时，函数f(x),g(x)在x∈(0,12]单调递增，无交点，如图①所示，不成立；
当0如图②所示，即方程转化为f(x)=g(x)在x∈(0,12]有解，
故0解得0综上所诉，实数a的取值范围为：0所以0故选：A.

2.（2024·河南·模拟预测）已知an为正项等比数列，若lga2,lga2023是函数fx=3x2−12x+9的两个零点，则a1a2024=（ ）
A．10B．104C．108D．1012
【答案】B
【分析】根据an是等比数列，lga2,lga2023是函数fx=3x2−12x+9的两个零点，进行求解判断选项
【详解】因为lga2,lga2023是fx=3x2−12x+9的两个零点，所以lga2+lga2023=4，所以lga2a2023=4，所以a2a2023=104，故a1a2024=104.
故选：B.
3.（2024高三·全国·专题练习）设方程2x+x+3=0和方程lg2x+x+3=0的根分别为p，q，设函数fx=x+px+q，则（ ）
A．f2=f0f2
C．f3【答案】B
【分析】画出y=2x,y=lg2x,y=−x−3的图象，由反函数的性质得p+q2=−32，结合二次函数性质即可得解.
【详解】由2x+x+3=0得2x=−x−3，由lg2x+x+3=0得lg2x=−x−3，
所以令y=2x,y=lg2x,y=−x−3，这3个函数图象情况如下图所示：
设y=2x,y=−x−3交于点B，y=lg2x,y=−x−3交于点C，
由于y=2x,y=lg2x的图象关于直线y=x对称，
而y=−x−3,y=x的交点为A−32,−32，所以p+q2=−32，
注意到函数fx=x+px+q=x2+p+qx+pq的对称轴为直线x=−p+q2，即x=32，
且二次函数fx的图象是开口向上的抛物线方程，
从而f0=f3>f2.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出y=2x,y=lg2x,y=−x−3的图象，利用数形结合再由反函数的对称性得到方程的根或交点.
考点十二、对数函数的奇偶性与对称性
1.（2022·全国·高考真题）若fx=lna+11−x+b是奇函数，则a= ，b= ．
【答案】 −12； ln2．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若a=0，则f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称
∴a≠0
若奇函数的f(x)=ln|a+11−x|+b有意义，则x≠1且a+11−x≠0
∴x≠1且x≠1+1a，
∵函数f(x)为奇函数，定义域关于原点对称，
∴1+1a=−1，解得a=−12，
由f(0)=0得，ln12+b=0，
∴b=ln2，
故答案为：−12；ln2．
[方法二]：函数的奇偶性求参
f(x)=ln|a+11−x|+b=ln|a−ax+11−x|+b=ln|ax−a−11−x|+b
f(−x)=ln|ax+a+11+x|+b
∵函数f(x)为奇函数
∴f(x)+f(−x)=ln|ax−a−11−x|+ln|ax+a+11+x|+2b=0
∴ln|a2x2−(a+1)2x2−1|+2b=0
∴a21=(a+1)21⇒2a+1=0⇒a=−12
−2b=ln14=−2ln2⇒b=ln2∴a=−12,b=ln2
[方法三]：
因为函数fx=lna+11−x+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由a+11−x≠0可得，1−xa+1−ax≠0，所以x=a+1a=−1，解得：a=−12，即函数的定义域为−∞,−1∪−1,1∪1,+∞，再由f0=0可得，b=ln2．即fx=ln−12+11−x+ln2=ln1+x1−x，在定义域内满足f−x=−fx，符合题意．
故答案为：−12；ln2．
2.（2024·重庆·模拟预测）已知定义在0,1上的函数fx满足：∀x∈0,1，都有f1−x+fx=1，且fx3=12fx，当0≤x1A．13B．12C．14D．ln3
【答案】B
【分析】利用赋值法可得f13=f12=12，进而可得13≤x≤12时，fx=12，利用对数的性质可得13【详解】由于∀x∈0,1，都有f1−x+fx=1，所以f1−12+f12=1⇒f12=12，f1−0+f0=1，
又f0=12f0⇒f0=0,f1=1，故f13=12f1=12
由于0≤x1由于ln3>1,ln33>13，e32=ee12>2.7×1.6>3⇒32>ln3，故ln33<12，
因此13故选：B
1.（2024·山东泰安·模拟预测）设fx是定义在R上的奇函数，且f2+x=f−x，当−1≤x<0时，fx=lg2−6x+2，则f253的值为（ ）
A．2B．1C．-1D．-2
【答案】D
【分析】由题意求出函数的周期，再利用奇偶性代入求值即可.
