第09讲 幂函数（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握幂函数的定义，能够灵活掌握幂函数的性质
2.能掌握幂函数的图像与综合性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图解决单调性与比较大小的问题
4.会解灵活运用幂函数的奇偶性与单调性，解决综合性问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查范围比较灵活。
知识讲解
知识点.幂函数
1.概念:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数
2.幂函数的图像及性质.
y=1x, y=x12, y=x2, y=x3, y=x
3.幂值的大小比较
(1)直接法:当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.
(2)转化法:当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小.
(3)中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与两数分别比较，从而达到比较大小的目的.
4.幂函数性质的应用
利用幂函数的性质解不等式，实际上就是利用幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系，解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用.
考点一、幂函数的解析式
1.（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数fx=m2−m−1x2m−3在0,+∞上单调递增，则实数m的值为（ ）
A．2B．1C．−1D．−2
2.（2023·四川成都·一模）已知幂函数fx=xα的图象过点P3,9，则α=（ ）
A．12B．1C．2D．3
1.（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知幂函数fx=2m2−mxm−12在区间0,+∞上单调递增，则m=（ ）
A．-2B．1C．−12D．-1
2.（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若幂函数f(x)=xα的图象经过点(4,12)，则α2= ．
3.（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点2,4，则函数的解析式为（ ）
A．y=2xB．y=x2C．y=lg2xD．y=sinx
考点二、幂函数的定义域
1.（2022·上海·模拟预测）下列函数定义域为R的是（ ）
A．y=x−12B．y=x−1C．y=x13D．y=x12
2.（23-24高三上·上海静安·期中）函数y=3x−2−34的定义域为 .
1.（23-24高三下·上海松江·阶段练习）若函数fx=x−m2+2m+3m∈Z的定义域为R，且fx+1=f−x−1，则实数m的值为
2.（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）设m∈R，若幂函数y=xm2−2m+1定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（ ）
A．1B．4C．7D．10
考点三、幂函数求值
1.（2024高三·全国·专题练习）若幂函数y=fx的图象经过点2,2，则f16＝（ ）
A．2B．2C．4D．12
2.（22-23高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数y=lgax−3+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，点P在幂函数y=fx的图象上，则f4=（ ）
A．−2B．2C．1D．−1
1. （2023·全国·模拟预测）已知函数fx=lg2x+1,x≥1x2,x<1，若fa=2，则a的值为（ ）
A．2或−2B．2或2C．2或−2D．1或2
2.（23-24高三上·四川眉山·期中）已知幂函数fx=m2+m−1xm的图象与坐标轴没有公共点，则f2=
3.（22-23高三上·江苏盐城·阶段练习）若函数y=ax−2+3（a>0且a≠1)的图象恒过定点Q，且点Q在幂函数f(x)=xm的图象上，则f(4)= .
考点四、幂函数的图像
1.（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数fx=x3+tx的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2024·四川南充·二模）已知函数fx的图象如图所示，则fx的解析式可能是（ ）
A．y=x12B．y=x−12C．y=x3D．y=x13
1.（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数y=xa,y=xb,y=xc在0,+∞上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A．cC．c2.（2022·全国·模拟预测）设fx=xαα∈−1,12,1,2,3，则“函数fx的图象经过点−1,1”是“函数fx在−∞,0上递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数y=xmn（m,n均为正整数且m,n互质）的图象，则（ ）
A．m,n是奇数且mn<1
B．m是偶数，n是奇数，且mn<1
C．m是偶数，n是奇数，且mn>1
D．m,n是奇数，且mn>1
考点五、幂函数过定点
1.（21-22高三上·河南·阶段练习）已知p：fx是幂函数，q：fx图象过点0,0，则p是q的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2.（2022·四川乐山·一模）已知幂函数f(x)=xα和g(x)=xβ，其中α>β>0，则有下列说法：
①f(x)和g(x)图象都过点1,1；
②f(x)和g(x)图象都过点(−1,1)；
③在区间[1,+∞)上，增长速度更快的是f(x)；
④在区间[1,+∞)上，增长速度更快的是g(x).
则其中正确命题的序号是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
1.（22-23高三上·上海徐汇·期末）当α∈R时，函数y=xα−2的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ．
2.（22-23高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数fx=2+xa（a为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为 .