【详解】因为fx是定义在R上的奇函数，且f2+x=f−x，
则f2+x=−fx，所以f4+x=−f[(x+2)]=f(x)，
所以函数fx的周期为4，
所以f253=f253−8=f(13)=−f(−13)=−lg2[(−6×(−13)+2]=−2.
故选：D.
2.（2024·江西·二模）已知定义在R上的函数fx满足fx+2=f−x=−fx，当0fa，则实数a的取值范围是（ ）
A．−52+4k,−32+4k，k∈ZB．−1+4k,4k，k∈Z
C．−12+4k,12+4k，k∈ZD．−32+4k,12+4k，k∈Z
【答案】D
【分析】依题意可得fx的奇偶性、对称性与周期性，即可得到fx的图象，即可得到−12+4k【详解】因为f−x=−fx，所以fx为奇函数；
又因为fx+2=f−x，所以fx关于直线x=1对称；
由fx+4=−fx+2=fx知fx的一个周期为4.
因为当0函数fx的图象如图所示，
根据图象可知，若fa+1>fa，则−12+4k解得−32+4k所以实数a的取值范围是−32+4k,12+4k，k∈Z.
故选：D．
3.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数fx=3lg2x2+1−x，正数a,b满足fa+f3b−1=0，则3b+aab的最小值为（ ）
A．6B．8C．12D．24
【答案】C
【分析】先证明函数fx=3lg2x2+1−x为奇函数，由fa+f3b−1=0可得a+3b=1，再利用基本不等式求3b+aab的最小值.
【详解】因为fx=3lg2x2+1−x，函数的定义域为R，关于原点对称，
因为f−x=3lg2−x2+1+x=3lg21x2+1−x=−3lg2x2+1−x=−fx，
所以fx=3lg2x2+1−x为奇函数，有f−x+fx=0，
由解析式可以看出函数fx=3lg2x2+1−x=3lg21x2+1+x为减函数，
因为fa+f3b−1=0，
所以a+3b−1=0，即a+3b=1，
因为a,b为正数，
所以3b+aab=3a+1b=3a+1ba+3b=9ba+ab+3+3≥29ba⋅ab+6=12，
当且仅当9ba=aba+3b=1，即a=12b=16时等号成立.
故选：C
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x−1)，且当x∈(−2,0)时，f(x)=lg2(x+3)，则f(2021)−f(2024)=（ ）
A．1B．−1C．1−lg23D．−1−lg23
【答案】B
【分析】首先得到fx的周期性，再结合奇偶性与所给函数解析式计算可得.
【详解】根据题意，函数f(x)满足f(x+3)=f(x−1)，则f(x)=f(x+4)，即f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(2021)=f1，f(2024)=f(0)，又由函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0，f(−1)=−f1，
当x∈(−2,0)时，f(x)=lg2(x+3)，则f(−1)=lg22=1，则f1=−f(−1)=−1，
所以f(2021)−f(2024)=−1，
故选：B．
2．（2024·江苏·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0级地震的（ ）倍
A．87B．1087C．101.5D．104.8
【答案】C
【分析】由题意分别求得震级M=8.0和M=7.0时的释放的能量，进而求得两次地震释放的能量比.
【详解】设里氏震级M=8.0时释放的能量为E1，里氏震级M=7.0时释放的能量为E2，
则lgE1=4.8+1.5×8=16.8，lgE2=4.8+1.5×7=15.3，
所以E1=1016.8，E2=1015.3，
所以E1E2=1016.8−15.3=101.5，
即2008年5月12日汶川地震释放出的能量是2024年4月3日我国台湾发生的地震释放的能量的101.5倍，
故选：C.
3．（2024·四川成都·模拟预测）对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知M=1,3，N=1,3,5,7，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则lg3xy为整数的概率为（ ）
A．14B．25C．12D．45
【答案】C
【分析】基本事件总数n=2×4=8，利用列举法求出lg3xy为整数包含的基本事件有4个，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】M=1,3，N=1,3,5,7，从集合M，N中各任取一个数x，y，
基本事件总数n=2×4=8.
lg3xy为整数包含的基本事件有1,1，1,3，3,1，3,3，共4个
∴ lg3xy为整数的概率为p=mn=48=12.
故选：C.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=lg22−x的值域为−∞,1，则函数f2x的定义域为
【答案】[0,1)
【分析】首先求出函数f(x)的定义域，再利用抽象函数的定义域的求法求解
【详解】由fx=lg22−x值域为−∞,1，
得lg22−x≤1，所以0<2−x≤2，
解得0≤x<2即fx的定义域为0,2，
由0≤2x<2得0≤x<1，
故f2x的定义域为[0,1).
故答案为：[0,1)
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=lg2x2+a−x是奇函数，则a= .
【答案】1
【分析】先求出函数的定义域，然后由奇函数的性质得f(0)=0可求出a.
【详解】由x2+a−x>0，得a>0，
所以函数fx的定义域为R，
因为fx为奇函数，
所以f(0)=lg2a=0，解得a=1，
故答案为：1
6．（2024·四川自贡·三模）函数f(x)=2x−1(x≤1)x2−x(x>1)，f(a)=2则a= .
【答案】2
【分析】分a≤1和a>1两种情况列方程求解即可.
【详解】f(x)=2x−1(x≤1)x2−x(x>1)，若f(a)=2，
则a≤12a−1=2或a>1a2−a=2，即a≤1a=lg23或a>1a=−1或a=2，解得a=2.
故答案为：2.
7．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）x表示不超过x的最大整数，则k=12024lgk+k=12024lg1k= .
【答案】−2020
【分析】先分类讨论x+−x的取值，再运用到原式当中即可得到结果.
【详解】若x是整数，则x+−x=x+−x=0；
若x不是整数，则x−x∈0,1，故1−x+x∈0,1.
而−x−1是整数，−x=−x−1+1−x+x，故由1−x+x∈0,1知−x=−x−1，所以x+−x=−1.
记ak=lgk+lg1k，则ak=lgk+lg1k=lgk+−lgk.
对1≤k≤2024：
当k∈1,10,100,1000时，lgk是整数，所以ak=lgk+−lgk=0；
当k∉1,10,100,1000时，lgk不是整数，所以ak=lgk+−lgk=−1.
故k=12024lgk+k=12024lg1k=k=12024lgk+−lgk=k=12024ak=−1×2024−4=−2020.
故答案为：−2020.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对向下取整函数定义的理解.
1．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数1,2,3,⋯,n的倒数的和1+12+13+⋯+1n已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n很大时，1+12+13+⋯+1n≈lnn+γ.其中γ称为欧拉-马歇罗尼常数，γ≈0.577215664901⋯，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[x]表示不超过x的最大整数，用上式计算1+12+13+⋯+12024的值为（ ）
（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln10≈2.30）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【分析】设an=1+12+13+⋯+1n,n∈N*，分析可知数列an为递增数列，结合题中数据估算可知8.07【详解】设an=1+12+13+⋯+1n,n∈N*，则an≈lnn+γ，
因为an+1−an=1+12+13+⋯+1n+1−1+12+13+⋯+1n=1n+1>0，
可知数列an为递增数列，
且a1800≈ln1800+γ=ln2+2ln3+2ln10+γ≈8.07，
a2048≈ln2048+γ=11ln2+γ≈8.17，
可知8.07故选：C.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=−14x−4,x≤34lga(4x)−1,x>34是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．0,1B．1,3C．1,3D．1,3
【答案】B
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于a的不等式，即可求解.
【详解】根据题意，当x≤34时，fx=−14x−4=−14x−1，可得fx在−∞,34上递增，
要使得函数fx=−14x−4,x≤34lga(4x)−1,x>34 是R上的单调函数，
则满足a>1，且lga4×34−1≥−14×34−4，解可得1所以实数a的取值范围为1,3.
故选：B.