考点六、幂函数的单调性与奇偶性
1.（2024·广西·二模）下列函数中，在0,2上单调递增的是（ ）
A．fx=x−1B．fx=x2−2x
C．fx=1xD．fx=x14
2.（2024·北京朝阳·一模）已知a∈R，则“0A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
1.（2024·湖南常德·三模）已知奇函数y=f(x)是定义域为R的连续函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．函数y=f(x)+x2在R上单调递增
B．函数y=f(x)−x2在(0,+∞)上单调递增
C．函数y=x2f(x)在R上单调递增
D．函数y=f(x)x2在(0,+∞)上单调递增
2.（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数fx=m2−5m+5xm−2是R上的偶函数，且函数gx=fx−2a−6x在区间1,3上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,4B．−∞,4
C．6,+∞D．−∞,4∪6,+∞
3.（2023·四川南充·模拟预测）已知幂函数fx=xmnm,n∈Z，下列能成为“fx是R上的偶函数”的充分条件的是（ ）
A．m=−3,n=1B．m=1,n=2
C．m=2,n=3D．m=1,n=3
4.（23-24高三下·上海·阶段练习）已知集合A=xx+2x−5<0，B=−3,−2,−1,0,1,2,3，任取k∈A∩B，则y=xk为偶函数的概率为 .
1．（2024·重庆·模拟预测）已知函数f(x)=xα(x>0)，α为实数，f(x)的导函数为f'(x)，在同一直角坐标系中，f(x)与f'(x)的大致图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）函数y=x3的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）设命题p:∃m∈R，使fx=m−1xm2−4m+3是幂函数，且在0,+∞上单调递减；命题q:∀x∈2,+∞,2x>x2，则下列命题为真的是（ ）
A．p∧¬qB．¬p∧qC．p∧qD．¬p∨q
4．（2024·陕西西安·二模）下列函数中，既是奇函数又在−∞,+∞上单调递减的是（ ）
A．y=1xB．y=x3
C．y=−xxD．y=3−x
5．（2024高三·全国·专题练习）已知α∈−2,−1,−12,12,1,2,3.若幂函数f(x)=xα为奇函数，且在(0,+∞)上递减，则α= .
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=lgax−1+3的图象经过定点A，且幂函数gx的图象过点A，则g12＝ ．
7．（2022高三·全国·专题练习）已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,2)，令an=f(n+1)+f(n),n∈N∗，记数列1an的前n项和为Sn，则S35= ．
1．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知实数m,n满足(m+1)3+m=(n−1)3+n=0，则nm=（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
2．（2022·全国·模拟预测）设函数fx=x,0A．14B．12C．2D．6
3．（23-24高三上·安徽·期中）函数fx=x3−x2x+1在−2,2上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题p：函数f(x)=x−m2+m在区间(0,+∞)上单调递增，命题q：m5．（2024·上海青浦·二模）对于函数y=f(x)，其中fx=x−13,0≤x<2,2x, x≥2，若关于x的方程f(x)=kx有两个不同的根，则实数k的取值范围是 ．
6．（2024·北京延庆·一模）已知函数f(x)=xα(0<α<1)在区间(−1,0)上单调递减，则α的一个取值为 ．
7．（23-24高三上·宁夏吴忠·阶段练习）设fx=x,01．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，fx=x23 ，则f(-8)的值是 .
2．（·陕西·高考真题）下了函数中，满足“fx+y=fxfy”的单调递增函数是（ ）
A．fx=x3B．fx=3x
C．fx=x23D．fx=12x
3．(·湖北·高考真题）设x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是
A．3B．4C．5D．6
4．（2023·天津·高考真题）设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．aC．c5．（·广东·高考真题）若函数y=2−x−1,x≤0x12,x>0，当x=x0时函数值y>1，则x0的取值范围是（ ）
A．−1,1；B．−1,+∞；
C．−∞,−2∪0,+∞；D．−∞,−1∪1,+∞．
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第2题,5分
充分条件的判定及性质 必要条件的判定及性质 比较指数幂的大小 判断一般幂函数的单调性
2023年天津卷，第3题,5分
比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2022年天津卷，第6题,5分
比较指数幂的大小、比较对数式的大小
y=x
y=x2
y=x3
y=x12
y=x−1
定义域
R
R
R
[0,+∞）
{ x| xϵR且x≠0 }
值域
R
[0,+∞）
R
[0,+∞）
{y| yϵR且y≠0 }
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增
x∈[0,+∞）时，增；
x∈(-∞，0]时，减.
增
增
x∈(0,+∞)时，减；
x∈(-∞，0)时，增.