3．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数fx=xx−1−2xx>1,gx=xx−1−lg2xx>1的零点分别为α,β，则1α+1β的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令ℎx=xx−1=1x−1+1x>1，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出α+β=αβ，即可求1α+1β的值．
【详解】由题意，fx=0⇔xx−1=2xx>1，
gx=0⇔xx−1=lg2xx>1,
令ℎx=xx−1=1x−1+1x>1，
因为y=2x与y=lg2x互为反函数，两个函数的图象关于直线y=x对称，
且y=1x−1+1的图象也关于直线y=x对称，
设Aα,2α,Bβ,lg2β，
则A,B关于直线y=x对称，
所以α=lg2β,2α=β且αα−1=2αα>1,ββ−1=lg2ββ>1,
由αα−1=2αα>1可得αα−1=2α>2，
所以1<α<2．
由αα−1=2α可得α=2αα−1，
所以α+2α=α⋅2α，
又α=lg2β,2α=β,代入上式可得α+β=αβ，
则1α+1β=1．
故选：A．
4．（2024·宁夏银川·三模）命题p:00且a≠1)在(−∞,3)上单调，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据对数复合型函数的单调性，由命题q求出a的取值范围，再判断充分性和必要性即可.
【详解】设t=2−ax，则fx=lga2−axa>0,a≠1可化为y=lgat．
充分性：当0且当00，fx=lga2−axa>0,a≠1在−∞,3上单调递增，
当23必要性：若y=lgat在−∞,3上单调递减，则0且t=2−ax>0在−∞,3上恒成立，所以2−3a>0，得a<23，
所以当0若y=lgat在−∞,3上单调递增，则a>1，所以t=2−ax在−∞,3上单调递减，
且t=2−ax>0在−∞,3上恒成立，所以2−3a>0，得a<23，不符合题意，舍去.
综上可知，当函数f(x)在−∞,3上单调时，0所以p是q的必要不充分条件．
故选：B．
5．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足f(x+2)=−f(x)，当x∈2,4时，fx=1+lg3x，则f(99)=（ ）
A．1B．2C．−12D．－2
【答案】B
【分析】先求出fx的周期，再结合函数fx的解析式，即可求解.
【详解】由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
所以fx是以周期为4的周期函数，所以f(99)=f(24×4+3)=f(3)，
因为当x∈2,4时，fx=1+lg3x，所以f3=1+lg33=2，即f(99)=2，
故选：B
6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知fx=x2gx为定义在R上的偶函数，则函数gx的解析式可以为（ ）
A．gx=ln1+x21−x2B．gx=1−22x+1
C．gx=x2−x,x≥0x2+x,x<0D．g(x)=|x−2|−|x+2|
【答案】C
【分析】先确定出gx的奇偶性，然后再逐项检验定义域和奇偶性即可.
【详解】因为fx=x2gx是定义在R上的偶函数，所以f−x=fx，即g−x=gx，
所以gx是定义在R上的偶函数.
对于选项A，因为1−x2>0，所以函数gx定义域为−1,1，所以不满足题意；
对于选项B，函数gx=1−22x+1=2x−12x+1定义域为R，
g−x=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−gx，gx是奇函数，不符合题意；
对于选项C，函数gx=x2−x,x≥0x2+x,x<0定义域为R，
当x>0时，−x<0，g−x=−x2+−x=x2−x=gx，
当x<0时，−x>0，g−x=−x2−−x=x2+x=gx，
且g0=g−0=0，所以gx为偶函数，符合题意；
对于选项D，函数g(x)=|x−2|−|x+2|定义域为R，
g−x=−x−2−−x+2=x+2−x−2=−gx，gx为奇函数，不符合题意；
故选：C.
7．（2024·陕西渭南·二模）已知直线2mx+ny−4=0（m>0，n>0）过函数y=lgax−1+2（a>0，且a≠1）的定点T，则2m+6n的最小值为 .
【答案】5+26
【分析】先根据对数型函数的特点求得定点T坐标，代入直线方程得2m+n=2，运用常值代换法即可求得结论.
【详解】令x−1=1时，可得x=2,y=lga1+2=2，
可知函数y=lga(x−1)+2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点T(2,2)，
因为定点T(2,2)在直线2mx+ny−4=0上，
可得2m+n=2，且m>0,n>0，
则2m+6n=122m+6n(2m+n)=5+nm+6mn≥5+2nm⋅6mn=5+26，
当且仅当nm=6mn，即n=6m=6−26时，等号成立，
所以2m+6n的最小值为5+26.
故答案为：5+26.
1．（2024·北京·高考真题）已知x1,y1，x2,y2是函数y=2x的图象上两个不同的点，则（ ）
A．lg2y1+y22x1+x22
C．lg2y1+y22x1+x2
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设x1对于选项AB：可得2x1+2x22>2x1·2x2=2x1+x22，即y1+y22>2x1+x22>0，
根据函数y=lg2x是增函数，所以lg2y1+y22>lg22x1+x22=x1+x22，故B正确，A错误；
对于选项D：例如x1=0,x2=1，则y1=1,y2=2，
可得lg2y1+y22=lg232∈0,1，即lg2y1+y22<1=x1+x2，故D错误；
对于选项C：例如x1=−1,x2=−2，则y1=12,y2=14，
可得lg2y1+y22=lg238=lg23−3∈−2,−1，即lg2y1+y22>−3=x1+x2，故C错误，
故选：B.
2．（2020·山东·高考真题）函数fx=1lgx的定义域是（ ）
A．0,+∞B．0,1∪1,+∞C．0,1∪1,+∞D．1,+∞
【答案】B
【分析】根据题意得到x>0lgx≠0，再解不等式组即可.
【详解】由题知：x>0lgx≠0，解得x>0且x≠1.
所以函数定义域为0,1∪1,+∞.
故选：B
3．（2020·全国·高考真题）设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(−12,12)单调递减
C．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出fx为奇函数，排除AC；当x∈−12,12时，利用函数单调性的性质可判断出fx单调递增，排除B；当x∈−∞,−12时，利用复合函数单调性可判断出fx单调递减，从而得到结果.
【详解】由fx=ln2x+1−ln2x−1得fx定义域为xx≠±12，关于坐标原点对称，
又f−x=ln1−2x−ln−2x−1=ln2x−1−ln2x+1=−fx，
∴fx为定义域上的奇函数，可排除AC；
当x∈−12,12时，fx=ln2x+1−ln1−2x，
∵y=ln2x+1在−12,12上单调递增，y=ln1−2x在−12,12上单调递减，
∴fx在−12,12上单调递增，排除B；
当x∈−∞,−12时，fx=ln−2x−1−ln1−2x=ln2x+12x−1=ln1+22x−1，
∵μ=1+22x−1在−∞,−12上单调递减，fμ=lnμ在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：fx在−∞,−12上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f−x与fx的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
4．（2020·海南·高考真题）已知函数f(x)=lg(x2−4x−5)在(a,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．(2,+∞)B．[2,+∞)C．(5,+∞)D．[5,+∞)
【答案】D
【分析】首先求出f(x)的定义域，然后求出f(x)=lg(x2−4x−5)的单调递增区间即可.
【详解】由x2−4x−5>0得x>5或x<−1
所以f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(5,+∞)
因为y=x2−4x−5在(5,+∞)上单调递增
所以f(x)=lg(x2−4x−5)在(5,+∞)上单调递增
所以a≥5
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
5．（2020·全国·高考真题）Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【答案】C
【分析】将t=t∗代入函数It=K1+e−0.23t−53结合It∗=0.95K求得t∗即可得解.
【详解】∵It=K1+e−0.23t−53，所以It∗=K1+e−0.23t∗−53=0.95K，则e0.23t∗−53=19，
所以，0.23t∗−53=ln19≈3，解得t∗≈30.23+53≈66.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
6．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（ ）
A．当T=220，P=1026时，二氧化碳处于液态
B．当T=270，P=128时，二氧化碳处于气态
C．当T=300，P=9987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T=360，P=729时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据T与lgP的关系图可得正确的选项.
【详解】当T=220，P=1026时，lgP>3，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当T=270，P=128时，2当T=300，P=9987时，lgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当T=360，P=729时，因2故选：D
7．（2020·北京·高考真题）函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是 ．
【答案】(0,+∞)
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得x>0x+1≠0，∴x>0
故答案为：(0,+∞)
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第5题,5分
比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2022年天津卷，第5题,5分
对数的运算、对数的运算性质的应用
2021年天津卷，第5题,5分
比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2021年天津卷，第7题,5分
运用换底公式化简计算
2020年天津卷，第6题,5分
比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2021年天津卷，第5题,5分
比较指数幂的大小、比较对数式的大小
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是单调增函数
在(0，＋∞)上是单调减函数
图像特征
函数性质
共性
向x轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都过定点(0，1)
过定点(0，1)
0自左向右看，图象逐渐下降
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
当x>0时，0在第二象限内的图象纵坐标都大于1
当x0时，y>1
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较慢;
a>1
自左向右看，图象逐渐上升
增函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
当x>0时，y>1;
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
当x<0时，0图象上升趋势是越来越陡
函数值开始增长较慢
到了某一值后增长速度极快;